Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme PDF
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Hochschultext J. Bocker . I. Hartmann· Ch. Zwanzig Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme Mit 194 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo 1986 Dipl.-Ing. Joachim Bocker 1. Institut fUr Mechanik Technische Universitiit Berlin Prof. Dr.-Ing. Irmfried Hartmann Dipl.-Ing. Christian Zwanzig Institut fur MeB-und Regelungstechnik Technische Universitiit Berlin ISBN-13:978-3-540-16930-7 e-ISBN-13:978-3-642-82879-9 001: 10.1007/978-3-642-82879-9 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Bocker, Joachim: Nichtlineare und adaptive Regelungssysteme 1 Joachim Bocker; Irmfried Hartmann; Christian Zwanzig. Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1986. ISBN-13:978-3-540-16930-7 NE: Hartmann, Irmfried; Zwanzig, Christian: Das Werk ist urheberrechtlich geschi.itzt. Die dadurch begri.indeten Rechte , insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Daten verarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Ver gi.itungsanspri.iche des §54, Abs. 2 UrhG werden durch die »Verwertungsgesellschaft Wort«, Mi.inchen, wahrgenommen. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden di.irften. 2068/3020 543210 Ziel des Buches ist es, eine grundliche Darstellung der Methoden zur Behandlung nichtlinearer Systeme und eine Einfuhrung in die adaptiven Regelkreise zu geben. Hierbei werden elementare Kenntnisse der Theorie linearer Systeme vorausgesetzt. Das Buch wendet sich im besonderen an fortgeschrittene Student en technischer Studiengange und an lngenieure, die in der Forschung und Entwicklung tatig sind. Bei der Behandlung des Stoffes wurde gro~er Wert darauf gelegt, auch komplizierte Sachverhalte auf einfache Weise verbal zu erlautern und an schaulich zu deuten. Die Autoren hoffen, da~ das Buch auf diese Weise zu einem tiefen Verstandnis der Materie beitragt und ein gro~er Leserkreis angesprochen wird. Verschiedene mathematische Grundlagen, auf die sich das Buch stutzt, sind in acht Anhangen zusammengefa~t, urn den Leseflu~ in den Hauptkapi teln nicht zu hemmen. lm 1. Kapitel des Buches werden zunachst einige Beispiele nichtlinearer Systeme vorgestellt und anschlie~end einfache Methoden zur Behandlung nichtlinearer Systeme eingefuhrt. lm besonderen wird hierbei auf die Linearisierung, die Untersuchung der Trajektorien von Schaltelemente enthaltenden Systemen 2. Ordnung in der Zustandsebene und auf eine Me thode zur Verbesserung der Dynamik stellgro~enbeschrankter Regelkreise eingegangen. Das 2. Kapitel behandelt Methoden zur Untersuchung der Existenz und Stabilitat von periodischen Losungen (Grenzschwingungen) nichtlinearer zeitkontinuierlicher Systems sowie Verfahren zum Entwurf von Korrektur gliedern (Reglern), die Grenzschwingungen erzeugen, unterdrucken bzw. deren Amplitude vermindern oder vergro~ern. Zur Untersuchung periodi scher Losungen werden zunachst Verfahren vorgestellt, die speziell auf nichtlineare Systeme 2. Ordnung zugeschnitten sind. Anschlie~end wird die Methode der Harmonischen Balance vorgestellt und in einer Reihe von Beispielen angewendet. VI Vorwort 1m 3. Kapitel werden Regelkreise, die in einer speziellen Standardform vorliegen, mit funktionalanalytischen Methoden auf Stabilitat untersucht, wobei zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelkreise gemeinsam behan delt werden. Hierbei werden die Begriffe der LZ- und der L~-Stabilitat eingeftihrt. Die Lz-Stabilitat ftihrt unter anderem auf das Kreiskriterium und das Popov-Kriterium, wahrend mit der L~-Stabilitat betragsma~ige Abschatzungen der Systemgro~en gewonnen werden konnen, was ftir prakti sche Anwendungen besonders zweckdienlich ist. Die aufgeftihrten Satze gestatten tiber die Stabilitat hinaus auch Aussagen tiber den Stabilitats grad von Regelkreisen. Das Kreiskriterium wird auch ftir Mehrgro~enregel kreise entwickelt. Die Untersuchung von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen mit Methoden im Zustandsraum findet der Leser im 4. Kapitel. Ausftihrlich wird die direkte Methode von Ljapunov behandelt, wobei ein wesentlicher Ge sichtspunkt die Bestimmung des Einzugsbereichs einer asymptotisch stabi len Ruhelage ist. Die nichtlinearen Zustands- und Parameterschatzverfah ren werden nur in dem Rahmen behandelt, wie diese beim Entwurf von Regel kreisen oder in technischen Diagnosesystemen gegenwartig Verwendung fin den. Die Regelkreisentwurfsverfahren in den letzten Abschnitten beruhen fast ausschlie~lich auf der erweiterten Ljapunov-Methode, da andere auf diesem Gebiet in der Literatur vorgeschlagene Verfahren zu keinen besse ren Ergebnissen ftihren und in der Durchftihrung des Entwurfs komplizier ter sind. Das 5. Kapitel dieses Buches verfolgt das Ziel, den Leser in Methoden zur Behandlung adaptiver Eingro~enregelkreise und Systeme einzuftihren. Hier bei werden einerseits Regelkreise untersucht, die nach dem Self-Tuning Verfahren arbeiten, andererseits adaptive Systeme, denen ein Modell Referenz-Verfahren zugrunde liegt. Bei der Darstellung des Stoffes wurde aus Grtinden der Anschaulichkeit auf gro~tmogliche Allgemeinheit verzich tet. Die teilweise exemplarische Darbietung des Stoffes versetzt den Le ser in die Lage, die Methoden auch auf andere Systemstrukturen zu tiber tragen. Die Kapitel 1 und Z sowie der Anhang 1 dieses Buches wurden von Herrn Bocker und Herrn Zwanzig gemeinsam ausgearbeitet, wobei als Grundlage ein Vorlesungsskript von Herrn Hartmann diente. Die weiteren Kapitel und Anhange wurden von den Autoren separat erstellt. Herr Bocker verfa~te das 3. Kapitel und die Anhange Z und 3, Herr Hartmann das 4. Kapitel und Herr Zwanzig das 5. Kapitel und die Anhange 4, 5, 6, 7 und 8. Vorwort VII Urn dem Leser ein schnelles und bequemes Nachschlagen innerhalb des Buches zu ermoglichen, sind Satze, Definitionen und Anmerkungen gemein sam mit den Gleichungen innerhalb jedes Kapitels fortlaufend numeriert. Der Abschlu~ von Satzen, Beweisen, Anmerkungen, Definitionen und son stigen Aussagen, die mit einer Nummer versehen sind, wird durch das Symbol .. angezeigt. Anstelle des allgemein ublichen mathematischen Symbols € zur Kennzeichnung einer Mengenzugehorigkeit wird hier der griechische Buchstabe E verwendet. Die Transposition einer Matrix AT wird im 4. Kapitel abweichend mit ~' bezeichnet. Die umfangreiche Arbeit der Reinschrift des Manuskriptes wurde von Frau R. Hade ubernommen, der wir fur ihre Sorgfalt und gro~e Geduld besonders danken. Gro~er Dank gebuhrt auch Frau M. Thieke fur die vorzugliche An fertigung der zahlreichen Zeichnungen. Weiterhin sind wir Herrn Dr.-Ing. R. Poltmann und Herrn Dipl.-Ing. A. Hambrecht fur die kritische Durchsicht gro~er Teile des Buches und fur wertvolle Anregungen zu besonderem Dank verpflichtet. Au~erdem dan ken wir Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Brunk, Herrn Dr.-Ing. M. Dlabka, Herrn Dipl.-Ing. N. Schmidt, Herrn cand.-Ing. E. Schwarz, Herrn Dipl.-Ing. G. Weber und Herrn Dipl.-Ing. A. Wied fur die Korrektur einzelner Ab schnitte. Berlin, im Juni 1986 Joachim Bocker Irmfried Hartmann Christian Zwanzig Inhaltsverzeichnis Einfuhrende Betrachtungen und nichtlineare Modelle 1.1 Einleitung 1.2 Beispiele nichtlinearer Systeme .......................... 5 1.3 Ruhelagen, Arbeitspunkte und deren Stabilitat ........... 11 1.4 Das exakte nichtlineare Modell der Anderungen urn einen Arbeitspunkt 17 1.5 Linearisierung eines nichtlinearen Systems .............. 20 1.6 Systeme 2. Ordnung in der Zustandsebene ................. 26 1.7 Verbesserung der Dynamik von Regelkreisen mit Stellgrii13enbeschrankung durch "anti-reset-windup" (ARW) 34 2 Periodisches Verhalten von nichtlinearen Systemen 40 2.1 Geschlossene Trajektorien und deren Stabilitat .......... 41 2.2 Nichtlineare Systeme 2. Ordnung ......................... 43 2.2.1 Untersuchungen von Dauerschwingungen und Grenzzyklen ................................... 44 2.2.2 Beispiele ......................................... 49 2.2.3 Zusammenhange zwischen der Existenz von Ruhelagen und Dauerschwingungen ............................ . 62 2.3 Die Methode der Harmonischen Balance 68 2.3.1 Vorbemerkungen 68 2.3.2 Annahmen und Voraussetzungen fUr die Methode der Harmonischen Balance 71 2.3.3 Die Gleichung der Harmonischen Balance 77 2.3.4 Berechnung von Beschreibungsfunktionen ........... . 79 2.3.5 Auswertung der Gleichung der Harmonischen Balance .. 86 2.3.6 Untersuchung des Stabilitatsverhaltens von Grenzschwingungen 99 2.4 Korrekturglieder zur Erzeugung, UnterdrUckung bzw. Verminderung der Amplitude von Grenzschwingungen 107 2.4.1 Anwendung von Lj apunov-Funktionen . .. . . . . . . . . . . . . . 108 2.4.2 Anwendung der Methode der Harmonischen Balance 109 Inhaltsverzeichnis IX 3 Funktionalanalytische Methoden zur Stabilitatsuntersuchung nichtlinearer Systeme .............. 118 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.1 Der nichtlineare Standardregelkreis und die Stabilitatsbegriffe ...................... 119 3.1.2 Allgemeine Stabilitatssatze 122 3.1.3 Exponentielle Stabilitat 134 3.1.4 Berlicksichtigung von Anfangszustanden ............ 136 3.2 Kreiskriterium (L2-Stabilitat) ......................... 137 3.2.1 Ortskurvendarstellung des Kreiskriteriums ........ 143 3.2.2 Darstellung des Kreiskriteriums in der Wurzelortsebene 163 3.2.3 Algebraische Auswertung des Kreiskriteriums 167 3.3 Kreiskriterium flir Mehrgro~ensysteme (L~-Stabilitat) 173 3.3.1 Algebraische Auswertung des Mehrgro~en- kreiskriteriums 176 3.3.2 Ortskurvendarstellung des Mehrgro~en- kreiskriteriums 184 3.4 Modifikationen des Kreiskriteriums 195 3.5 L -Stabilitat 201 ~ 4 Analyse und Synthese von Regelkreisen im Zustandsraum 216 4.1 Einflihrende Betrachtungen zu nichtlinearen Zustandsmodellen ...................................... . 216 4.2 Einfache Stabilitatskriterien 223 4.2.1 Stabilitat in der ersten Naherung 223 4.2.2 Stabilitatsverhalten periodischer Losungen von zeitdiskreten Systemen ........................... 227 4.3 Die direkte Methode von Ljapunov ....................... 237 4.3.1 Stabilitatssatze von Ljapunov flir zeitkontinuier- liche Systeme (direkte Methode) .................. 240 4.3.2 Auffinden von Ljapunovfunktionen - zeitkontinuierlich - 248 4.3.3 Zubov-Methode bei kontinuierlichen Systemen 261 4.3.4 Stabilitatskriterien flir zeitdiskrete Zustandsmodelle .................................. 265 4.4 Nichtlineare Parameter- und Zustandsschatzung .......... 279 4.4.1 Dynamische Beobachtung des Zustandes ............. 279 4.4.2 Parameterschatzung 291 x Inhaltsverzeichnis 4.5 Pulsbreitenmodulierte Regelungssysteme 292 4.6 Entwurf nichtlinearer Regelkreise 298 4.6.1 Einfuhrende Betrachtungen 298 4.6.2 Entwurf mit der erweiterten Ljapunov-Methode 305 5 Adaptive Systeme 317 5. 1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317 5.2 Allgemeine Beziehungen zur Berechnung der Reglerparameter bei bekannter Regelstrecke und vorgegebenem Regelkreis- verhalten 330 5.2.1 Vorgabe des Fuhrungsverhaltens (Pol- und Nullstellenvorgabe) ............................... 331 5.2.2 Vorgabe eines Storverhaltens (Minimum-Varianz-Regler) 342 5.3 Self-Tuning-Regler ...................................... 351 5.3.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 351 5.3.2 Obergang von einem expliziten zu einem impliziten Self-Tuning-Regler bei Vorgabe des Fuhrungs- verhaltens 354 5.3.3 Ein Self-Tuning-Algorithmus fur den Minimum- Varianz-Regler .................................... 356 5.3.4 Ein selbsteinstellender zeitdiskreter PID-Regler nach dem Verfahren von Ziegler-Nichols 359 5.4 Konvergenzbetrachtungen bei Self-Tuning-Regelkreisen 362 5.4.1 Vorbemerkungen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 362 5.4.2 Self-Tuning-Regler bei Vorgabe eines Referenz- modells ... . .. .. ... .. ....... ....... .. . ........... .. 365 5.4.3 Self-Tuning-Regler bei Vorgabe der Polstellen des geschlossenen Regelkreises ........................ 375 5.5 Zei tkontinuierliche MRAS-Strukturen ..................... 379 5.5.1 Einleitende Bemerkungen ........................... 379 5.5.2 Das Fehlermodell fur den Zustandsfehler ........... 382 5.5.3 Anwendung der direkten Methode von Ljapunov zur Herleitung von Adaptionsgleichungen 384 5.5.4 Anwendung der Hyperstabilitatstheorie zur Herlei tung von Adaptionsgleichungen ............... 388 5.5.5 Adaptiver Zustandsregler .......................... 397 5.5.6 Anwendung von Hilfsfiltern zur Vermeidung zeit- licher Ableitungen in den Adaptionsgesetzen 403 Inhaltsverzeichnis XI 5.6 Zeitdiskrete MRAS-Strukturen 413 5.6.1 Vorbemerkungen 413 5.6.2 Das Fehlermodell 413 5.6.3 Anwendung der Hyperstabilitatstheorie zur Herleitung vo~ Adaptionsgleichungen .............. 415 5.7 Schatzung der Drehzahl einer konstant erregten Gleich strommaschine mit einer MRAS-Struktur bei Messung von Ankerstrom und Ankerspannung ...........•............... 420 5.7.1 Drehzahlschatzung bei bekanntem konstantem Ankerwiderstand .................................. 420 5.7.2 Drehzahl- und Lastmomentschatzung bei bekanntem konstantem Ankerwiderstand 425 5.7.3 Drehzahlschatzung bei gleichzeitiger Schatzung des Ankerwiderstandes durch Adaption 426 5.8 AbschlieBende Bemerkungen 428 Anhang A1 Mathematische Grundlagen gewohnlicher Differentialgleichungen 432 A1 .1 Bezeichnungen ..... . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 432 A1.2 Problemstellung und Definitionen ..................... 433 A1 .3 Existenz und Eindeutigkei t von Lasungen .............. 434 A1.4 Gronwall-Ungleichung ................................. 441 Al.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Lasung beztig- lich der Anfangswerte und eventueller Parameter 442 A2 Funktionaltransformationen 445 A2.1 Fourier- und Laplace-Transformation 445 A2.2 Diskrete Fourier-Transformation, Fourier-Reihen und Z-Transformation 453 A2.3 Zusammenhange zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Funktionen 459 A2.3.1 Zeitkontinuierliche und abgetastete Funktionen im Fourier-Bereich 459 A2.3.2 Zusammenhange zwischen Fourier- und diskreter Fouriertransformation sowie zwischen Laplace- und Z-Transformation .......................... 463
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