Nichtlineare Regelungssysteme: Ein differentialalgebraischer Ansatz PDF
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Torsten Wey Nichtlineare Regelungssysteme Ein differentialalgebraischer Ansatz Torsten Wey Nichtlineare Regelungssysteme Ein differentialalgebraischer Ansatz Torsten Wey Nichtlineare Regelungssysteme Ein differentialalgebraischer Ansatz Mit 80 Abbildungen und 13 Tabellen Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhältlich. Dr. Torsten Wey ist Abteilungsleiter im Bereich "Globale Fahrzeugdynamik" der Ford AG Köln und habilitierte sich an der Universität Duisburg. Von der Fakultät für lngenieurwissenschaften, Abteilung Maschinenbau der Gerhard-Mercator Universität Duisburg genehmigte Habilitationsschrift. Tag der Verleihung der Lehrbefähigung: 17. Januar 2001 1. Auflage August 2002 Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 2002 Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig!Wiesbanden 2002 www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Ver wertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Verviel fältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und d1e Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-519-00395-3 ISBN 978-3-663-12258-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-12258-6 Vorwort Ziel des vorliegenden Buches ist eine in sich geschlossene Beschreibung der Dif ferentialalgebra, zunächst im Hinblick auf ihre Eigenschaft als mathematischer Ansatz und anschließend bei der Betrachtung nichtlinearer Regelungssysteme. In dem Kontext der (nichtlinearen) Regelungstheorie werden außerdem Parallelen so wie Unterschiede zu bereits etablierten mathematischen Ansätzen, insbesondere der Differentialgeometrie, aufgezeigt. Die Diskussion von Regelungssystemen ist ein zentraler Bestandteil der Ausarbei tung, daher orientiert sich die inhaltliche Struktur stark an den Begriffen System und Systemtechnik. Eine Beschreibung hierfür geben Ellis und Ludwig (1962): Ein System ist ein Mittel, ein Verfahren oder ein Schema, welches sich entsprechend einer Beschreibung verhält; seine Funktion besteht dar in, Information und/oder Energie und/oder Stoff in einer bestimmten Zeitabhängigkeit zu verarbeiten und wiederum Information und/oder Energie und/oder Stoff auszugeben. Diese Definition bezieht sich auf die so genannten Systeme erster Art, die Maßnah men und Einrichtungen zur Gestaltung technischer Gebilde und Verfahren umfas sen. Daneben existiert der Systembegriff zweiter Art, der technische Gebilde und Verfahren selbst als Resultate eines Gestaltungsprozesses interpretiert. An derart gegensätzlichen Ansätzen lässt sich bereits erkennen, dass die Systemtechnik nicht auf einem enggefassten Systembegriff basiert. Vielmehr handelt es sich um eine abstrakte Anschauungsweise, die auf beliebige Bereiche nicht nur der Technik be zogen werden kann. Wesentlich ist aber nicht die Art des Ansatzes, sondern der damit verfolgte Zweck: Das Ziel systemtechnischer Methoden liegt in dem Bestreben, den un tersuchten Komplex so zu strukturieren, dass bestimmte Funktionen gemessen an vorher festgesetzten Zielsetzungen optimal ausgeflihrt werden (Spur 1969, Ropohll974). Eine solche Sichtweise gibt zwar recht allgemein den Zweck der Systemtechnik wieder, die hier interessierenden zentralen Ansatzpunkte flir Regelungssysteme - u. a. die Verbesserung der Systemdynamik und Robustheit durch Rückkopplung - lassen sich trotzdem sofort darin wiederfinden. Eine differenzierte Aufführung der in der Systemtechnik enthaltenen Thematiken zeigt Bild 1. Besonders hervorge hoben sind alle diejenigen Gebiete, die in der vorliegenden Ausarbeitung ange sprochen werden. Zu erkennen ist, dass sich der Inhalt, einmal abgesehen von den "wirtschaftlichen Aspekten", auf alle Hauptgebiete der Systemtechnik erstreckt. VI Vorwort I Themen der Systemtechnik • Algebraische Strukturen • Aussagenlogik ~ Mathematik allgemein •1.. --.. • Numerische Analyse • Wahr chcinlichkeitstheorie • Statistik • Spieltheorie • Mathemalische Modelle • Modellbildung und Simulation H Operations Research 1•.. • Entscheidungstheorie • Optimierungsverfahren • Prognose-und Planungsverfahren - Netzplantechnik -..J • Informationstheorie Mathematisch-technische II • Steuerungs-. Regelungstheorie und -technik Theorien. Anwendungen I • Prozeß-Aut )lllatisierung • Zuverlässigkeitstheorie H • Computer-Technik •I.. Informatik • Struktur von Informationssystemen • adaptive und lernende ysteme • Wertanalyse • Management ~ WirtSchaftliche Aspekte •1.. - Finanzienmg - Verwaltung • Projekt-Management • Systemumgebungcn • Logi ehe eh rille der Systemanalyse und -synlhese --.j Spezifische Systemaspekte; • zeitliche Phasen der Systementwicklung - Planung und Organisation • Kybernetik Bild 1 Themen der Systemtechnik Die Reihenfolge der Themenübersicht auf dieser Seite skizziert bereits grob die weitere Vorgehensweise. Zunächst wird allgemein auf die notwendigen mathema tischen Grundlagen eingegangen, wobei hier die wesentlichen Strukturen in Form Vorwort VII der kommutativen Algebra und Differentialalgebra Inhalt sind. Die Methoden wer den im nächsten Schritt zur mathematischen Modellbildung genutzt, um dann die Verbindung zur Regelungstheorie herstellen zu können. Der Schwerpunkt liegt im Bereich der Analyse und auch Synthese von Regelungssystemen, die naturgemäß mit dem Einsatz von Teilgebieten der Informatik einhergehen. Bei der Abarbei tung von Analyse und Synthese sind spezifische Systemaspekte - darunter fallen z. B. die Berücksichtigung von Normalformen und Systemteilklassen, die logi sche Verknüpfung von Systemkenngrößen untereinander und die Optimierung von Algorithmen für spezifische Systembeschreibungen-von zentraler Bedeutung. Dieser nur abstrakt umrissene Inhalt soll nun näher spezifiziert und hinsichtlich Sinn und Zweck erläutert werden, um dem Leser so eine Hilfe bei der Auswahl geeigneter Abschnitte zu sein. Die Struktur wurde bewusst so angelegt, dass eine möglichst vollständige Vorgehensweise bei der Auslegung von Regelungskonzep ten-die von der Modellbildung über die Systemanalyse zur Konzeptsynthese und schließlich zur Implementierung führt- mit den Ansätzen und Methoden der Dif ferentialalgebra dargestellt wird. Die Übersicht in Bild 2 dokumentiert dies. Der erste Abschnitt befasst sich in allgemeiner Weise mit nichtlinearen Regelungs systemen, wobei die grundlegende Nomenklatur geklärt und die Formulierung des Regelungsproblems angesprochen werden. Außerdem erläutert der Abschnitt ei nige Modelle technischer Systeme, auf die im weiteren Verlauf zurückgegriffen wird. Daran schließen sich einige mathematische Grundlagen aus dem Bereich der Al gebra an, die einerseits für das grundsätzliche Verständnis notwendig sind und andererseits den Leser mit ausgewählten Begriffen der Differentialalgebra vertraut machen sollen. Abschnitt 3 definiert auf dieser Basis die Begriffe "System" und "Dynamik" und zeigt Möglichkeiten auf, diese mathematisch darzustellen. Einen Schwerpunkt des Buches stellt Abschnitt 4 dar, der sich mit der differentia lalgebraischen Analyse nichtlinearer Systeme auseinandersetzt Wesentliche Sys temkenngrößen wie Rang, Struktur im Unendlichen, Entkoppelbarkeit, essentielle Ordnungen, Flachheit und Nulldynamik werden eingeführt und ausführlich anhand von Beispielen erläutert. Soweit es möglich und sinnvoll ist, werden ausgesuchte Normalformen nichtlinearer Systeme berücksichtigt. Um eine Einordnung in den regelungstechnischen Kontext zu erreichen, werden die genannten Kenngrößen zu dem für den Fall linearer Systeme untersucht, um so Parallelen und Divergenzen zwischen linearen und nichtlinearen Systemen herauszuarbeiten. In Abschnitt 5 wird ebenfalls Systemanalyse betrieben, wobei im Gegensatz zu den vorherigen Ausführungen ein struktureller Ansatz favorisiert wird. VIII Vorwort Abschnitte 4 und 5 Abschnitt 6 Sy Iern Reg1elung eigenschaften konzepte Entwicklung Abschnitt 6 .------A-na-ly-se, _rAb schnitt 7 Abschnitte 4 und 5 Transfer Simulation Nichtlineare -Ab-sch-nit+t 2 Modell- +I ____ ...R__e gelungssystem__e_ , beschreibung Abschnitt 7 Abschnitt 1 Abschnitt 3 Implementierung Abschnitt 1: Nichtlineare Regelungssysteme Abschnitt 2: Mathematische Grundlagen Abschnitt 3: Beschreibungsformen für dynamische Mehrgrößensysteme Abschnitt 4: Kenngrößen nichtlinearer Systeme Abschnitt 5: Strukturelle Analyse Abschnitt 6: Grundlagen zur Synthese nichtlinearer Regelungskonzepte Abschnitt 7: Anwendung nichtlinearer Regelungskonzepte Bild 2 Gliederung des Inhalts Der nachfolgende Abschnitt nutzt die in der Systemanalyse erzielten Ergebnis se für die Synthese von Regelungskonzepten. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Auslegung dynamischer Rückführungen, wobei zahlreiche Klassen solcher Rück führungen unterschieden werden. Als wichtigste Regelungsziele sind hierbei die Linearisierung, Entkopplung und Störentkopplung sowie Trajektorienfolgerege lung zu nennen. Während Abschnitt 6 die theoretischen Grundlagen zur Synthese von Regelungskonzepten beleuchtet, wird daran anschließend in Abschnitt 7 die Anwendung auf technische Beispiele untersucht. Vorwort IX Das Vorwort möchte ich abschließen mit einem herzlichen Dank an alle dieje nigen, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Zuerst zu nennen ist sicherlich Herr Professor Dr.-Ing. Helmut Schwarz, der am Entstehen maßgeblich beteiligt war, indem er mir geeignete Rahmenbedingungen in seinem Fachgebiet zur Verfügung stellte und auch sonst mit Rat und Tat zur Seite stand. Des weiteren möchte ich den Herren Professoren Dr. rer. nat. Manfred Braun und Dr.-Ing. habil. Boris Lohmann für die Übernahme der Gutachten und die wertvollen Anmerkun gen herzlich danken. Ohne die vielen Kolleg(inn)en am Fachgebiet MSRT - aus Gründen der Gerechtigkeit möchte ich hier lieber keinen namentlich herausstel len - wäre diese Arbeit wohl sowieso nicht möglich gewesen, denn erst dieses angenehme Umfeld hat mich davon überzeugt, länger als für eine Dissertation an der Universität zu bleiben! Duisburg, im Mai 2002 Torsten Wey Inhaltsverzeichnis Vorwort V I Nichtlineare Regelungssysteme I 1.1 Systeme und Zustände . . . . . . . . . 4 1.2 Der Regelkreis und seine Komponenten 9 1.3 Formulierung des Regelungsproblems . 12 1.4 Technische Beispiele für nichtlineare Systeme 14 1.4.1 Planarer Roboterarm mit elastischen Gelenken 14 1.4.2 Differentialzylinder mit Servoventil-Ansteuerung 17 1.4.3 Ditlerentialzylinder mit 2 Servoventilen 20 1.4.4 Modell eines Kraftfahrzeugs . . . . . . 21 2 Mathematische Grundlagen 25 2.1 Lineare Algebra . . . . . 26 2.2 Begriffe der Differentialalgebra . 30 2.2.1 Differentielle Körper . . 33 2.2.2 Ditlerentielle Polynome 35 2.2.3 Differentielle Körpererweiterung . 36 3 Beschreibungsformen für dynamische Mehrgrößensysteme 4I 3.1 Realisierung ......... . 42 3.2 System und Dynamik ......... . 45 3.3 Ansatz nach LIE-BÄCKLUND .... . 49 3.4 Systeme in Ein-/A usgangsbeschreibung 51 3.5 Strukturelle Vorgehensweise . . . . . . 52 3.5.1 Graphentheoretische Begriffe und Definitionen 56 3.5.2 Strukturelle und graphentheoretische Systembeschreibung 59 3.5.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Kenngrößen nichtlinearer Systeme 66 4.1 KÄHLER-Differentiale ..... 67 4.2 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . 69 4.3 Differentieller Rang und Invertierbarkeit 74 4.3.1 Inversionsalgorithmus .... . 80 4.4 Struktur im Unendlichen ....... . 83 4.4.1 Systemtheoretische Bedeutung . 84 4.4.2 Lineare Eingrößensysteme . . . 84
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