Nichtlineare Dynamik und Chaos: Eine Einführung

487 Pages·1998·16.51 MB·German

by  Dr. rer. nat. Wolfgang Metzler (auth.)

Nichtlineare Dynamik
und Chaos
Eine EinfOhrung
Von Dr. rer. nat. Wolfgang Metzler
Universitat Gesamthochschule Kassel
m
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig 1998
Dr. rer. nat. Wolfgang Metzler
Geboren 1949 in GersfeldlRhOn. Von 1969 bis 1975 Studium der
Mathematik und Physik an der Universitiit Marburg. 1980 Promotion
an der Universitiit Gesamthochschule Kassel. Zwei Jahre wiss. Mit
arbeiter beim Zweiten Deutschen Fernsehen. Seit 1979 wiss. An
gestellter im Fachbereich Mathematikllnformatik an der Universitiit
Kassel, zunachst als GescMftsfOhrer der Forschungsgruppe Ma
thematisierung und danach als wissenschaftlicher Bediensteter mit
Lehrauftragen in der angewandten Mathematik und in der Mathe
matikausbildung anderer naturwissenschaftlicher Studiengange.
Forschungsschwerpunkt: Dynamische Systeme und Chaos.
Titelbild © IBM Deutschland GmbH 1985
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Metzler, Wolfgang:
Nichtlineare Dynamik und Chaos: eine EinfUhrung / von Wolfgang
Metzler. - Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1998
(Teubner-Studienbiicher: Mathematik)
ISBN-13: 978-3-519-02391-3 e-ISBN-13: 978-3-322-80098-5
001: 10.1007/978-3-322-80098-5
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© 1998 B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig
Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, HemsbachiBergstraBe
Vorwort
Chaos ist eine Ausdrucksform nichtlinearer dynamischer Systeme, so daB der mathe
matisch geschulte Leser die Chaostheorie in einem systematischen Aufbau nicht am
Anfang sondern irgendwann spater erwarten wiirde, wenn ein miiglichst allgemeines
begriffiiches Umfeld zur Verfiigung steht, in dem der Chaosbegriff und Eigenschaf
ten chaotischer Systeme durch geeignete Spezifikationen gewonnen werden kiinnen.
Ich habe einen anderen Aufbau gewahlt, und das hat im wesentlichen zwei Griinde:
Erstens miichte ich Sie als Leser dieses Buches gewinnen, also darf ich nicht zu
kompliziert beginnen, und es muB fUr Sie spannend bleiben, den Text verstehen zu
wollen. Zweitens sind die meisten der Ergebnisse aus dem ersten Teil jiinger als die
des zweiten Teils. Viele Fragen, die dort beantwortet werden, konnten erst in den
letzten Jahrzehnten aufgrund experimenteller Befunde gestellt werden und wurden
erst miiglich durch die rasante Weiterentwicklung unserer Computer, insbesondere
ihrer Geschwindigkeit und Speicherkapazitaten.
Teill des Buches behandelt ausschlieBlich die dynamischen Eigenschaften von Selbst
abbildungen auf Intervallen der reellen Achse, also eine "l-dimensionale" Theorie,
die vornehmlich in den vergangen 35 Jahren entwickelt worden und eng verkniipft
ist mit den Arbeiten von E. N. Lorenz, R. M. May, M. Feigenbaum, J.-P. Eckmann,
P. Collet, D. Ruelle und J. Guckenheimer. Ihre Resultate sind vergleichsweise jung,
und manchmal war es nicht einfach, sie auszuwerten und so aufeinander abzustim
men, daB ein eigenstandiges mathematisches Konzept zur Beschreibung und Beur
teilung chaotischen Verhaltens entstand, das sich von den eingefUhrten Lehrbiichern
von Collet und Eckmann aus dem Jahr 1980 und von Devaney aus 1986 abhebt.
Die Mathematik tat sich in den beiden letzten Jahrzehnten schwer, sich eine Theorie
des Chaos als miiglichen Bestandteil ihrer selbst vorzustellen. Viele experimentelle
Resultate wurden von ihr voreilig als "nicht theoriefahig" eingestuft, wahrend auf
der anderen Seite, vornehmlich in den angewandten Naturwissenschaften, von Na
turforschern, Wirtschaftswissenschaftlern und Philosophen, und nicht zuletzt von
Journalisten und den Medien iiber die dritte naturwissenschaftliche Revolution un
seres Jahrhunderts nach der Relativitatstheorie und der Quantenmechanik speku
liert wurde. lch selbst habe diese kontroverse Situation miterlebt, sie hat mein
wissenschaftliches Arbeiten gepragt, und Sie verspiiren sicher bereits nach dreiBig
bis vierzig Seiten, mit welch em Engagement ich Sie fiir nichtlineare Dynamik und
Chaos begeistern mochte.
Man bemerkt auch, daB ich einige der Protagonist en der Chaostheorie personlich
erlebt habe, und aus diesem personlichen Beriihrtsein bezieht das Buch seine Span
nung: Zum einen erzahle ich Ihnen eine (hoffentlich) interessante Geschichte und
versuche, Ihre Neugierde immer von Neuem zu wecken. Zum anderen lernen Sie
dadurch ein Stiick mathematischer Theorie kennen, und zwar mit der gewohnten
Sorgfalt und Prazision in Begriffsbildungen und mathematischen SchluBweisen. Urn
Sie, lieber Leser und liebe Leserin, nicht mutlos werden zu lassen, vermeide ich
groBe gedankliche Spriinge und gebe Ihnen ungewohnt viele Anmerkungen, kleine
Hilfestellungen und versorge Sie mit Hintergrundwissen und Verweisen, insbesondere
bei manchen Begriindungen und Beweisen, die man ohne Anpassungsprobleme an
anderer Stelle nachlesen kann. Dennoch enthiilt der Text viele Ratsel, nicht nur in
den Ubungsaufgaben, sondern auch in manchen bis heute offen gebliebenen Fragen
aus der mathematischen Forschung.
Zum ersten Teil des Buches mochte ich noch auf zwei Themen besonders hinweisen.
Zum einen, auf A. N. Sarkovskiis bedeutende Arbeit aus dem Jahr 1964, in der er eine
erschOpfende Auskunft iiber die Existenz samtlicher moglichen periodischen Orbits
von stetigen Selbstabbildungen der reellen Achse gibt. Dies ist ein bemerkenswertes
Resultat, das keine Entsprechung im Mehrdimensionalen hat und cirka zehn Jahre
nach Erscheinen erneut Bedeutung erlangte, als man begann, sogenannte Wege ins
Chaos zu erforschen (Abschnitt 4). Und zweitens auf eine aquivalente Beschreibung
von mathematischem Chaos mit Hilfe des sogenannten Hufeisens (Abschnitt 6), die
zuriickgeht auf Arbeiten von S. Smale in den 60-er Jahren. Die Existenz eines
Hufeisens ist dimensions- und geometrieunabhangig und wird im zweiten Teil des
Buches zu einem immer wiederkehrenden Strukturmerkmal chaotischer Dynamik.
Teil 2 behandelt zunachst chaotische Dynamiken hoherdimensionaler Modellsysteme
mit den Techniken aus dem ersten Teil (Abschnitt 10). Danach verlassen wir me
trische Raume und seltsame Attraktoren, und an ihre Stelle treten hyperbolische
Mengen auf Mannigfaltigkeiten, zunachst fiir Diffeomorphismen (Abschnitte 11 bis
13) und schlieBlich fiir kontinuierliche Fliisse, wo wir exemplarisch Hamiltonsche
Fliisse auf symplektischen Mannigfaltigkeiten und geodatische Fliisse auf Flachen
mit negativer Kriimmung studieren. Sie dienen uns als Stellvertreter fiir sogenann
tes weiches beziehungsweise hartes Chaos, charakterisiert durch positive Lyapunov
Exponenten beziehungsweise durch Isomorphie zu stochastischen Prozessen (15. und
letzter Abschnitt). Trotz der nicht geringen S~itenzahl ist das Buch doch nur ein
Einfiihrungstext, am SchluB laBt es den Leser mit mehr offenen als gelosten Fragen
zuriick.
Ich mochte vielen Menschen danken. Zunachst meinem verstorbenen Freund, Chef
und Kollegen, Prof. Friedrich Wille. Er hat mir immer wieder den Riicken freige
halten, wenn ich mich, vornehmlich in den Jahren von 1985 bis 1993, mit experi
mentellen Fragestellungen iiber chaotische Dynamik und fraktale Strukturbildung
beschiiftigte, was auch zur Folge hatte, daB ich mich manchmal nicht gut in die
universitare Ordnung einfiigen wollte und manchen sogar dazu veranlaBte, daran zu
zweifeln, ob ich iiberhaupt irgend etwas mit dem Mathematiker gemeinsam hatte.
Ein klein wenig beeinfluBt von fernostlicher Kultur neige ich dazu, zu glauben, daB
Friedrich Wille sich in seinem jetzigen Leben sehr iiber dieses Buch freut. Mein
Dank gilt auch Prof. Otto E. Rossler aus Tiibingen, den ich Mitte der 80-er Jahre
kennenlernte und der fiir mich Chaos lebt(e). Er hat mir viel Mut gegeben. Und
ich habe auch die zahlreichen Workshops und Diskussionen mit meinen "Tiibinger
Freunden" Joachim Peinke, Jiirgen Parisi, Michael Klein, Gerold Baier und den Kol
legen aus der Forschungsgruppe Engadyn nicht vergessen, nicht zuletzt deshalb, weil
wir in der Regel in zauberhafter Umgebung in den franzosischen Alpen gemeinsam
gearbeitet haben.
Urn ehrlich zu sein, auch die zahlreichen Vortrage, Aussteilungen und Buchprojekte
der Bremer Forschungsgruppe urn Prof. Heinz Otto Peitgen stachelten mich immer
wieder an. Danken mochte ich meinen friiheren Mitarbeitern W. Beau, W. Frees,
A. "Oberla, A. Breile und K. D. Schmidt, mit denen ich viele Jahre lang gemeinsam
zahlreiche Arbeiten veroffentlicht und Vortrage vorbereitet habe, die sich zum Teil
in diesem Buchprojekt wiederfinden. Besonders danken mochte ich Reiner Pilgram,
der mit der ihm eigenen Sorgfalt an einem Expose fUr dieses Buch mitgearbeitet
hat. Meinen Studenten gilt ebenfalls Dank, steilvertretend Volker Messerschmidt,
Carsten und Matthias Weiler und Claudia Lorenz, an denen ich zuletzt das Manu
skript noch einmal ausprobiert habe. Von ihnen stammen auch einige der Grafiken,
die auf Computerexperimenten beruhen. Danke dafur.
Nicht zustande gekommen ware dieses Buch ohne die Mitarbeit meiner Koilegin
Helga Wasgindt. Sie verarbeitete mit groBer Sorgfalt und Zuverlassigkeit mein Ma
nuskript, und man erkennt sicher ihr Talent und Engagement fiir eine ansprechende
Gestaltung von Text und Grafiken mit einem vergleichsweise geringen Einsatz raffi
nierter technischer Hilfsmittel.
Dem Verlag B. G. Teubner danke ich dafiir, daB er das Buch in sein Programm
aufnimmt, besonders Herrn P. Spuhler, der einen langen Atem bewies und prompt
reagierte, als das Buchprojekt Gestalt annahm und Erfolg versprach.
Naumburg, im Juli 1998 Wolfgang Metzler
Inhaltsverzeichnis
Teil 1 Chaostheorie
1 Dynamik iterierter Abbildungen 7
2 Unimodale Funktionen ............................................. 18
3 Parameterabhiingigkeit und Verzweigung - das Feigenbaum-Szenario 28
4 "Period Three Implies Chaos" und der Satz von Sarkovskii ......... 46
5 Lyapunov-Exponent und sensitive Abhangigkeit .................... 61
6 Chaos und Seltsame Attraktoren ................................... 79
7 Symbolische Dynamik und Knettheorie ............................. 99
8 . Renormierung ..................................................... 122
9 Universelle Eigenschaften diskreter dynamischer Systeme ........... 136
Teil 2 Nichtlineare Dynamik auf Mannigfaltigkeiten
10 Modelle fiir nichtlineare Dynamik im Mehrdimensionalen ........... 163
11 Dynamische Systeme auf Mannigfaltigkeiten ........................ 207
12 Hyperbolische Mengen und homokline Punkte ...................... 246
13 Transversalitat und strukturelle Stabilitat .......................... 282
14 Lagrangesche Mechanik und geodatische Fliisse auf hyperbolischen
Fliichen ............................................................ 339
15 Hamiltonsche Fliisse, invariante Mafie und Lyapunov-Spektrum ..... 385
Anhang ............................................................... 445
Hintergrundmaterial aus:
A.l Topologie ..................................................... 445
A.2 Mafitheorie ................................................... 449
A.3 Funktionalanalysis ............................................ 456
AA Tensoren und Kriimmung ..................................... 461
Literaturverzeichnis ................................................ 467
Sachverzeichnis ...................................................... 477
Teil 1 Chaostheorie
1 Dynamik iterierter Abbildungen
1.1 Definition. Es sei rf :: X -+ X, X f- 0, eine Abbildung einer Menge X in
siehl). Die Abbildungen X -+ X, definiert durch
x
(1.1)
f(fn(x))
mit x E X und n E Z+ = N U {OJ, werden als die (Vorwarts-)Iterierten von f
bezeichnet. 1st f umkehrbar2), dann bezeichnen wir die Abbildungen f-n : X -+ X,
definiert durch
(l.2)
als die Riickwartsiterierten von f.
1.2 Definition. Es sei X ein metrischer Raum 3). Eine stetige Abbildung f : X -+ X
ist ein diskretes dynamisches System ( ddS) und wird mit (X, I) bezeichnet. X heijJt
Phasenraum von f.
1.3 Definition. (X,I) sei ein ddS. (a) Fur einen Punkt x E X nennen wir die
Menge
ot(x) := {jn(x) I n E Z+} (l.3)
den (Vorwarts-)Orbit von x. 1st f ein Homoomorphismus4), dann heijJt
OJ(x) {j-n(x) I n E Z+} (1.4)
Riickwartsorbit von x, und
OJ(x) U ot(x) (l.5)
bezeichnet den vollen Orbit.
(b) Fur jedes x EX bezeichnet man die Menge der Hiiufungspunkte von OJ(x) als
die w-Limesmenge w( x ). Entsprechend bezeichnet a( x) (a-Limesmenge) die Menge
der H iiufungspunkte von OJ (x). a( x) und w( x) sind abgeschlossene M engen, und
es gilt f(w(x)) <;;; w(x) beziehungsweise f-l(a(x)) <;;; a(x) 5).
1) Kurz: eine Selbstabbildung auf X.
2) Das heiBt, injektiv und surjektiv mit der Umkehrfunktion 1-1.
3) Siehe Anhang A.l.
.) Das heiBt, list stetig, umkehrbar, und 1-1 ist ebenfalls stetig.
5) I Homoomorphismus: I(w(x)) = w(x), I(a(x)) = a(x).
W. Metzler, Nichtlineare Dynamik und Chaos
© B. G. Teubner Stuttgart · Leipzig 1998
8 Teil 1 Chaostheorie
1.4 Beispiele. Uninteressant (warum?) aus Sicht der nichtlinearen Dynamik sind:
(a) (R,exp):
=
Otp(l) {l,exp(l),exp(exp(1)), ...}
= {l,e,ee, ...} .
Existiert O;xp(l)?
(b) X=R, f(x)=x3, xo=2:
= =
OJ(xo) OJ(2) {2, 8, 512, 134217728, ...}
= =
O,(xo) 0,(2) {2,21/3,(21/3)1/3, ..•} .
1.5 Experiment. Iterieren mit dem Taschenrechner:
= =
(a) Xo 2, f(x) exp(x): Uberlauf.
= =
(b) Xo 2, f(x) cos(x): r(2) (--+) 0.73908 ... , und man erhiilt fUr beliebige
n .... oo
andere Werte Xo: r(xo) (--+) 0.73908 ... Warum?
n .... oo
Spekulation: Fiir eine gegebene Funktion f konvergiert die Iterationsfolge xnH =
f(xn) unabhiingig vom Anfangswert Xo gegen einen eindeutig bestimmten Grenzwert
(±oo zugelassen). FALSCH!
1.6 Experiment. Graphisches Iterieren der logistischen Abbildung (siehe Fig. 1.1):
x = [0,1], fa(x) = ax(1- x), x EX, a> 0 Parameter. (1.6)
1.7 Definition. (X, f) sei ein ddS und A i' 0 eine abgeschlossene Teilmenge von X.
=
(a) A heiflt invariant, falls f(A) A.
(b) A heiflt attraktiv, falls eine Umgebung U von A existiert mit der Eigenschaft:
Fur jede Umgebung V von A 6) gilt r (U) ~ V 7) fur hinreichend grofle n (n ~ n(V)).
U heiflt Fundamentalumgebung von A.
1.8 Satz. (X, f) sei ein ddS, A eine kompakte, attraktive Teilmenge von X und U
eine Umgebung von A.
Dann gilt: U ist genau dann eine Fundamentalumgebung von A wenn gilt:
lim d(r(x), A) = 0 gleichmiiflig fur alle x E U.8) (1.7)
n .... oo
Beweis. Ubungsaufgabe 2.
6) W ~ X ist Umgebung von A, wenn W Umgebung fiir aile Punkte x E A ist.
1) Fiir n E 1\1 und W ~ X sei: J"(W) = {fn(x) I x E W}, rn(w) = {x E X I J"(x) E W}.
8) d(x,A) := inf{d(x,a) I a E A} ist der Abstand des Punktes x E X zur nichtleeren Menge
A ~ X. Da A kompakt ist, wird das Infimum angenommen.
1 Dynamik iterierter Abbildungen 9
Fig. 1.1: Graphisches Iterieren der Abbildung J.(x) = 4x(1-x) UHx) = 0
fiir x = c = !, f.(c) = 1).
1.9 Definition. Sei (X, f) ein ddS und A eine kompakte Teilmenge von X. Die
Menge
EJ(A):= {xEXllimd(Jn(x),A)=O} (1.8)
n-oo
nennen wir dann den Einzugs bereich von A 9).
1.10 Satz. (Vergleiche Ruelle [132]' [133].) A ~ X sei eine attraktive Menge mit
einer Fundamentalumgebung U. Dann gilt: A ist genau dann invariant, wenn gilt:
n
J"(U) = A. (1.9)
n~O
Beweis. Mit U,(A):= U U,(a) gilt
aeA
n00
A U!,(A) , (1.10)
n=1
9) Vergleiche (1.39) und Satz 1.15 weiter unten fiir den Fall, daB A aullerdem attraktiv ist.
10 Teil 1 Chaostheorie
da A abgeschlossen ist (Franz [46], S. 79). Aus 1.7 (b) folgt also
n
r(U) ~ A. (1.11)
n2:0
= =
Aus f(A) A folgt A rCA) ~ r(U) und somit
n
A ~ r(U). (1.12)
n2:0
Sei umgekehrt A = n r(U). Aus x ¢ f(A) folgt
n2:0
(1.13)
und mit 1.7 (b)
(1.14)
beziehungsweise
(1.15)
fiir hinreichend groJ3e n. Damit ist
A = nr(U)~X\{x}, (1.16)
n2:0
das heiJ3t x ¢ A. Also gilt A ~ f(A).
Wiederum wegen 1.7 (b) gilt r(U) ~ U fiir hinreichend groJ3e n und somit
n n
r(U) = r(U) .10) (1.17)
n2:1 n2:0
f(A) ~ A folgt damit aus
f(A) = f(nr(U))~ nr+l(U) = nr(U) = A. (1.18)
n2:0 n2:0 n2:0 •
1.11 Satz. Sei X kompakt und U eine offene Teilmenge von X mit der Eigenschaft
feu) ~ U 11). (1.19)
Dann ist n
A := r(U) (1.20)
n2:0
10) Ergii.nzung: Aus A ~ f(A) folgt A ~ fk(U) fiir jedes k. Also ist fk(U) Umgebunng v on A und
nnac h 1.7 (b) f"(U) ~ fk(U) fiir n ~ n(k). Somit gilt fiir beliebiges N EN: f"(U) =
f"(U). n~N
n2::0
11) U: Abschlu6 von U.