Nichtkommutative Charaktertheorie der symmetrischen Gruppen [diss]

41 Pages·2006·0.266 MB·German

by  Armin Jöllenbeck

Nichtkommutative Charaktertheorie
der symmetrischen Gruppen
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at
der Christian-Albrechts-Universit¨at
zu Kiel
vorgelegt von
Armin J¨ollenbeck
Kiel 1997
Referent:......................................
Korreferent:...................................
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung:.................
Zum Druck genehmigt: Kiel, den..............
.................
Der Dekan
Meinem Vater
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Zugang zur Darstellungstheorie der
symmetrischen Gruppen beschrieben. Dabei wird nur der Fall betrachtet, daß
der zugrunde gelegte K¨orper die Charakteristik Null hat. In diesem Fall be-
steht ein wesentlicher Teil der Theorie darin, Charaktere von Darstellungen zu
untersuchen.
Zun¨achst werden drei ineinander enthaltene nichtkommutative Bialgebren de-
finiert: die der vollen Worte, die der Permutationen und die Rahmenalgebra.
Anschließend wird die kommutative Bialgebra der Klassenfunktionen definiert,
mit der sich grundlegende Konzepte der Charaktertheorie der symmetrischen
Gruppen u¨bersichtlich beschreiben lassen. Diese umfassen Induktion, Restrik-
tion, Skalarprodukt und irreduzible Charaktere.
Der sich anschließende Hauptteil besteht darin, einen Epimorphismus von der
Rahmenalgebra auf die Bialgebra der Klassenfunktionen anzugeben.
Abschließend werden die irreduziblen Charaktere der symmetrischen Gruppen
bestimmt und zum Nachweis der Anwendbarkeit der hier entwickelten Theo-
rie der Satz von Murnaghan–Nakayama, eines der Glanzstu¨cke der klassischen
Theorie, bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
1 Worte 5
2 Permutationen 9
3 Tableaux 11
4 Klassenfunktionen 16
5 Ein Epimorphismus 18
6 Charaktere 29
Eins- und Signumcharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kostka-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Irreduzible Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Rahmencharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Der Satz von Murnaghan–Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Schlußbemerkungen 39
Literatur 41
1 Worte
Im folgenden bezeichnen wir mit N die Menge der natu¨rlichen Zahlen ohne die
Null.
Fu¨r alle Teilmengen T ⊆ N setzen wir T := T ∪{0} .
0
Wir benutzen fu¨r alle n ∈ N die folgende abku¨rzende Schreibweise:
0
[n]:= {k ∈ N |k ≤ n} .
In der vorliegenden Arbeit sind die grundlegenden Objekte Worte mit natu¨rli-
chen Zahlen als Buchstaben, d.h. Tupelvon natu¨rlichen Zahlen, genauer gesagt
Abbildungen [k] → N fu¨r ein k ∈ N .
Fu¨r Worte u ∈ Nk und v ∈ Nl definieren wir deren Konkatenation uv ∈ Nk+l
durch:
u falls i ≤ k
(uv) := i fu¨r alle i ∈ [k+l] .
i v falls i > k
( i−k
Hierbei tritt ein Notationsproblem auf: Da u und v Abbildungen sind, und
wir in dieser Arbeit fu¨r die Hintereinanderausfu¨hrung zweier Abbildungen ein-
fach diese hintereinander schreiben, wobei die linksstehende zuerst angewendet
werden soll, k¨onnte man unter uv auch die Hintereinanderausfu¨hrung von u
und v verstehen. Die gemeinte Bedeutung ergibt sich hoffentlich leicht aus dem
jeweiligen Kontext.
Die Menge
N∗ := Nn
n∈[N0
ist mit der Konkatenation von Worten ein von N1 frei erzeugtes Monoid, wobei
das Einselement gerade das leere Wort ∅ ist. Wir identifizieren N1 und N .
Im folgenden sei K ein K¨orper.
Wir w¨ahlen einen Vektorraum KN∗ u¨ber K mit N∗ als einer Basis.
Dann benutzen wir allgemein fu¨r alle T ⊆ N∗ die Schreibweise
KT := hTi
K
fu¨r das lineare Erzeugnis von T in KN∗ .
Wir definieren eine symmetrische Bilinearform h·,·i auf KN∗ durch:
1 falls u= v
hu,vi := fu¨r alle u,v ∈ N∗ ,
0 sonst
(
und eine symmetrische Bilinearform auf KN∗⊗KN∗ durch:
hu ⊗u ,v ⊗v i := hu ,v i hu ,v i fu¨r alle u ,u ,v ,v ∈ N∗ .
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
5
Durch bilineare Fortsetzung der Konkatenation definieren wir eine Multiplika-
tion auf KN∗ und erhalten eine von N frei erzeugte assoziative Algebra mit
Einselement.1
Die L¨ange eines Wortes w ∈ N∗ ist gerade die M¨achtigkeit |w| , also w ∈ N|w| .
Fu¨r alle w ∈ N∗ und i ∈ N setzen wir
|w| := |{k ∈ [|w|] | w = i}| .
i k
Fu¨r alle T ⊆ N∗ und q ∈ N∗ setzen wir
T(q) := {w ∈T | ∀i∈[|q|]|w|i = qi und ∀i∈N\[|q|]|w|i = 0} .
Fu¨r alle T ⊆ N∗ setzen wir
T(∗) := T(q) .
q∈N∗
[
Fu¨r alle T ⊆ N∗ und n ∈N setzen wir
0
T(n) := T(q) .
q∈N∗
[
|q|=n
Die Elemente von N∗(∗) nennen wir volle Worte. Ein Wort w ∈ N∗ ist genau
dann ein volles Wort, wenn Bild w = [k] ist fu¨r ein k ∈ N .
0
Sind n ∈ N und q ∈ N∗ , so heißt q eine Zerlegung von n , in Zeichen q |= n ,
0
wenn gilt:
|q|
q = n .
i
i=1
X
Eine Zerlegung q |= n heißt Partition von n , in Zeichen q ⊢ n , wenn zus¨atzlich
gilt:
q ≥ q ≥ ... ≥ q .
1 2 |q|
Wie u¨blich bezeichnen wir mit p(n) die Anzahl der Partitionen von n .
Der Begriff Zerlegung l¨aßt sich wie folgt verallgemeinern: Sind q,r ∈ N∗ , so
heißt q Zerlegung von r , in Zeichen wiederum q |= r , wenn sich q schreiben
l¨aßt als q = t ···t mit t ,...,t ∈ N∗ und t |= r fu¨r alle k ∈ [|r|] . Die
1 |r| 1 |r| k k
Relation |= ist eine Halbordnung auf N∗ .
Sindq,r ∈ N∗ ,soheißen q undr assoziiert,inZeichenq ≈ r ,wenneinπ ∈ S
|q|
existiert mit q q ···q = r . Offensichtlich ist jede Zerlegung von n assozi-
1π 2π |q|π
iert zu genau einer Partition von n . Die Relation ≈ ist eine A¨quivalenzrelation
auf N∗ .
1DefiniertmanferneraufKN∗alsCoproduktdenAlgebren-HomomorphismusδvonKN∗
nach KN∗⊗KN∗ mittels der Freiheit von KN∗ durch a7→a⊗∅+∅⊗a fu¨r alle a∈N, so
erh¨alt man eine Bialgebra. Das prominenteste Ergebnis fu¨r diese ist der Satz von Friedrichs:
Ein Element f ∈ KN∗ ist genau dann in der von N mit dem Lieprodukt x◦y := xy−yx
erzeugten Lieteilalgebra von KN∗ , wenn das Bild von f unter diesem Coprodukt gleich
f⊗∅+∅⊗f ist.
6
Nach diesen allgemeinen Vorbemerkungen definieren wir eine fu¨r das folgende
u¨beraus wichtige algebraische Struktur auf KN∗(∗) . Dabei handelt es sich um
eine von der Konkatenation verschiedene Multiplikation und ein Coprodukt,
mit denen KN∗(∗) zu einer Bialgebra wird.
1.1 Definition Seien A,B ⊆ N mit |A| = |B| . Wir definieren einen Homo-
morphismus
A : N∗ → N∗
B
(cid:16) (cid:17)
mittels der Freiheit von N∗ durch:
A ist eine monotone Bijektion von A auf B ,
B
A
(cid:16) (cid:17)(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
x A = ∅ fu¨r alle x∈ N\A .
B
(cid:16) (cid:17)
1.2 Lemma Seien A,B,C,D ⊆ N mit |A| = |B| und |C|= |D| .
Wir setzen
−1
X := (B∩C) A und Y := (B∩C) C .
B A D C
(cid:16) (cid:17)(cid:12) (cid:16) (cid:17)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Dann gilt: (cid:12) (cid:12)
A C = X .
B D Y
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
1.3 Definition Seien k,l ∈ N und u∈ N(k) , v ∈ N(l) .
0
Dann definieren wir u•v ∈ KN(k+l) durch:
u•v := u [k] v [l] .
T [k+l]\T
T⊆X[k+l] (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
|T|=k
DurchbilineareFortsetzungerhaltenwireineMultiplikation•aufKN∗(∗).Auf
KN∗(∗)⊗KN∗(∗) definieren wir dann wie u¨blich eine Multiplikation durch
(u ⊗u )•(v ⊗v ):= u •v ⊗u •v
1 2 1 2 1 1 2 2
und bilineare Fortsetzung.
1.4 Definition Seien n ∈ N und w ∈ N(n) .
0
Dann definieren wir w↓ ∈KN∗(∗)⊗KN∗(∗) durch:
n
w↓ := w [j] ⊗w [n]\[j] .
[j] [n−j]
jX=0 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Durch lineare Fortsetzung erhalten wir ein Coprodukt ↓ auf KN∗(∗) .
1.5 Satz Fu¨r alle u,v ∈ KN∗(∗) gilt:
(u•v) = u↓• v↓ .

y
7
Beweis: Seien k,l ∈ N und u ∈N(k) , v ∈ N(l) .
0
Dann gilt einerseits:
(u•v) = u [k] v [l]
T [k+l]\T
 T⊆X[k+l](cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)
y |T|=k y
k+l
= u [k] v [l] [j]
T [k+l]\T [j]
T⊆X[k+l] jX=0 (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)(cid:16) (cid:17)
|T|=k
⊗ u [k] v [l] [k+l]\[j]
T [k+l]\T [k+l−j]
(cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)(cid:16) (cid:17)
k+l
= u [k] [j] v [l] [j]
T [j] [k+l]\T [j]
T⊆X[k+l] jX=0 (cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
|T|=k
⊗u [k] [k+l]\[j] v [l] [k+l]\[j]
T [k+l−j] [k+l]\T [k+l−j]
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
k+l
= u [|T∩[j]|] v [j−|T∩[j]|]
1.2 T∩[j] [j]\(T∩[j])
T⊆X[k+l] jX=0 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
|T|=k
⊗u [k]\[|T∩[j]|] v [l]\[j−|T∩[j]|]
(T\[j])−j [k+l−j]\((T\[j])−j)
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
und andererseits:
k l
u↓• v↓ = u [j1] ⊗u [k]\[j1] • v [j2] ⊗v [l]\[j2]
 [j1] [k−j1]   [j2] [l−j2] 
jX1=0 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) jX2=0 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
   
k l
= u [j1] •v [j2] ⊗ u [k]\[j1] •v [l]\[j2]
[j1] [j2] [k−j1] [l−j2]
jX1=0 jX2=0 (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:17)
k l
=
jX1=0 jX2=0 T1⊆X[j1+j2] T2⊆[k+Xl−j1−j2]
|T1|=j1 |T2|=k−j1
u [j1] [j1] v [j2] [j2]
[j1] T1 [j2] [j1+j2]\T1
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
⊗u [k]\[j1] [k−j1] v [l]\[j2] [l−j2]
[k−j1] T2 [l−j2] [k+l−j1−j2]\T2
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
8
k l
=
1.2
jX1=0 jX2=0 T1⊆X[j1+j2] T2⊆[k+Xl−j1−j2]
|T1|=j1 |T2|=k−j1
u [j1] v [j2] ⊗u [k]\[j1] v [l]\[j2]
T1 [j1+j2]\T1 T2 [k+l−j1−j2]\T2
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
k+l k l
=
T⊆X[k+l] jX=0 jX1=0 jX2=0 T1⊆X[j1+j2] T2⊆[k+Xl−j1−j2]
|T|=k j1+j2=j |T1|=j1 |T2|=k−j1
| {z } T1∪(T2+j)=T
| {z }
u [j1] v [j2] ⊗u [k]\[j1] v [l]\[j2]
T1 [j1+j2]\T1 T2 [k+l−j1−j2]\T2
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Ein Vergleich beider Summationen ergibt die Behauptung. 2
Eine ebenso elementare und etwas l¨angliche Rechnung beweist:
1.6 Satz Das Produkt • ist assoziativ.
1.7 Bemerkung Das leere Wort ∅ ist Einselement bzgl. des Produkts • .
Satz 1.5 besagt gerade, daß KN∗(∗) mit dem Produkt • und dem Coprodukt
↓ eine Bialgebra ist.
2 Permutationen
Fu¨r alle n ∈ N sind die Elemente von N∗(1n) gerade die Permutationen aus
der symmetrischen Gruppe S . Wir setzen
n
S := S
n
n∈[N0
und erhalten
KS = KS ⊆ KN∗(∗) .
n
nX∈N0
Diese Summe ist offensichtlich direkt.
Ein kurzer Blick auf 1.3 und 1.4 zeigt, daß die Einschr¨ankungen von • und
↓ den Teilraum KS von KN∗(∗) zu einer Teilbialgebra machen.2 Auch das
2 DasProduktl¨aßtsichauchwiefolgtdefinieren:ManbildezuderinFußnote1aufSeite6
beschriebenenBialgebra diesogenannteKonvolutionsalgebra EndKKN∗ underkenntKS als
Teilalgebra davon. Genauer gesagt, definiereman ein Produkt auf EndKKN∗ durch f •g :=
δ(f⊗g)µ,wobeiµ:KN∗⊗KN∗ →KN∗ diedurchx⊗y7→xy definiertelineareAbbildung
ist. Anschließend identifiziere man eine Permutation mit dem linearen Endomorphismus, den
sie durch Linksoperation auf Worten bewirkt. Zu dieser Definition des Produkts siehe [10] ,
Seite978. ReutenauerundMalvenutodefinierendort aufSeite977dasCoproduktwiein 1.4,
bloß nurfu¨r Permutationen, statt fu¨r volle Worte.
9
Einselement ist in KS enthalten:
∅ = id ∈ S ⊆ KS .
∅ 0
Fu¨rdieseBialgebragibtdiefolgendeDefinitioneinwichtiges linearalgebraisches
Konzept:
2.1 Definition WirdefiniereneinesymmetrischeBilinearform3 aufKS durch:
1 fu¨r σ = τ−1
(σ,τ) = fu¨r alle σ,τ ∈ S ,
0 fu¨r σ 6= τ−1
(
und eine symmetrische Bilinearform auf KS ⊗KS durch:
(σ ⊗σ ,τ ⊗τ ) := (σ ,τ ) (σ ,τ ) fu¨r alle σ ,σ ,τ ,τ ∈ S .
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2.2 Bemerkung Die symmetrische Bilinearform (·,·) auf KS ist assoziativ:
(φψ,ρ) = (φ,ψρ) fu¨r alle φ,ψ,ρ ∈ KS .
2.3 Lemma Fu¨r alle m ∈ N , π ∈ S und A ⊆ N mit |A|= m gilt:
m
π [m] = π [m] .
A A [m]
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)(cid:12)
(cid:12)
Dabei steht auf der linken Seite das Bild de(cid:12)s Wortes π unter dem Endomor-
phismus [m] von N∗ und auf der rechten Seite die Hintereinanderausfu¨hrung
A
der Perm(cid:16)utat(cid:17)ion π und der Abbildung [m] :[m]→ A .
A
[m]
(cid:16) (cid:17)(cid:12)
(cid:12)
Bemerkenswert ist das folgende Reziprozit¨ats(cid:12)gesetz:
2.4 Satz Fu¨r alle σ,τ,π ∈ KS gilt:
(σ•τ ,π) = (σ⊗τ , π↓) .
Beweis: Es genu¨gt, σ,τ,π ∈ S zu betrachten. Seien k,l ∈ N und σ ∈ S ,
0 k
τ ∈ S . Sei π eine weitere Permutation. Wegen σ • τ ∈ N(k+l) k¨onnen wir
l
annehmen, daß π ∈ S ist.
k+l
Einerseits ist (σ•τ ,π) ∈ {0,1} und genau dann gleich 1 , wenn gilt:
σ [k] τ [l] = π−1 .
[k]π−1 [n]\[k]π−1
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Mit 2.3 und der Definition der Konkatenation von Worten bedeutet letzteres
gerade:
π−1 = σ [k]
[k] [k]π−1 [k]
(cid:12) (cid:16) (cid:17)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
3Man sieht leicht, daß hier nichts(cid:12)anderes definiert w(cid:12)ird als die Killingform der Algebra
KS = n∈N0KSn mitderHintereinanderausfu¨hrungvonPermutationenalsProduktinden
einzelnen Summanden.
L
10