Ngoc-Minh DANG CONTRˆOLE STOCHASTIQUE APPLIQUÉ`A LA FINANCE

163 Pages·2011·1.89 MB·French

UNIVERSITE´ PARIS DAUPHINE - PARIS 9
U.F.R. DE MATHE´MATIQUES DE LA DE´CISION
No attribu´e par la biblioth`eque
THE`SE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR E`S-SCIENCES
SPE´CIALITE´ MATHE´MATIQUES APPLIQUE´ES
Ngoc-Minh DANG
2011
sous le titre
ˆ
CONTROLE STOCHASTIQUE
´ `
APPLIQUE A LA FINANCE
Directeur de Th`ese
M. Bruno BOUCHARD
JURY
M. Fr´ed´eric ABERGEL, E´cole Centrale Paris
M. Bruno BOUCHARD, Universit´e Paris-Dauphine
M. Jim GATHERAL, Baruch College
M. Charles-Albert LEHALLE, Cr´edit Agricole Cheuvreux
M. Gilles PAGE`S, Universit´e Paris VI
M. Mathieu ROSENBAUM, E´cole Polytechnique
M. Nizar TOUZI, E´cole Polytechnique
ii
A mes parents
Remerciements
Je souhaite exprimer ma plus profonde gratitude `a Bruno Bouchard pour
son encadrement scientifique, sa confiance et son soutien. Le temps et la
disponibilit´e qu’il m’a r´eserv´es ´etaient indispensables pour finir cette th`ese.
Mesplusvifsremerciementsvontaussi`al’entrepriseCr´editAgricoleCheuvreux
qui m’a ouvert ses portes, et plus particuli`erement `a Charles-Albert Lehalle
qui m’a encadr´e et accueilli au sens de son ´equipe. J’ai vraiment appr´eci´e
ses conseils, son ouverture et sa patience.
Jeremercietr`essinc`erementNizarTouzietFr´ed´ericAbergeld’avoiraccept´e
de rapporter ce manuscrit. Leur remarques pertinentes et leur int´erˆet pour
mon travail me font l’honneur.
Les travaux de Jim Gatheral sont `a la base de la premi`ere partie de ce
travail. Je lui suis particuli`erement reconnaissant d’avoir accept´e de faire
partie de mon jury.
Je tiens `a remercier chaleureusement Gilles Pag`es qui m’a permit de faire
mes premiers pas d’´etude de math´ematiques financi`eres dans le cadre du
DEA de Paris VI. Sa pr´esence dans mon jury est tr`es symbolique pour moi.
Les discussions avec Mathieu Rosenbaum ´etaient tr`es int´eressantes pour
moi. Je suis tr`es heureux qu’il accepte d’ˆetre un membre du jury.
J’adresse mes plus sinc`eres remerciements `a mes amis de chez Cr´edit Agri-
cole Cheuvreux. Merci donc `a Julien Razamafinana, Romain Burgot, Dana
Croiz´e, Nicolas Joseph, Silviu Vlasceanu, Vincent Leclerc, Benoit Carre.
Je remercie´egalement mes amis Romuald Elie, Jean-Fran¸cois Chassagneux,
Moreau Ludovic, Adrien Nguyen-Huu et Thanh-Nam Vu pour les bons mo-
ments que l’on a eu pendant ces trois ann´ees.
Je souhaite en fin remercier mes grand-parents, mes parents et toute ma
famillequim’onttoujourssoutenu. Jen’oublieraijamaislesdifficult´esqu’ils
ont surmont´ees pour m’´elever, pour me permettre de poursuivre mes´etudes
jusqu’aujourd’hui. Un grand merci de tout mon cœur `a tous ceux qui m’ont
support´e pendant les moments difficiles.
R´esum´e
Cette th`ese traite des probl`emes de trading optimal avec une approche de
contrˆole stochastique et se compose de quatre parties.
Oncommence,danslapremi`erepartie,parune´etudedel’impactduvolume
sur le prix. Pour cela, on introduit un mod`ele structurel en temps discret
dont le changement de prix est duˆ aux impacts de tous les volumes, affaiblis
par un facteur de decay. En utilisant une version continue du mod`ele pr´ec´e-
dent, on obtient une condition n´ecessaire sur les strat´egies minimisant une
fonctionnelle de type moyenne-variance. Cette ´equation int´egrale de Fred-
holmdupremiertypeestr´esoluenum´eriquementetonobtientdesstrat´egies
optimales. Ces travaux g´en´eralisent le mod`ele d’Almgren-Chriss tr`es utilis´e
en pratique.
Danslasecondepartie,onproposeunmod`eleg´en´eriquepermettantd’optimiser
l’utilisation d’algorithmes de trading. En nous basant sur des techniques
de contrˆole impulsionnel, on mod´elise l’ex´ecution d’un large ordre par une
s´equence de variables (τ ,δ ,E ) de contrˆole, d´efinies de telle sort que la
i i i i
i-i`eme slice est ex´ecut´ee dans [τ ,τ +δ ] avec le param`etre E envoy´e aux
i i i i
robots de trading. On caract´erise la fonction valeur comme solution de vis-
cosit´e d’un syst`eme d’EDP. On fournit un sch´ema num´erique et on prouve
dont la convergence. L’approche est illustr´ee par un exemple num´erique
correspondant `a un cas r´eel, calibr´e sur donn´ees financi`eres.
On s’int´eresse ensuite `a la notion d’´evaluation d’option sur liquidation de
book dans un mod`ele `a facteur d’impact, pour lequel les notions habituelles
d’´evaluation par mesure risque neutre ne font plus sens. On commence par
traiter un cadre abstrait qui g´en´eralise les travaux de Bouchard-Elie-Touzi
(2008), puis on l’applique `a l’´evaluation de garanties de type VWAP.
On´etablit dans la derni`ere partie un r´esultat d’´equivalence entre probl`emes
de cibles stochastiques et probl`emes de contrˆole optimal sous forme stan-
dard. Onmontrecommentretrouverl’´equationd’Hamilton-Jacobi-Bellman
`apartirdes´equationsobtenuesparl’approchedeciblesstochastiques. Cette
partie est d´econnect´ee des autres mais est int´eressante car elle apporte un
nouvel ´eclairage sur le contrˆole optimal.
Abstract
This PhD thesis considers the optimal trading problem from the stochastic
control approach and consists of four parts.
In the first part, we begin with the study of the impacts generated by
volumes on the price process. To do so, we introduce a structural model
in which price movements are due to not only the last trade’s volume but
also to those of earlier trades, weakened by a decay factor. Considering a
similar continuous version, we provide a condition ensuring the optimality
of a strategy for the minimization of the execution cost in a mean-variance
framework. We provide a numerical method to solve this condition, which
is known as the Fredholm equation of the first kind. This work generalizes
the previous model proposed by Almgren-Chriss and used extensively in
trading.
In the second part, we propose a general model to optimize the way trading
algorithms are used. Using an impulse control approach we model the exe-
cution of a large order by a sequence of triple (τ ,δ ,E ) , which is defined
i i i i
so that the i-th slice is executed in [τ ,τ +δ ] with parameter E sent to the
i i i i
trading robots. We characterize the value function as a viscosity solution of
asystemofPDE.Weprovideanumericalschemeandproveitsconvergence.
Numerical illustrations are given for a real case, which has been calibrated
on financial data.
We deal with the problem of pricing an option on the book liquidation in
presence of impact where the classical pricing by neutral risk measure fails.
We begin with an abstract model generalized from the work of Bouchard-
Eile-Touzi (2008), and then apply to compute the price of a VWAP guar-
anteed contract.
We establish in the last partan equivalence resultbetween stochastic target
problems and standard optimal control . We derive the classical Hamilton-
Jacobi-Bellman from the PDE obtained in the stochastic target framework.
This part is disconnected from the trading problem discussed above but is
of interest in the optimal control literature.
vi
Contents
Introduction xi
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
2 Premi`ere partie : mod`ele d’impact et trading optimal . . . . . . . . . . xiii
3 Deuxi`emepartie: mod`eleg´en´eralpourmod´eliserlecontrˆoled’algorithmes
de trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
4 Troisi`eme partie : mod`ele de cible stochastique g´en´eralis´ee et applica-
tions au trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
5 Quatri`eme partie : un r´esultat d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
6 Quelques rep`eres bibliographiques pour les applications du contrˆole op-
timal au trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii
I Market impact and optimal trading 1
1 Post-trade market impact model 5
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 A simple typology of impacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Model with decayed price impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Model calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Practical applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1 Post-impact estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Explanatory capability of post-trade market impact estimation . 11
vii
CONTENTS
2 Optimal strategies with transient impact 17
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Problem description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Instantaneous impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Permanent impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Optimal condition with transient impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1 Calculusofvariationsforintegraldependingonconvolutionprod-
ucts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Optimal condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 Discretization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Optimal strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Proof of Lemma I.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II Optimal trading with general impulse control approach 27
3 General impulse control approach 31
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1 Control policies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Output of the trading algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Gain function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Viscosity characterization of the value function . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Proof of the viscosity characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Viscosity properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Supersolution property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Subsolution property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 A comparison result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viii