new exact solutions in non-linear elasticity

18 Pages·2002·1.05 MB·English

.rnI J gngnE .icS .loV 23, No. 2, .pp 217-234, 1985 0020-7225/85 $3.00 + l.0
detnirP ni the .A.S.U 0 1985 Pergamon Press .dtL
NEW TCAXE SNOITULOS NI RAENIL-NON
YTICITSALE
.K .R LAPOGAJAR
tnemtrapeD fo lacinahceM ,gnireenignE ytisrevinU fo ,hgrubsttiP ,hgrubsttiP AP 1526 1, .A.S.U
dna
.A .S NAMENIW
tnemtrapeD fo lacinahceM gnireenignE dna deilppA ,scinahceM ytisrevinU fo ,nagihciM
nnA ,robrA IM 48 109, .A.S.U
nI-tcartsbA siht ,krow ew hsilbatse lareves wen tcaxe snoitulos ot yradnuob eulav smelborp ni
raenil-non .yticitsale eW wohs taht ni eht esac fo eht noisrot fo a ,bals ni noitidda ot eht cissalc
noisrot ,noitulos ereht tsixe na ytinifni fo snoitulos hcihw era ton .cirtemmys eW yduts lareves
detaicossa yradnuob eulav .smelborp eW osla wohs taht a ylraenilnon citsale bals nac tibihxe -non
mrofinu laixainu noisnetxe ,snoitulos ni noitidda ot eht cissalc mrofinu laixainu noisnetxe .noitulos
1. INTRODUCTION
ECNIS eht gnireenoip krow fo ,nilviR ,neerG Adkins and rehto ni eht -non
raenil yroeht fo yticitsale .fc( neerG and Adkins [ )11 ereht evah neeb wef wen snoitulos
hcihw evah neeb .detibihxe nI this ,krow ew establish snoitulos ot lareves wen detaicossa
yradnuob eulav smelborp ni eht yroeht fo raenil-non .yticitsale An gnihsinotsa erutaef ni
all eht smelborp tlaed htiw is eht ytilibissop fo an etinifni class fo tcaxe .snoitulos ehT
tsom gnitseretni fo eht smelborp deiduts is that fo eht slab ni erup ,noisrot erehw ni
noitidda ot eht cissalc noisrot noitulos ew tibihxe eht ytilibissop fo an ytinifni fo -non
cirtemmys .snoitulos ecniS all eht smelborp deredisnoc evlovni etinifni ,sniamod a
ytilibats sisylana desab no ygrene is ton ylidaer .elbaliava eW od ton yduts eht ytilibats
,melborp tub evael this ot a retal .etad ehT snoitseuq fo ytilibats ,gnidnatshtiwton eht
tcaxe snoitulos ni sevlesmeht era os elpmis that yeht era htrow .gnidrocer
ruO sisylana ereh is an htworgtuo fo a tnecer yduts yb lapogajaR and nameniW ,]2[
ohw deredisnoc eht noitamrofed fo a ylraenil-non citsale lairetam hcihw is dehciwdnas
neewteb owt etinifni lellarap ,setalp a ecnatsid ’h‘ apart, detator yb eht emas angular
tnemecalpsid Q tuoba owt tnedicnioc-non sexa ralucidneprep ot eht .setalp ehT mrof
hcihw yeht assumed rof eht noitamrofed dednopserroc ot a raehs hcihw( is tnedneped no
eht etanidrooc lamron ot eht )setalp dewollof yb a digir .noitator yehT dehsilbatse tcaxe
snoitulos ni eht esac fo a naekooH-oen and nilviR-yenooM .lairetam yehT osla deiduts
eht ecneuqesnoc fo eht ylraenil-non citsale lairetam gnieb deziretcarahc yb a xevnoc-non
derots ygrene .noitcnuf nI this esac yeht dnuof that ti is elbissop that eht noitulos possess
suounitnocsid noitamrofed stneidarg and tibihxe eht anemonehp fo esahp .egnahc
nI this ,krow ew wish ot yduts an ,detaicossa tub ,tnereffid class fo .smelborp llA eht
smelborp era denrecnoc htiw eht noitamrofed fo a slab fo ssenkciht ’h‘ esohw rehto
snoisnemid era ,etinifni eht pot and eht mottob secafrus fo eht hciwdnas gnieb dednob
ot digir .setalp ,oslA ni all eht gniwollof ,krow eht ylraenil-non citsale lairetam neewteb
eht setalp is rehtie naekooH-oen ro a nilviR-yenooM .lairetam ,tsriF ti is ruo aim ot
eht secneuqesnoc fo gnitator eht pot and eht mottob setalp yb ,tnatsnoc tub
gnireffid ,stnuoma tuoba tnedicnioc-non sexa ralucidneprep ot eht setalp .fc( .giF .)1 roF
eht ylraenilnon citsale slairetam ni ,noitseuq ew era ni a noitisop ot establish an ytinifni
fo tcaxe .snoitulos eW tsrif tibihxe tcaxe snoitulos ni eht laiceps esac fo a naekooH-oen
.lairetam tI is dnuof that a owt retemarap ylimaf fo snoitulos is .elbissop eW etagitsevni
ni liated eht noitulos ,hcihw nehw eht tesffo neewteb eht sexa ’u‘ ,sehsinav secuder ot eht
cissalc noisrot .noitulos ,revewoH this noitulos is yb on snaem eht ylno noitulos ot eht
melborp rednu .noitaredisnoc eW osla etupmoc eht snoitcart no eht reppu and rewol
ecafrus and dnif that yeht era ton eht .emas tI is osla dnuof that eht lacol noitubirtnoc
ot eht tnatluser tnemom is tnereffid at eht reppu and rewol secafrus rof dexif seulav fo
eht setanidrooc ni eht enalp lamron ot eht sexa fo eht .setalp
nI eht esac fo a nilviR-yenooM ,lairetam rof eht dnik fo noitom rednu noitaredisnoc
217
812 .K .R LAPOGAJAR dna .A .S NAMENIW
LY h2
.giF .I niamoD fo .noitamrofed
eht snoitauqe fo muirbiliuqe dael ot a delpuoc metsys fo raenil yranidro laitnereffid
snoitauqe eseht( snoitauqe elpuocnu ni eht naekooH-oen .)esac ehT melborp nac eb
ylisae decuder ot that fo gnivlos a elgnis raenil yranidro laitnereffid noitauqe rof a
xelpmoc .noitcnuf ehT melborp is drawrofthgiarts and eno nac enimreted eht noitulos
htiw .esae ecnO again an etinifni class fo snoitulos is .elbissop
,txeN ew yduts eht melborp fo gnitator eht pot and eht mottob setalp yb tnereffid
stnuoma tuoba a nommoc ,sixa yleman eht noisrot ?.melborp tsoM ,ylgnitseretni ew
ecno again tibihxe an etinifni eno retemarap ylimaf fo snoitulos rof eht melborp ni
.noitseuq ehT cissalc noisrot noitulos sgnoleb ot this class. elihW ti is eht ylno cirtemmys
noitulos ot eht ,melborp ereht era yletinifni ynam cirtemmys-non snoitulos hcihw era
ylirartibra esolc ot eht cissalc noisrot .noitulos
eW osla yduts eht melborp fo eht lairetam gnieb tcejbus ot etinif laixa gnihcterts
dewollof yb .noisrot nI eht esac fo a nilviR-yenooM lairetam ti turns tuo that eht
snoitauqe fo muirbiliuqe ,yfilpmis retfa yhtgnel ,snoitalupinam ot a delpuoc metsys fo
yranidro laitnereffid snoitauqe hcihw evah an ylgnizama elpmis .noitulos ecnO again, eht
melborp stibihxe eht railucep citsiretcarahc fo gnissessop an ytinifni fo .snoitulos fO
,esruoc nehw ereht is on ,gnihcterts eht snoitulos ecuder ot esoht deniatbo rof eht erup
noisrot .melborp
llA eht snoitulos ni eht esac fo eht nommoc sixa melborp and eht tnedicnioc-non sexa
melborp ,deredisnoc tpecxe eht last class fo ,smelborp dnopserroc ot snoitamrofed ni
hcihw yna enalp lellarap ot eht ,setalp sniamer ni eht emas ,enalp tub setator yb an
tnuoma )z(?L hcihw sdneped no eht etanidrooc lamron ot eht .setalp tahT hcus snoitamrofed
dluoc ylbissop dael ot euqinu-non snoitulos is detavitom yb s’rekreB noitagitsevni otni
eht lacissalc nainotweN diulf .]3[ tahT a ralimis noitautis sniatbo ni erom lareneg sdiulf
was dehsilbatse yb lapogajaR ,4[ 51 and lapogajaR and atpuG .]6[
nI eht tnemtaert fo eht laixainu noisnetxe melborp eno assumes iroirpa that eht laixa
hcterts oitar seod ton yrav gnola eht noitcerid ni hcihw eht ecrof is .deilppa ,yltneceR
eit-mC and seyaH ]8[ dehsilbatse eht gnitseretni ytilibissop fo mrofinu-non noisnetxe ni
eht esac fo elbisserpmoc ylraenil-non citsale .slairetam eW tneserp an elpmaxe ni hcihw
laixa noitairav fo eht hcterts oitar is elbissop ni eht esac fo elbisserpmocni ylraenil-non
citsale .slairetam nI eht esac fo eht naekooH-oen lairetam ti turns tuo that an noitauqe
hcihw at tsrif ecnalg smees an ylgnideecxe detacilpmoc raenil-non yranidro laitnereffid
noitauqe sessessop a elpmis tnagele .noitulos
retfA a feirb weiver fo eht yrassecen scitamenik ni eht txen ,noitces ew evired eht
etairporppa mrof fo eht snoitauqe fo muirbiliuqe rof eht smelborp rednu noitaredisnoc
ni noitceS 3. nI noitceS 4, ew yduts eht melborp fo a naekooH-oen lairetam dehciwdnas
neewteb owt etinifni lellarap setalp hcihw era detator tuoba tnedicnioc-non sexa yb
gnireffid .stnuoma ehT melborp and noitulos erudecorp ni eht esac fo a nilviR-yenooM
lairetam is deredisnoc ni noitceS 5. nI eht txen noitces ew yduts eht noisrot melborp ni
eht esac fo eht naekooH-oen and eht nilviR-yenooM .lairetam nI noitceS 7 ew yduts eht
melborp fo eht lairetam gnieb tcejbus ot laixa gnihcterts dewollof yb noisrot .fc( lapogajaR
and nameniW .)]9[ nI eht lanif noitces ew yduts eht mrofinu-non laixainu noisnetxe fo
a $.reyal
t ew evah deviecer a lanosrep noitacinummoc morf .forP .R T. dleihS ]7[ taht eht evoba melborp dna rehto
tcaxe snoitulos era gnieb deiduts yltnednepedni yb .J .M lliH dna .R T. dleihS dna eht krow si ot eb dettimbus
rof .noitacilbup ,revewoH ta siht emit ew evah ton nees eht tpircsunam dna ecneh od ton wonk eht tcaxe erutan
fo rieht .krow
4 It dluow eb etairporppa ot tniop tuo taht lareves gnitseretni tcaxe snoitulos evah neeb dehsilbatse yltnecer
rof lacimanyd smelborp ni raenil-non yticitsale yb .M .M llorraC .fc( .sfeR [ .)121-01
New tcaxe solutions in non-linear elasticity 912
.2 KINEMATICS
roF eht melborp fo noitator fo eht setalp tuoba gnireffid sexa and a nommoc ,sixa ti
dluow eb larutan ot assume a noitom fo eht ?mrof
x = ])Z(f-X[ soc )Z(Q - Y[ - ])Z(f sin )Z(Q )Zif,+ l)l.2(
sin )Z(Q + Y[ - ])Z(S soc )Z(Q + )Z(j 2)1.2(
y = [X -,7(Z)]
z=% .2( 3)I
erehw X, Y, Z and ,x ,y z tneserper eht ecnerefer and eht tnerruc setanidrooc fo eht emas
lairetam ,tniop .ylevitcepser ehT evoba noitom stneserper a noitamrofed ni hcihw lairetam
stniop hcihw eil ni yna enalp lellarap ot eht setalp eunitnoc ot niamer ni eht ,enalp eht
enalp gnitator tuoba a tniop yb an tnuoma .)z(Q ehT sucol fo eseht sretnec fo snoitator
is ni lareneg a evruc ni ecaps passing hguorht eht sretnec fo noitator fo eht pot and
mottob ,etalp eht sucol gnieb denifed yb
x = f(Z) and Y = .)Z(K 2.h2.2(
ehT noitatneserper .2( 3,2.,)l yletanutrofnu sdael ot niatrec seitiralugnis ni eht .noitulos
tI is ysae ot ees eht lacisyhp basis rof this ytluciffid nehw eno sredisnoc that tnereffid
angular stnemecalpsid fo eht pot and mottob etalp dluoc dael ot emos enalp lellarap ot
eseht setalp hcihw has orez ,noitator ni hcihw esac ereht era seitluciffid detaicossa htiw
eht noiton fo eht retnec fo .noitator oT diova hcus ,seitluciffid ni this krow ew esoohc ot
sserpxe eht noitom ni eht mrof
x = X soc )Z(Q - Y sin )Z(Q + )Z(j 1)3.2(
y = X sin )Z(Q + Y soc )Z(Q + )Z(g ~)3.2(
z = .z ~)3.2(
tI swollof morf 3,2,1)3.2( that eht noitamrofed tneidarg F has eht gniwollof xirtam
:noitatneserper
c -s ’QSX- - YCO’ + ’f
F= S c XCU- ’g+’osY )4.2(
! 0 0 1
erehw
c = soc )Z(Q = soc )z(n l)S2(
S = sin )Z(Q = sin )z(Q 2)5.2(
and eht semirp etoned noitaitnereffid htiw tcepser ot eht .tnemugra enO nac won etirwer
xirtam )4.2( ni smret fo eht tnerruc setanidrooc ,x ,y and z as
c s-
'f+)g-y('n-
c ’g+)‘1.-x(P )6.2(
1
roF eht ekas fo yticilpmis tel us ecudortni snoitcnuf ,y(~( )z and ,x(P )z hguorht
Q(Y, z) =S’- WY-g) )7.2(
t ehT evoba form of the motion is a generalization of the motion demussa by Rajagopal dna Wineman [2]
when both the top dna bottom plate etator by the emas amount R. ehT form of the motion demussa in .feR [2]
is the trapretnuoc in solid scinahcem of the erutcurts demussa by rekreB [3] dna Rajagopal [4) in the esac of
fluids.
220 K. R. RAJAGOPAL and A. S. WINEMAN
and
,x(0 )2 = ’g + x(’Q .)f- (2.8)
tI swollof morf )8.2(-$X2( that eht tfel yhcuaC neerg strain rosnet B nevig yb
is
1 + iX2 pY(
6 = FF= = ~$3 f+j32 ; . )9.2(
( a! P 1 i
A elpmis noitatupmoc shows that eht xirtam noitatneserper rof is nevig yb
B-’
-o!
=r-B
0’ ‘: -P ’ )01.2(
1+ 2Y( f *p
t -ff -p 1
tI swollof morf )9.2( and )01.2( that eht lapicnirp stnairavni fo era
B
Is = rt B = 3 + *u-(( + )2p )11.2(
and
uII = 3 + *a( + .)*p )21.2(
ehT yhcuaC stress 1 ni eht ~ilviR-yenooM yroeht fo yticitsale is nevig yb .fc( lledseurT
and 11oN )]4[
T = )31.2(
-pl + p($ + 6))s - p($ - &B-l
erehw p and ?/ era stnatsnoc and lp- setoned eht etanimretedni lacirehps stress eud ot
eht tniartsnoc fo .ytilibisserpmocni fI eno seriuqer that eht ygrene-niarts noitcnuf ni eht
nilviR-yenooM yroeht eb evitisop rof all B ti is htob yrassecen and tneiciffus that .fc(
lledseurT and 11oN )]4[
ui > 0, .$IpI$- )41.2(
nehW p = 4, )31.2( secuder ot eht naekooH-oen esac
)51.2(
T = -pl -k /LB.
denoitnem ,reilrae ew shall tsrif redisnoc eht naekooH-oen .melborp ehT stluser
As we
rof eht lareneg nilviR-yenooM yroeht swollof as a elpmis .noisnetxe ’
3. EQLJATIONS OF EQUILIBRIUM
nI eht esac fo a naekooH-oen ,lairetam eht noitauqe fo ~~lib~urn
vid T + pb = 0 )1.3(
secuder ot
)2.3(
)3.3(
)4.3(
yb eutriv fo .)9.2( nI .qE )1.3( vid setoned eht ecnegrevid ,rotarepo p eht ,ytisned and
b
weN tcaxe snoitulos ni raenil-non yticitsale 221
eht cificeps ydob ecrof .dleif nI gnivired ,)4.3(-)2.3( ew evah assumed that eht ydob ecrof
dleif is evitavresnoc and ecneh elbavired morf a ,laitnetop .e.i darg- 9.
b =
tI swollof morf )7.2( and )8.2( that )4.3(-)2.3( yfilpmis ot
)5.3(
)6.3(
- ; g (p + )$p = .0 )7.3(
tI swollof morf ,)5.3( ,)6.3( ,)7.2( and )8.2( that
Yc2d aq3
-=-
)9.3(
zaya axaz.
snoitauqE ,)9.3( )7.2( and )8.2( ylpmi that
-p =
”Q
and thus
)z(Q = zG + $0 )01.3(
erehw $ and $0 era .stnatsnoc ehT snoitidnoc that
)h-(Ii = R, )11.3(
and
)h(Q = n2 )21.3(
neht ylpmi that
0$ = lQ + 02 and $=_ 2Q - 521 )31.3(
2
2h ’
,txeN Eqs. )7.3(-)5.3( ylpmi that
)41.3(
and
)51.3(
tI neht swollof morf ,)7.2( Q.2( ,)01.3( ,)41.3( and )51.3( that7
f”’ $ l-jp = 0 )61.3(
’”g + ’g‘//l = 0. )71.3(
ehT yradnuob snoitidnoc hcihw era etairporppa rof eht melborp fo noitator fo eht pot
and mottob setalp tuoba stnedicnioc-non ,sexa era .fc( .giF )1
t nI sisylana’ruo ew llahs tcirtser sevlesruo ot eht esac nehw $J # 0. nehW $ = 0, ,Q = Q2 dna siht esac sah
neeb deiduts ni liated rof a hcum erom 1areneg ssalc fo slairetam slairetam( htiw xevnoc-non derots ygrene
)snoitcnuf dna eht yenooM lairetam ni .feR [2].
222 K. R. RAJAGOPAL and A. S. WINEMAN
)h(f = a sin Q2, )h-(f = - a sin Q, )81.3(
2 2
l(;=)h(g ,)zQsoc- )h-(g = - ; 1( - soc .),Q )91.3(
ehT evoba yradnuob snoitidnoc era revewoh tneiciffusni ot enimreted eht snoitulos fo
Eqs. )61.3( and .)71.3( eW won deecorp ot niatbo eht lanoitidda yradnuob .snoitidnoc
noitargetnI fo )61.3( and )71.3( sdleiy
f" + gf= q )02.3(
g” + g‘* = r )12.3(
erehw q and r era .tnatsnoc eW shall deecorp ot kees a noitulos ni hcihw q = r = 0
hcihw nehw eht tesffo neewteb eht sexa sdnet ot orez sdnet ot eht cissalc noisrot .melborp
suhT
f"+ tpf=0 )22.3(
g” + g‘$ = 0. )32.3(
snoitauqE )22.3( and )32.3( ylpmi that
2
f )h-(“ = -ti2f(-h) = a $ sin Q, )42.3(
2
)h-(”g = )h-(g2it- = a -$ 1( - soc .),?L )52.3(
nI eht txen noitces-bus ew shall tibihxe tcaxe snoitulos ot )61.3( and ,)71.3( tcejbus ot
eht yradnuob noitidnoc )81.3( ,)91.3( ,)42.3( and .)52.3(
4. EXACT SOLUTION FOR A NEO-HOOKEAN MATERIAL IN THE CASE OF
ROTATION ABOUT NON-COINCIDENT AXES
roF eht ekas fo ecneinevnoc and tuohtiw ssol fo ,ytilareneg ew shall tes Q, = 0 and Q2
= Q,. nI this esac ti is ylriaf drawrofthgiarts ot yfirev that eht noitulos ot eht melborp
rednu noitaredisnoc is
)z(f = i sin [ ?+ ])q( )1.4(
and
1 1
)z(g = f cesoc + - soc $ toc 2 sin z+ + sin T tan ? soc z$ )2.4(
11
erehw $ = Qo/2h. tI is gnitseretni ot eton that
)0(f = ff sin -QO )3.4(
2 2
and
)0(g = i sin 9 tan 4 )4.4(
and ecneh eht snoitcnuf and )z(g od ton pass hguorht eht .nigiro tI is osla htrow
f(z)
gniton that nehw a = 0, eht evoba snoitulos )1.4( and )2.4( ecuder ot eht cissalc noisrot
.noitulos
weN tcaxe snoitulos ni raenil-non yticitsale 322
nehW q and r era ,orez-non eno dluoc deecorp ni a ralimis rennam ot establish tcaxe
.snoitulos ehT snoitcnuf )z(f and )z(g evah eht erutcurts
~+z$soc~B+z#nis~A=)~lf )5.4(
2kl
)z(g = zA sin z# + B2 cos +z + L )6.4(
ti2
erehw eht stnatsnoc A1, A2, B,, 2B era denimreted morf eht yradnuob .snoitidnoc ,suhT
ereht is an ytinifni fo snoitulos ,elbissop eht snoitulos gnieb deziretemarap yb q and .r
ehT noitanimreted fo eht snoitulos is drawrofthgiarts and ew shall ton edivorp eht sliated
fo eht .emas
,txeN ew enimreted eht ralacs dleif .p tI swollof morf Eqs. ,)7.3(-)5.3( ,)02.3( and
)12.3( and eht snoitinifed fo xc and ,3/ that
suhT
; (p + )5gp = xq + yr - ; 2x( + )2y + .c )01.4(
ecneH eht ralacs dleif p is tnednepedni fo z fi 4 is tnednepedni fo .z
eW won etupmoc eht snoitcart no eht pot and mottob etalp detaicossa htiw eht evoba
.noitamrofed tI swollof morf eht evoba snoitulos )1.4( ,)2.4( and ,91.2( that
)11.4(
)21.4(
,suhT eht tnatluser raehs T = (Tz, + T&)“’ no eht reppu and rewol ecafrus is nevig yb
$J - (; + f $?)]“’
T(h) = p + ;[ + + sec2 nat )31.4(
)41.4(
etoN that eht tnatluser raehs noitcart no eht reppu and rewol setalp .reffid ,oslA nehw a
= 0
224 K. R. RAJAGOPAL and A. S. WINEMAN
)51.4(
T&c*,, = -$py = - ;; y
)61.4(
hcihw sdnopserroc ot eht raluger‘ ’noisrot .melborp ,revewoH nehw q # 0, r # 0, eht
melborp lliw ton ecuder ot eht raluger noisrot melborp .fc( noitceS .)6
ehT lacol noitubirtnoc ot eht tnatluser tnemom is
)hf(M = (XT,, - yT,)k + (yTzz T i),Th + (+hT, - xT,,)j. )71.4(
,suhT fi M, setoned eht tnenopmoc-z fo eht lacol tnemom M
CJo 2a --- 2r Y1 ( x 00 >.I
Thp= a2 -j-nat;+;2 )81.4(
[
ehT tsrif mret no eht dnah-thgir edis is eht mret gnidnopserroc ot eht usual noisrot
melborp and nehw a = 0, eht noisserpxe secuder ot eht cissalc .eno tI is osla gnitseretni
ot eton that
)h+(ZM f )h-AM nehw a f 0. )91.4(
5. MOONEY-RIVLIN MATERIAL
nI eht esac fo eht nilviR-yenooM ,lairetam eht snoitauqe fo muirbiliuqe ecuder ot
$
- (P + )4P + ;A + )ww~ + P g = 0 )1.5(
&
- (p + )J#cp + p(f + Yc’n)p + 0 )2.5(
l./ g =
a, &
- ; (P + )J&P - i4./ - 2a( + P2) = 0 )3.5(
yb eutriv fo ,)9.2( ,)01.2( and .)1.3( tI swollof morf )1.5( and )2.5( that
a2a a*p
-=- a )4.5(
ayaz axa.
sihT ni nrut ,seilpmi yb eutriv fo )7.2( and ,)8.2( that
s-2” = .0 )5.5(
suhT as erofeb
)z(Q = z+ + $0 )6.5(
htiw eit = ,2/oQ L\ = flo/2h. ,txeN gniriuqer that
& + -&
(P P@) = (P + )dP )7.5(
seilpmi morf )1.5( and )3.5( that
s> g + p 2 + ;<p - a> &
&q/l- + *a( + )*a, = .0 )8.5(
weN tcaxe snoitulos ni raenil-non yticitsale 225
suhT
&I - ”g)B3 ’”f+ - i(‘$ - P&3 = 0. )9.5(
Using Eqs. )2.5( and )3.5( eno nac ylralimis establish that
$/<__; + ”f))@3 + g”’ - 4(# - 3&g = 0. )01.5(
etoN that ni eht esac fo a naekooH-oen lairetam p = $ and ecneh )9.5( and )01.5( ecuder
ot )02.3( and ,)12.3( thus gnilpuocnu eht .snoitauqe nI lareneg ,revewoh eht snoitauqe
era a delpuoc metsys fo raenil yranidro laitnereffid .snoitauqe
gnicudortnI a xelpmoc deulav noitcnuf )z(F hguorht
I;(z) = )z(f + i g(z) )11.5(
ew nac etirw-er eht delpuoc metsys )9.5( and )01.5( as
jV _ i $($ - 3a>F’ - +“($ - ’F))j/3 = 0. )21.5(
ehT etairporppa yradnuob snoitidnoc era
)h(F = 4 [sin Q2 + (i 1 - soc ]),Q = $sin O0 + (i 1 - soc ]),Q )31.5(
)h-(F = - i [sin Q, + 1(i - soc ]),Q = 0. )41.5(
As ,erofeb ew nac enimreted eht lanoitidda yradnuob snoitidnoc yb gnitargetni .)21.5( tI
swollof morf )21.5( that
”;I - i ;(/I - ’F)@3 - f(‘# - F)p3 = k )51.5(
erehw is a xelpmoc .tnatsnoc Again, as ,erofeb ew nac niatbo an etinifni tes fo snoitulos
k
deziretemarap yb ot eht evoba .melborp
k,
ehT noitulos ot )51.5( is fo eht mrof
k
)z(F = A es” + B 2ne - )61.5(
tc‘+ - )P3
erehw sI and ~2 era nevig yb
sr=irC, and l($=zs .)66- )71.5(
ehT stnatsnoc A and nac eb deniatbo yb using eht yradnuob snoitidnoc )31.5( and
B
.)41.5(
6. THE TORSION PROBLEM
nI this noitces ew redisnoc eht cissalc noisrot melborp and wohs that an lanoitidda
etinifni class fo snoitulos is elbissop rof this .melborp eW shall redisnoc eht melborp fo
an citsale reyal fo a naekooH-oen lairetam deniatnoc neewteb owt etinifni lellarap .setalp
ehT pot etalp is detator yb an tnuoma ,,& elihw eht mottob etalp is dleh dexif .fc( .giF
.)2 roF eht melborp ni ,noitseuq ew ecno again kees a noitom fo eht mrof .3_1)3.2( ehT
nwonk-llew noisrot noitulos sdnopserroc ot )Z(f = 0 and )Z(g = 0, htiw )Z(Q = zr+
+ $0.
nI eht esac fo a naekooH-oen ,lairetam eht snoitauqe fo muirbiliuqe ecno again ecuder
ot
226 .K .R LAPOGAJAR dna .A .S NAMENIW
,1
.giF 2. niamoD fo .noitamrofed
f” + #“f’ = 0 )1.6(
and
’”g + ’g@ = 0. )2.6(
ehT etairporppa yradnuob snoitidnoc rof eht melborp rednu noitaredisnoc era
4I#_ = ,0 4-tf. = ,0 g(h) = ,0 )h-(g = .0 )3.6(
As ,erofeb eht evoba yradnuob snoitidnoc era ton tneiciffus ot enimreted eht noitulos ot
)1.6( and .)2.6( ehT lanoitidda snoitidnoc hcihw nac eb deyolpme tera
)O(s = ,4 g(0) = .0 )4.6(
elihW eht evoba yradnuob snoitidnoc nac eb deweiv as a dnik fo a noitazilamron fo eht
noitcnuf ,)z(f eht eve@ snoitidnoc evah a lacisyhp ecnacifingis nehw eht gnidnopserroc
)Z(fsnoitcnuf and )Z(g .fc( .qE ))2.2( era deredisnoc as gninifed eht sucol fo .snoitator
tI is dra~ofthgiarts ot wohs that nehw $h # ,r7n2 eht noitulos ot )1.6( and ,)2.6(
tcejbus ot )3.6( and ,)4.6( is
socQ 2$ - soc )h$
)z(f =
(1 - cos+h)
)z(g = .0 )5.6(
nehW 4 = 0, ew niatbo eht cissalc noitulos rof eht noisrot .melborp nehW $h = ,r7n2
eno nac ylisae wohs that )z(f = )z sin ,z$ )z(g = 0 erehw 2 E .R ecnO again, nehw C
= 0, ew ecno again niatbo eht noisrot .noitulos
nI eht esac fo a nilviR-yenooM ,lairetam eht noitauqe fo muirbiliuqe gninrevog eht
noisrot melborp is .)51.5( ehT etairporppa yradnuob snoitidnoc era
F(h) = 0, )h-(F = 0 and )0(F = .e
7. THE MELBORP FO FINITE NOISNETXE DNA TORSION
ni this noitces ew redisnoc eht melborp fo a etinif noisnetxe fo X fo eht etinifni
hciwdnas dewollof yb a twisting fo eht pot etalp yb an tnuoma Q. nI this ,esac ew shall
yduts a noitamrofed fo eht gniwollof :dnik
x = -!- socX[ )Zh(Q - Y sin ])Z@Q )ZX(f+ )1.7(
dh
y = i X[ sin )Z@Q -I- Y soc ])Z@Q + )ZX(g )2.7(
z = .zx )3.7(
nehW X = 1, eht evoba noitamrofed secuder ot eht snoisserpxe S-1)3.2( hcihw ew evah
ydaerla deiduts ni .liated A elpmis noitatupmoc sdleiy eht noita~ofed tneidarg :F
t eW nac syawla kcip eht sixa ni hcus a rennam taht eht evoba si elbissop .fc( .sfeR [3, 41).