new ap calculus problem book 2017

229 Pages·2017·1.08 MB·English

by  Chuck Garner

The AP Calculus
Problem Book
ˆ
Chuck Garner, Ph.D.

The AP Calculus
Problem Book
Fifth Edition
ˆ
ChuckGarner, Ph.D.
RockdaleMagnetSchool
for Science and Technology
RMMTPublishing2017
The APCalculus ProblemBook
Published byRMMTPublishing, Conyers,Georgia
Publicationhistory:
Firstedition,2002
Secondedition,2003
Thirdedition,2004
ThirdeditionRevisedandCorrected,2005
Fourthedition,2006,EditedbyAmyLanchester
FourtheditionRevisedandCorrected,2007
Fourthedition,Corrected,2010
Fifthedition,2017
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Roman), designed by the STIPub Consortium in 2013, and TEXGyre Adventor, a LATEX
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Thisbookwasproduceddirectlyfromtheauthor’sLATEXfiles.
FiguresweredrawnbytheauthorusingtheTEXdrawpackage.
Coverimage: “StreamofLight02”byRajeshMisra.
©2010,2017,Dr.CharlesR.Garner,Jr.
v
Summary of Contents
Preface xiii
1 LIMITS 1
2 DERIVATIVES 33
3 APPLICATIONSofDERIVATIVES 67
4 INTEGRALS 99
5 APPLICATIONSofINTEGRALS 135
6 TECHNIQUESofINTEGRATION 159
7 SERIES,VECTORS,PARAMETRICSandPOLAR 181
8 AFTERtheAPEXAM 215
9 PRACTICEandREVIEW 225
10 GROUPINVESTIGATIONS 251
11 CALCULUSLABS 257
A CHALLENGEPROBLEMS 283
B FORMULAS 291
C SUCCESSINMATHEMATICS 295
ANSWERS 299
vi C.Garner–TheAPCalculusProblemBook
SCORINGGUIDELINESforEND-OF-CHAPTERTESTS 321
vii
Contents
Preface xiii
1 LIMITS 1
1.1 GraphsofFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 TheSlipperySlopeofLines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 ThePowerofAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 MorePowerofAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Functions BehavingBadly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 ThoseQuazyEquations! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 TakeIttotheLimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 One-SidedLimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 LimitsDeterminedbyGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 LimitsDeterminedbyTables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11 ThePossibilitiesAreLimitless... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.12 MoreFunwithFunctions! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.13 AverageRatesofChangeStrikeBack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.14 TakeItTotheLimit—OneMoreTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.15 SolvingEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.16 Continuously Considering Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.17 HaveYouReachedtheLimit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.18 ThereIsNoLimitToLimitProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.19 AP-StyleQuestions onLimits: Multiple-Choice andFree-Response . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.20 AP-StyleLimitsTest—Version1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.21 AP-StyleLimitsTest—Version2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 DERIVATIVES 33
2.1 NegativeandFractionalExponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Logically ThinkingAboutLogic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 TheDerivativeByDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 GoingOffonaTangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
viii CONTENTS C.Garner–TheAPCalculusProblemBook
2.5 SevenDerivative Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Trigonometry: aRefresher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Inverse Trigonometry: aRefresher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Continuity andDifferentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 TheRULES:PowerProductQuotientChain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10 Trigonometric Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.11 Tangents,Normals,andContinuity(Revisited) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.12 ImplicitDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.13 TheReturnofGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.14 MeettheRates(They’reRelated) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.15 RatesRelatedtothePreviousPage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.16 ExcitementwithDerivatives! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.17 Derivatives ofInverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.18 PracticeThoseDifferentiation Skillz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.19 Dérivé,Derivado,Ableitung, Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.20 AP-StyleQuestions onDerivatives: Free-Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.21 AP-StyleQuestions onDerivatives: Multiple-Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.22 AP-StyleDerivatives Test—Version1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.23 AP-StyleDerivatives Test—Version2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 APPLICATIONSofDERIVATIVES 67
3.1 TheExtremeValueTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 RolletotheExtremewiththeMeanValueTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 TheFirstandSecondDerivativeTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Derivatives andTheirGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 FiveDerivativeProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 SketchingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 ProblemsofMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 MaximizeorMinimize? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.9 MoreTangentsandDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.10 MoreExcitementwithDerivatives! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.11 Bodies,Particles, Canals,andRockets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.12 EvenMoreExcitementwithDerivatives! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.13 AP-StyleQuestions onApplications ofDerivatives: Free-Response . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.14 AP-StyleQuestions onApplications ofDerivatives: Multiple-Choice . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.15 AP-StyleApplications ofDerivativesTest—Version 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.16 AP-StyleApplications ofDerivativesTest—Version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 INTEGRALS 99
4.1 TheANTIderivative! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2 Derivative RulesBackwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 TheMethodofSubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 UsingGeometryforDefiniteIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 SomeRiemannSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 TheMVTandtheFTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7 TheFTC,Graphically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 DefiniteandIndefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.9 Integrals Involving LogarithmsandExponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
TheAPCalculusProblemBook–C.Garner CONTENTS ix
4.10 ItWouldn’tBeCalledtheFundamental TheoremIfItWasn’tFundamental . . . . . . . . . . . . 109
4.11 DefiniteIntegrals ByAreaandAntiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.12 RiemannCalmandCarryOn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.13 DefinitelyExcitingDefiniteIntegrals! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.14 HowDoIFindtheAreaUnderThyCurve? LetMeCounttheWays... . . . . . . . . . . . . . . 115
4.15 FiveIntegralProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.16 TrapezoidandSimpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.17 Properties ofIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.18 AnAccumulation ofAccumulation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.19 AP-StyleQuestions onIntegrals: Free-Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.20 AP-StyleQuestions onIntegrals: Multiple-Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.21 AP-StyleIntegrals Test—Version1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.22 AP-StyleIntegrals Test—Version2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5 APPLICATIONSofINTEGRALS 135
5.1 VolumesofSolidswithDefinedCross-Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2 TurnUptheVolume! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3 VolumeandArcLength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4 Differential Equations,PartOne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5 TheLogisticCurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.6 Differential Equations,PartTwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.7 SlopeFieldsandEuler’sMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.8 Differential Equations,PartThree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.9 AP-StyleQuestions onApplications ofIntegrals: Free-Response . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.10 AP-StyleQuestions onApplications ofIntegrals: Multiple-Choice . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.11 AP-StyleApplications ofIntegralsTest—Version 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.12 AP-StyleApplications ofIntegralsTest—Version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6 TECHNIQUESofINTEGRATION 159
6.1 APart,AndYet,Apart... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.2 Integration byPartialFractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3 NotJustAnyOldSubstitution—Trigonometric Substitution! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 SixInteresting IntegralProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5 SickofLimits? GoToL’Hôpital! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6 Improper Integrals! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.7 TheArtofIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.8 Functions DefinedByIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.9 AP-StyleQuestions onTechniques ofIntegration: Free-Response . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.10 AP-StyleQuestions onTechniques ofIntegration: Multiple-Choice . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.11 AP-StyleTechniquesofIntegration Test—Version1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.12 AP-StyleTechniquesofIntegration Test—Version2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7 SERIES,VECTORS,PARAMETRICSandPOLAR 181
7.1 Sequences: BoundedandUnbounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2 ItisaQuestionofConvergence... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 InfiniteGeometricSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4 TestsforConvergence andDivergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5 MoreQuestions ofConvergence... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
x CONTENTS C.Garner–TheAPCalculusProblemBook
7.6 ThePowerofPowerSeries!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.7 Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.8 TaylorSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.9 FiveProblemsonTaylorSeriesandTaylorPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.10 VectorandParametricBasics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.11 CalculuswithVectorsandParametrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.12 Vector-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.13 SixProblemsofMotion,withVectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.14 PolarBasics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.15 SlopeandAreaandArcLength...inPolar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.16 AP-StyleQuestions onSeries,Vectors,Parametrics, andPolar: Free-Response . . . . . . . . . . 197
7.17 AP-StyleQuestions onSeries,Vectors,Parametrics, andPolar: Multiple-Choice . . . . . . . . . 201
7.18 AP-StyleSeries,Vectors,Parametrics, andPolarTest—Version1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.19 AP-StyleSeries,Vectors,Parametrics, andPolarTest—Version2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8 AFTERtheAPEXAM 215
8.1 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.2 SurfaceAreaofaSolidofRevolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.3 LinearFirstOrderDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.4 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5 Newton’sMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.6 LogarithmicDifferentiation andL’Hôpital’sRuleRevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.7 PartialDifferentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.8 Three-Dimensional AnalyticGeometrywithVectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 PRACTICEandREVIEW 225
9.1 AlgebraandFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2 Derivative Skillz! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3 CanYouStandAllTheseExcitingDerivatives? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.4 DifferentDifferentiation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.5 Integrals...Again! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.6 Intégrale, Integrale, Integraal, Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.7 CalculusIsanIntegralPartofYourLife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8 Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.9 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.10 TheDeadlyDozen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.11 ThreeVolumesandThreeDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.12 Differential Equations,PartFour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.13 MoreIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.14 DefiniteIntegrals RequiringDefiniteThought . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.15 JustWhenYouThoughtYourProblemsWereOver... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.16 Interesting IntegralProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.17 Infinitely Interesting InfiniteSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.18 ASequenceofSeriesProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.19 Paramector? Vectometric? It’sVectorsandParametricEquations TogetheratLast! . . . . . . . 248