Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie

173 Pages·1956·8.216 MB·German

by  F. Hirzebruch (auth.)

ERGEBNISSE DER MATHEMATIK
UND IHRER GRENZGEBIETE
UNTER MITWIRKUNG DER SCHRIFTLEITUNG DES
"ZENTRALBLATT FDR MATHEMATIK"
HERAUSGEGEBENVON
L. V.AHLFORS · R. BAER · R. COURANT · J. L. DOOB · S. EILENBERG
P. R. HALMOS · T. NAKAYAMA · H. RADEMACHER
F. K. SCHMIDT · B. SEGRE · E. SPERNER
====== NEUE FOLGE · HEFT 9 ======
NEUE TOPOLOGISCHE METHODEN
IN DER
ALGEBRAISCHEN GEOMETRIE
VON
F. HIRZEBRUCH
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1956
VON DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTĂT
DER WESTFĂLISCHEN WILHELMS-UNIVERSITĂT ZU MtJNSTER
ALS HABILITATIONSSCHRIFT ANGENOMMEN
ISBN 978-3-662-40605-2 ISBN 978-3-662-41083-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-41083-7
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES IST ES AUCH NICHT
GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM
WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
© BY SPRINGER·VERLAG BERLIN HEIDELBERG 1956
URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEI SPRINGER-VERLAG OHG.
BERLIN· GDTTINGEN • HEIDELBERG 1956
BRUHLSCHE UNIVERSITATSDRUCKEREI GIESSEN
MEINEN LEHRERN
HEINRICH BEHNKE UND HEINZ HOPF
GEWIDMET
Vorwort
Die von ]. LERAY begriindete Theorie der Garben (faisceaux) und
andere neue topologische Methoden werden seit einigen J ahren erfolg
reich auf die Funktionentheorie von mehreren Verănderlichen und auf
die algebraische Geometrie angewandt:
H. CARTAN und ]. P. SERRE haben fundamentale Sătze iiber holo
morph-vollstăndige (STEINsche) Mannigfaltigkeiten in garbentheoreti
scher Formulierung aufgestellt. Diese Sătze enthalten viele Tatsachen
der Funktionentheorie, da die Holomorphiegebiete holomorph-voll
stăndig sind. Sie ki:innen auch auf die algebraische Geometrie angewandt
werden, da das Komplement jedes Hyperebenenschnitts einer alge
braischen Mannigfaltigkeit holomorph-vollstăndig ist. Mit Hilfe dieser
und anderer Methoden hat J. P. SERRE viele wichtige Ergebnisse iiber
algebraische Mannigfaltigkeiten erhalten. Viele seiner Resultate hat er
in letzter Zeit auch fiir algebraische Mannigfaltigkeiten iiber einem
Grundki:irper beliebiger Charakteristik beweisen ki:innen. - K. KoDAIRA
und D. C. SPENCER haben die Garbentheorie ebenfalls mit groBem
Erfolg auf die algebraische Geometrie angewandt. Ihre Methoden sind
insofern etwas anders als die von SERRE, als auch differential-geo
metrische Hilfsmittel ("harmonic integrals" usw.) herangezogen werden,
wăhrend die Theorie der STEINschen Mannigfaltigkeiten nicht benutzt
wird. - M. F. ATIYAH und W. V. D. HODGE haben mit Hilfe der
Garbentheorie Probleme iiber Integrale zweiter Gattung auf alge
braischen Mannigfaltigkeiten erfolgreich behandeln ki:innen.
In den Jahren 1952-1954 konnte ich wăhrend eines Aufenthalts am
Institute for Advanced Study in Princeton mit K. KoDAIRA und
D. C. SPENCER intensiv zusammenarbeiten. Meine eigenen Bemiihungen
gingen dahin, neben der Garbentheorie die Theorie der charakteristi
schen Cohomologieklassen und die neuen Ergebnisse von R. THOM iiber
differenzierbare Mannigfaltigkeiten auf die algebraische Geometrie an
zuwenden. Im Zusammenhang damit studierte ich schon lănger zuriick
liegende Untersuchungen von ]. A. TODD. Wăhrend dieser Zeit am
Institut konnte ich auch mit A. BoREL zusammenarbeiten; ich hatte
einen ausfiihrlichen Briefwechsel mit THOM und auch Gelegenheit, den
Briefwechsel von KODAIRA und SPENCER mit SERRE einzusehen. Auf
diese Weise habe ich in Princeton viele wertvolle Anregungen erhalten,
und ich mi:ichte an dieser Stelle A. BOREL, K. KODAIRA, J. P. SERRE,
D. C. SPENCER und R. THOM meinen herzlichen Dank aussprechen.
VI Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus einem Manuskript entstanden, das zur
VerOffentlichung in einer Zeitschrift gedacht war und das eine aus
fiihrliche Darstellung meiner Resultate aus der Princetoner Zeit enthielt.
Herr Professor F. K. ScHMIDT hatte die Freundlichkeit, mir anzubieten,
einen Bericht fiir die "Ergebnisse der Mathematik" zu schreiben und
dabei mein Manuskript zugrunde zu legen. Ich babe dieses in groBen
Teilen unverăndert iibernommen, einige mehr berichtende Paragraphen
wurden ausfiihrlicher gestaltet. So ist eine Mischung zwischen einem
Bericht, einem Lehrbuch und einer Originalarbeit entstanden. Herrn
Professor F. K. ScHMIDT mochte ich fiir sein groBes Interesse an meiner
Arbeit herzlich danken.
Dem Institute for Advanced Study in Princeton gilt mein ausdriick
licher Dank fiir die Gewăhrung eines zweijăhrigen Stipendiums und
damit fiir zwei J ahre ungestorten Arbeitens in einer besonders an
regenden mathematischen Atmosphăre. Der U niversităt Erlangen mochte
ich danken, daB sie mich wăhrend dieser Zeit beurlaubt und mich auch
sonst in jeder Weise unterstiitzt bat. Der mathematisch-naturwissen
schaftlichen Fakultăt der westfălischen Wilhelms-Universităt zuMiinster,
insbesondere Herrn Professor H. BEHNKE, danke ich fiir die Bereit
willigkeit, das vorliegende Buch als Habilitationsschrift anzunehmen,
und der Gesellschaft zur Forderung der westfălischen Wilhelms-Uni
versităt fiir finanzielle Hilfe wăhrend der endgiiltigen Fertigstellung des
Manuskripts. Den Herren Dr. R. REMMERT und G. ScHEJ A bin ich fiir
Mithilfe bei den Korrekturen, Herrn Stud.-Ref. H.-J. NASTOLD fiir die
Zusammenstellung des Sachverzeichnisses zu Dank verpflichtet. Nicht
zuletzt gilt mein Dank auch dem Verlag, der in groBziigiger Weise allen
meinen Wiinschen entgegengekommen ist.
Princeton (New Jersey), 23. Januar 1956
Fine Hall
F. HIRZEBRUCH
Zur Technik der Darstellung
Das Buch ist in Kapitel eingeteilt, welche in Paragraphen unterteilt sind.
Die Paragraphen sind durchnumeriert. Jeder Paragraph ist in Abschnitte ein
geteilt (z. B. 4.1). Die Abschnittsnummem sind am Kopf jeder Seite vermerkt.
Die Formeln sind paragraphenweise durchgezahlt. 4.1 (5) verweist auf Formei (5)
im l. Abschnitt des 4. Paragraphen. Die Satze sind abschnittsweise durchgezahlt.
6.5.1 verweist auf Satz 1 in Abschnitt 6.5. In Abschnitt 0.10 der Einleitung sind
einige Bezeichnungen zusammengestellt. Das Namen- und Sachverzeichnis fiihrt
zu Beginn jedes Buchstabens wiederholt auftretende Symbole an.
Der Verfasser hat sich bemiiht, der iiblichen Terminologie zu folgen. Um Ver
wechslungen zu vermeiden, werde hier eine kleinere Abweichung hervorgehoben:
Unter einem G-Biindel wird eine Ăquivalenzklasse von Prinzipal-Faserbiindeln
mit G als Strukturgruppe, d. h. ein Element einer gewissen Cohomologiemenge
verstanden. Wenn von einem Faserbiindel, Geradenbiindel, Vektorraum-Biindel
gesprochen wird, dann soli immer ein bestimmter gefaserter Raum vorliegen und
nicht eine Ăquivalenzklasse von solchen (vgl. 3.2). Im letzten Kapitel werden
wir uns jedoch gelegentlich erlauben, isomorphe Faserbiindel zu identifizieren
(vgL Ful3note 1 auf S. 110).
Das Literaturverzeichnis befindet sich am Ende des Buches. Es erhebt keinen
Anspruch auf Vollstandigkeit und enthii.lt im allgemeinen nur Arbeiten, die der
Verfasser direkt benutzt hat.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . .
Erstes Kapitel. Vorbereitungen 10
§ 1. Formal-algebraische Vorbereitungen 10
§ 2. Garben . . .. . . . . . . . . . . 18
§ 3. tfber stetige, differenzierbarc und komplex-analytische Biindel.
Vektorraum-Biindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§ 4. Spezielle Fiille von Reduktionen der Strukturgruppe eines Biindels.
tfber CHERNsche Klassen und PoNTRJ AGINsche Klasscn 53
Zweites Kapitel. Die THOMsche Algebra. Anwendungen 73
§ 5. PoNTRJAGINsche Zahlen 73
§ 6. Die Algebra Q ® Q 76
§ 7. Die THOMsche Algebra !) 80
§ 8. Der Index einer 4 k-dimensionalen Mannigfaltigkeit . 83
§ 9. Virtuelle Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Drittes Kapitel. Eigenschaften des Tonnschen Geschlechtes und sciner Ver-
allgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§ 10. Das Tonnsche Geschlecht . . . . . . . . . . . 88
§ 11. Das virtuelle verallgemeinerte Tonnsche Geschlecht 90
§ 12. Die T-Charakteristik eines GL(q, C)-Biindels . . . 92
§ 13. Spalt-Mannigfaltigkeiten und Aufspaltungsmethode 96
§ 14. Multiplikativc Eigenschaften und Ganzzahligkcits-Eigenschaften
des Tonnschen Geschlechtes ................. 104
Viertes Kapitel. Der Satz von RIEMANN-RocH fiir algebraische Mannigfaltig-
keiten .............................. 110
§ 15. Cohomologiegruppen von kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten
mit Koeffizienten in gcwissen komplex-analytischen Garben 11 O
§ 16. Weitere Eigenschaften der Xv-Charakteristik . . . 125
§ 17. Die virtuelle Xy-Charakteristik . . . . . . . . . . . . . 130
§ 18. Bericht iiber fundamentale Sătze von K. KoDAIRA. . . . . 136
§ 19. Die virtuelle xv-Charakteristik fiir algebraische Mannigfaltigkeiten 141
§ 20. RrEMANN-ROCHscher Satz fiir algebraische Mannigfaltigkeiten und
komplex-analytische Geradenbiindel . . . . . . . . . . . . . . 146
§ 21. RrEMANN-RocHscher Satz fiir algebraische Mannigfaltigkeiten und
komplex-analytische Vektorraum-Biindel 154
Zusatze nach der Korrektur 157
Literatur . . . . . . . . . 158
Namen- und Sachverzeichnis 161
Einleitung
Die Anwendungen der LERAY-CARTANschen Garbentheorie1) auf die
Funktionentheorie von mehreren Verănderlichen und die algebraische
Geometrie, die in letzter Zeit von CARTAN, SERRE [7, 7a, 8, 9, 32, 32a,
32b]2), KODAIRA, SPENCER [24-31, 34), ATIYAH, HODGE [1, 20a, 20b)
so erfolgreich durchgefiihrt wurden, haben beide Disziplinen einer ge
meinsamen systematischen Behandlung zugănglich gemacht. In der
vorliegenden Arbeit wird fur die algebraische Geometrie ein Beitrag zu
dieser Entwicklung geliefert. Die Resultate sind in [15] angekiindigt
worden. Die Arbeit enthălt ferner einige Anwendungen der THoMschen
Ergebnisse iiber differenzierbare Mannigfaltigkeiten [37], die von selb
stăndigem Interesse sind und die neben der Garbentheorie die Grund
lage fiir die Ergebnisse iiber algebraische Mannigfaltigkeiten bilden.
Die Resultate beziiglich der THoMschen Theorie wurden in [14] an
gekiindigt3). Sie sind auch in den vervielfăltigten Noten [16] zu finden.
Eine Reihe von offenen Problemen, die mit der vorliegenden Arbeit
zusammenhăngen, wurde in [17] besprochen.
0.1. Wir verstehen unter einer algebraischen Mannigfaltigkeit eine
(nicht notwendig zusammenhăngende) kompakte komplexe Mannig
faltigkeit, die komplex-analytisch und singularitătenfrei in einen
komplexen projektiven Raum geeigneter Dimension eingebettet werden
kann4). Wir werden in 0.1-0.6 (bis auf eine Bemerkung in 0.3) nur
1) Wir haben das franziisische Wort «faisceau» im Deutschen mit "Garbe"
wiedergegeben. Im Englischen ist "sheaf" oder auch "stack" gebrăuchlich. -
Die Theorie der Garben wurde zuerst von J. LERAY entwickelt und auf verschie
dene topologische Fragestellungen angewandt. Es geniigt hier wohl, auf die beiden
groBen LERAYschen Abhandlungen «L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie
d'un espace localement compact et d'une application continue» und «L'homologie
d'un espace fibre dant la fibre est connexe», ]. Math. pur. appl. 29, 1-139 und
169-213 (1950), hinzuweisen. Im Seminar von H. CARTAN (vgl. [6]) wurde
die Theorie der Garben in anderer Form dargestellt. Wir bringen in § 2 dieser
Arbeit die Grundlagen der Garbentheorie und stiitzen uns dabei hauptsăch1ich
auf das CARTANsche Seminar [6], auf ein Seminar von D. C. SPENCER [vgl. 31]
und auf die kiirzlich erschienene Arbeit [32a] von SERRE.
2) Zahlen in eckigen Klammem beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am
Ende der Arbeit.
3) Die Note [14] enthălt auch Resultate iiber"STEENRon's reduced powers", die
in dieser Arbeit nicht behandelt werden, sondem in einer weiteren Arbeit im
einzelnen dargestellt und bewiesen werden sollen.
4) Nach einem Satz von CHow [Il] ist diese Definition mit der k1assischen
Definition einer singularitătenfreien algebraischen Mannigfaltigkeit ăquivalent.
Algebraische Mannigfaltigkeiten im Sinne unserer Definition werden oft auch
projektive Mannigfaltigkeiten genannt.
Ergebn. d. Mathem. N. F. H. 9, Hirzebruch
2 Einleitung 0.1
algebraische Mannigfaltigkeiten betrachten. Man kennt seit langem
vier Definitionen fiir das arithmetische Geschlecht einer n-dimensio
nalen1) algebraischen Mannigfaltigkeit V,.. Mit Hilfe dE"r Postulations
formel (HILBERTs charakteristische Funktion) definiert man die ganzen
Zahlen Pa(V,.) nnd Pa(Vn) (1. und 2. Definition). SEVERI hat vermntt-t,
daB
Pa(V,.) = Pa(Vn) = gn- g,. -1 + '''- (-1)" 1 g,, (1)
wo gi die Anzahl der komplex-linear-unabhăngigen holomorpht>n DiffE"
rentialformen von V,. vom Grade i ist (i-fachc Differentiale 1. Gattung).
(Vgl. z. B. SEVERI [33].) Mit Hilfe der GarbcntheorÎl' kann dic Glei
chung (1) in einfacher Weise bewiesen werden (KoDAIIU-SJ>EXCER i.27J).
Die alternierende Summe der g; kann als d ri tt c Definit ion drs arith
metischen Geschlechtes angesehen wcrden. Dic Gleichung (1) besagt,
daB die drei ersten Definitionen iibereinstimmen. Die ohigc Reihenfolg(!
der g; in der alternierenden Summe ist unzwcckmaBig. Wir d(•finif'n•n
in Abweichung von der klassischen Theoril'
n
X( V") = E (- 1) i Ci (2)
j-Q
und nennen x(V,.) das arithmctischc Geschlecht der alge
braischen Mannigfaltigkeit V,.. Mannigfaltigkciten wrrden in
dieser Arbeit im allgemeinen nicht als zusammenhangend vorausgesetzt.
Das in (2) auftretendc g ist gleich der Anzahl der Zusammenhangs
0
komponenten von V". Man nennt oft g,. das geometrische Ge
schlecht von V,. und g die Irregularitat von V,.. Fiir c.>ine zusam
1
vl
menhangende algebraische Kurve (kompakte RIEMANNsche Flache)
ist g,. = g = p (Anzahl der Henkel). pi st also das gcometrische Geschlecht
1
von V1, wahrend 1 - p das arithmetischc Geschlecht von V1 ist. Das
arithmetische Geschlecht und das geomctrische Geschlccht verhalten
sich multiplikativ:
Das Geschlecht de.~ cartesischen Produktes zweier algebraischer .lla 1mig
/alligkeiten ist gleich dem Produkt der Geschlechter der F aktore11.
In der alten Terminologie bat das arithmetische Geschlecht offenbar
diese Eigenschaft nicht. - Das arithmetische Geschlecht x( V,.) ist
birational invariant, da alle gi birational invariant sind (KXHLER
VAN DER WAERDEN, vgl. [41]). In der alten Terminologie ist das
arithmetische Geschlecht der rationalen Mannigfaltigkeiten gleich O.
Nach der von uns verwendeten Definition ist es gleich 1.
1) Gemeint ist hier natiirlich die komplexe Dimension. Wir deuten die recllc
Dimension oft durch einen oberen, die komplexe Dimension durch einen unteren
Index an. Wir werden den Dimensionsindex jedoch hii.ufig fortlassen, wenn c.>s
obne Gefahr von MiBverstii.ndnissen moglich ist. Es wird vorkommcn, daB die
selbe Mannigfaltigkeit sowohl mit V als auch mit V bezeichnet wird.
11