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NETWORK CALCULUS A Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet JEAN-YVES LE BOUDEC PATRICK THIRAN OnlineVersionoftheBookSpringerVerlag-LNCS2050 VersionMay10,2004 2 AAnnelies AJoana,Mae¤lle,AudraineetElias Amame(cid:30)re (cid:151)-JL Amesparents (cid:151)-PT Poure·viterlesgrumeaux Quiencombrentlesre·seaux Ilfallait,c’estcomplique·, Ma(cid:136)(cid:17)triserlesseauxperce·s Branle-basdanslescampus Onpourradore·navant Calculerplussimplement Gra(cid:136)cea(cid:30) l’alge(cid:30)breMin-Plus Foindesobscuresastuces Pourestimerlesde·lais Etlagiguedespaquets Placea(cid:30) (cid:147)NetworkCalculus(cid:148) (cid:151)-JL vi SummaryofChanges 2002Jan14,JL Chapter 2: added a better coverage of GR nodes, in particular equivalence with service curve. FixedbuginProposition1.4.1 2002Jan16,JL Chapter 6: M. Andrews brought convincing proof that conjecture 6.3.1 is wrong. Re- designed Chapter 6 to account for this. Removed redundancy between Section 2.4 and Chapter 6. AddedSETFtoSection2.4 2002Feb28,JL Bug(cid:2)xesinChapter9 2002July5,JL Bug(cid:2)xesinChapter6;changedformatforabetterprintoutonmostusualprinters. 2003June13,JL Addedconcatenationpropertiesofnon-FIFOGRnodestoChapter2. Majorupgradeof Chapter7. ReorganizedChapter7. AddednewdevelopmentsinDiffServ. AddedpropertiesofPSRG fornon-FIFOnodes. 2003June25,PT Bug(cid:2)xesinchapters4and5. 2003Sept16,JL Fixedbuginproofoftheorem1.7.1,proposition3. Thebugwasdiscoveredandbrought toourattentionbyFranc‚oisLarochelle. 2004Jan7,JL Bug(cid:2)xinProposition2.4.1((cid:23) > 1 insteadof(cid:23) < 1 ) h(cid:0)1 h(cid:0)1 2004,May10,JL Typo(cid:2)xedinDe(cid:2)nition1.2.4(thankstoRichardBradford) Contents Introduction xiii I AFirstCourseinNetworkCalculus 1 1 NetworkCalculus 3 1.1 ModelsforDataFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 CumulativeFunctions,DiscreteTimeversusContinuousTimeModels . . . . . . . . 3 1.1.2 BacklogandVirtualDelay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Example: ThePlayoutBuffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 ArrivalCurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 De(cid:2)nitionofanArrivalCurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 LeakyBucketandGenericCellRateAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Sub-additivityandArrivalCurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 MinimumArrivalCurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 ServiceCurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 De(cid:2)nitionofServiceCurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 ClassicalServiceCurveExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 NetworkCalculusBasics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 ThreeBounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 AretheBoundsTight? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Concatenation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.4 ImprovementofBacklogBounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 GreedyShapers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 De(cid:2)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 Input-OutputCharacterizationofGreedyShapers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5.3 PropertiesofGreedyShapers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6 MaximumServiceCurve,VariableandFixedDelay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 MaximumServiceCurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 DelayfromBacklog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6.3 VariableversusFixedDelay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 vii viii CONTENTS 1.7 HandlingVariableLengthPackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.1 AnExampleofIrregularityIntroducedbyVariableLengthPackets . . . . . . . . . . 40 1.7.2 ThePacketizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.3 ARelationbetweenGreedyShaperandPacketizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7.4 PacketizedGreedyShaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.8 EffectiveBandwidthandEquivalentCapacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.8.1 EffectiveBandwidthofaFlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.8.2 EquivalentCapacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.8.3 Example: AcceptanceRegionforaFIFOMultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.9 ProofofTheorem1.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.10 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 ApplicationtotheInternet 67 2.1 GPSandGuaranteedRateNodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.1 PacketScheduling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.2 GPSandaPracticalImplementation(PGPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.3 GuaranteedRate(GR)NodesandtheMax-PlusApproach . . . . . . . . . . . . . . 70 2.1.4 ConcatenationofGRnodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.1.5 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2 TheIntegratedServicesModeloftheIETF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.1 TheGuaranteedService . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.2 TheIntegratedServicesModelforInternetRouters . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.3 ReservationSetupwithRSVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.4 AFlowSetupAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.2.5 MulticastFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.6 FlowSetupwithATM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3 Schedulability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.1 EDFSchedulers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.2 SCEDSchedulers[73] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.3 BufferRequirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4 ApplicationtoDifferentiatedServices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.1 DifferentiatedServices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.2 AnExplicitDelayBoundforEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4.3 BoundsforAggregateSchedulingwithDampers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.4.4 StaticEarliestTimeFirst(SETF). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.5 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 CONTENTS ix II MathematicalBackground 101 3 BasicMin-plusandMax-plusCalculus 103 3.1 Min-plusCalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.1 In(cid:2)mumandMinimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.2 Dioid(R + ; ;+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 [f 1g ^ 3.1.3 ACatalogofWide-senseIncreasingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1.4 Pseudo-inverseofWide-senseIncreasingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.1.5 Concave,ConvexandStar-shapedFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.6 Min-plusConvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.1.7 Sub-additiveFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.1.8 Sub-additiveClosure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.1.9 Min-plusDeconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.1.10 RepresentationofMin-plusDeconvolutionbyTimeInversion . . . . . . . . . . . . 125 3.1.11 VerticalandHorizontalDeviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.2 Max-plusCalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.1 Max-plusConvolutionandDeconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.2.2 LinearityofMin-plusDeconvolutioninMax-plusAlgebra . . . . . . . . . . . . . . 129 3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4 Min-plusandMax-PlusSystemTheory 131 4.1 Min-PlusandMax-PlusOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1.1 VectorNotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1.2 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.3 ACatalogofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.4 UpperandLowerSemi-ContinuousOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.5 IsotoneOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1.6 LinearOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.1.7 CausalOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.1.8 Shift-InvariantOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.1.9 IdempotentOperators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2 ClosureofanOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.3 FixedPointEquation(SpaceMethod) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.1 MainTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.2 ExamplesofApplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4 FixedPointEquation(TimeMethod) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 x CONTENTS III ASecondCourseinNetworkCalculus 153 5 OptimalMultimediaSmoothing 155 5.1 ProblemSetting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.2 ConstraintsImposedbyLosslessSmoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3 MinimalRequirementsonDelaysandPlaybackBuffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 OptimalSmoothingStrategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.1 MaximalSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.2 MinimalSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.3 SetofOptimalSolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.5 OptimalConstantRateSmoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.6 OptimalSmoothingversusGreedyShaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.7 ComparisonwithDelayEqualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.8 LosslessSmoothingoverTwoNetworks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.8.1 MinimalRequirementsontheDelaysandBufferSizesforTwoNetworks . . . . . . 169 5.8.2 OptimalConstantRateSmoothingoverTwoNetworks . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.9 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6 AggregateScheduling 175 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.2 TransformationofArrivalCurvethroughAggregateScheduling . . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.1 AggregateMultiplexinginaStrictServiceCurveElement . . . . . . . . . . . . . . 176 6.2.2 AggregateMultiplexinginaFIFOServiceCurveElement . . . . . . . . . . . . . . 177 6.2.3 AggregateMultiplexinginaGRNode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.3 StabilityandBoundsforaNetworkwithAggregateScheduling . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.3.1 TheIssueofStability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.3.2 TheTimeStoppingMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.4 StabilityResultsandExplicitBounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.4.1 TheRingisStable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.4.2 Explicit Bounds for a Homogeneous ATM Network with Strong Source Rate Con- ditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.5 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7 AdaptiveandPacketScaleRateGuarantees 197 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.2 LimitationsoftheServiceCurveandGRNodeAbstractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3 PacketScaleRateGuarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3.1 De(cid:2)nitionofPacketScaleRateGuarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3.2 PracticalRealizationofPacketScaleRateGuarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 CONTENTS xi 7.3.3 DelayFromBacklog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.4 AdaptiveGuarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.1 De(cid:2)nitionofAdaptiveGuarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.2 PropertiesofAdaptiveGuarantees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4.3 PSRGandAdaptiveServiceCurve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.5 ConcatenationofPSRGNodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.5.1 ConcatenationofFIFOPSRGNodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.5.2 ConcatenationofnonFIFOPSRGNodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.6 ComparisonofGRandPSRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 7.7 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.7.1 ProofofLemma7.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.7.2 ProofofTheorem7.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.7.3 ProofofTheorem7.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.7.4 ProofofTheorem7.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.7.5 ProofofTheorem7.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.7.6 ProofofTheorem7.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.7.7 ProofofTheorem7.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.7.8 ProofofTheorem7.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.7.9 ProofofTheorem7.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.7.10 ProofofProposition7.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.8 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8 TimeVaryingShapers 225 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.2 TimeVaryingShapers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.3 TimeInvariantShaperwithInitialConditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.3.1 ShaperwithNon-emptyInitialBuffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.3.2 LeakyBucketShaperswithNon-zeroInitialBucketLevel . . . . . . . . . . . . . . 228 8.4 TimeVaryingLeaky-BucketShaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9 SystemswithLosses 231 9.1 ARepresentationFormulaforLosses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.1 LossesinaFiniteStorageElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.2 LossesinaBoundedDelayElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2 Application1: BoundonLossRate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.3 Application2: BoundonLossesinComplexSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.3.1 BoundonLossesbySegregationbetweenBufferandPolicer . . . . . . . . . . . . . 235 xii CONTENTS 9.3.2 BoundonLossesinaVBRShaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 9.4 Skohorkhod’sRe(cid:3)ectionProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.5 BibliographicNotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242