NASA Technical Reports Server (NTRS) 20040086851: Efficient Multi-Stage Time Marching for Viscous Flows via Local Preconditioning

15 Pages·0.77 MB·English

by  NASA Technical Reports Server (NTRS)

AIAA 99–3267
Efficient Multi-Stage Time Marching
for Viscous Flows via Local
Preconditioning
William L. Kleb, William A. Wood
NASA Langley Research Center, Hampton, VA 23681
and
Bram van Leer
The University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109
14th AIAA CFD Conference
June 28–July 1, 1999 / Norfolk, VA
Forpermissiontocopyorrepublish,contacttheAmericanInstituteofAeronauticsandAstronautics
1801AlexanderBellDrive,Suite500,Reston,VA20191–4344
Efficient Multi-Stage Time Marching for
Viscous Flows via Local Preconditioning
William L. Kleb∗, William A. Wood∗
NASA Langley Research Center, Hampton, VA 23681
and
Bram van Leer†
The University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109
A new method has been developed to accelerate the convergence of explicit time-
marching,laminar,Navier-Stokescodesthroughthecombinationoflocalpreconditioning
and multi-stage time marching optimization. Local preconditioning is a technique to
modify the time-dependent equations so that all information moves or decays at nearly
the same rate, thus relieving the stiffness for a system of equations. Multi-stage time
marching can be optimized by modifying its coefficients to account for the presence of
viscous terms, allowing larger time steps. We show it is possible to optimize the time
marching scheme for a wide range of cell Reynolds numbers for the scalar advection-
diffusionequation,andlocalpreconditioningallowsthisoptimizationtobeappliedtothe
Navier-Stokes equations. Convergence acceleration of the new method is demonstrated
through numerical experiments with circular advection and laminar boundary-layer flow
over a flat plate.
Nomenclature l Length from a cell corner to the diagonal
along the advection velocity direction
L Reference length
Roman letters 0
M Mach number
A Cell area
p Pressure
a,b Horizontal and vertical components of
advection velocity, q P Preconditioning matrix
c Speed of sound Pn Nth-order polynomial
C Viscous flux Jacobian in the x-direction Pr Prandtl number, 0.72
C Condition number, ratio of largest to q Advection velocity
n
smallest eigenvalues Q Reference velocity
0
d Horizontal shift for Tchebyshev polynomial q Heat flux components
x,y
transformation R Viscous flux vector, x-component
E Energy per unit volume R Negative Real extent of the spatial
S
E Viscous flux Jacobian in the y-direction operator’s Fourier Footprint
F Inviscid flux vector, x-component R Negative Real extent of the temporal
T
G Inviscid flux vector, y-component operator
H Total enthalpy per unit volume Re Reynolds number
h Ratio of cell area to the length of the Re∆ Cell Reynolds number (generic)
diagonal Re Cell Reynolds number based on ∆x
∆x
H Inviscid flux vector Re Cell Reynolds number based on h
h
J Viscous flux vector Re Reynolds number based on x-coordinate
x
Res Residual
∗Aerospace Engineer, Aerothermodynamics Branch, Aero- S Conserved scalar quantity
andGas-DynamicsDivision. s Cell length
†Professor,DepartmentofAerospaceEngineering,AIAAfel-
low. S Viscous flux vector, y-component
Copyright(cid:13)c 1999bytheAmericanInstituteofAeronauticsand T Temperature
Astronautics, Inc. No copyright is asserted in the United States
under Title 17, U.S. Code. The U.S. Government has a royalty- Tn Nth-order Tchebyshev polynomial
freelicensetoexerciseallrightsunderthecopyrightclaimedherein
for Governmental Purposes. All other rights are reserved by the U Blasius freestream velocity
copyrightowner.
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American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 99–3267
u Velocity, horizontal component F Fourier Footprint
U Vector of conserved variables
v Velocity, vertical component Introduction
x Horizontal coordinate direction THIS work is motivated by the poor conver-
y Vertical coordinate direction gence of explicit time-stepping Computational
z Complex number Fluid Dynamics (CFD) codes for viscous flow prob-
lems. Therecentdevelopmentoflocalpreconditioning
Subscripts methods1,2,3,4 and the flexibility of multistage time-
( ) Reference quantity marching schemes provide the tools to relieve this
0
( ) Euler bottleneck.a Withthestrongshifttowardcache-based
E
parallel architectures, implicit schemes are beginning
( ) Cell face index
i
to show limitations for this emerging environment.
( ) Cell index in y-direction
j Typically an explicit time marching scheme is lim-
( )NS Navier-Stokes ited by the minimum of an inviscid time step5,6 and a
( )t Derivative with respect to time viscous time step.7 The inviscid portion relates to the
( ) Horizontal and vertical components or advective part of the equations and the viscous por-
x,y
derivatives tionrepresentsthedissipationcomponent. Intermsof
VonNeumannstabilityanalysis8 these portionscorre-
Conventions spond to the extents of the Fourier Footprintb along
¯
( ) Non-dimensional quantity (briefly) theimaginaryaxisandnegativerealaxis,respectively.
d( ) Differential quantity In the beginning of the “Euler era” (early 1980s),
multistage time-marching schemes were optimized for
Symbols the maximum imaginary extent of the stability do-
α Runge-Kutta coefficient for stage k main,giventhenumberofstagesofthescheme.9 This
k
allows inviscid problems to be solved efficiently on
β Fourier frequency
a single grid. Very soon, multigrid relaxation made
∆t Time step
its entrance,10 and the emphasis in multi-stage design
∆x Horizontal grid spacing
shiftedtochoosingthecoefficientssuchthatmaximum
∆y Vertical grid spacing high-frequency damping results for a given number
ε Scaling for Tchebyshev polynomial of stages, typically at half the maximum allowable
transformation time step.11,12,13 This optimization technique origi-
η Blasius boundary layer coordinate nally was based on a scalar analysis, losing most of
its validity when applied to a system of equations.
γ Ratio of specific heats, 1.4
TheintroductionoflocalpreconditioningfortheEuler
(cid:61) Imaginary component
equations,4 whichtendstoequalizetheadvectivetime
κ Parameter which controls upwind-biasing
scales and concentrates the Fourier footprint, finally
µ Kinematic viscosity made it possible to optimize high-frequency damping
µ Reference kinematic viscosity for all types of waves admitted by the inviscid sys-
0
ν Courant number tem.14,15,16
φ Flow angle with respect to the horizontal For a typical viscous flow problem, however, a ma-
(cid:60) Real component jorityofthecomputationalcellsarelimitedinthesize
of their time step by the viscous criterion, due to the
ρ Mass density
limitedextentofthestabilityboundaryalongtheneg-
(cid:37) Prandtl-Glauert factor
ative real axis. By making the multistage coefficients
σ Von Neumann number afunctionofthelocalcellReynoldsnumber,Re ,the
∆
ς Cell stretching parameter stability boundary can be reshaped to alleviate this
σ High frequency damping restriction.15,16
π
For systems of equations, local preconditioning is
τ Shear stress components
ij
necessary for equalizing various time scales admitted
θ Angle between h and the advection velocity
by the system.17,18,16,19,20 However, the analytical
ξ High-frequency scaling for Preconditioner
preconditioning analysis for the Navier-Stokes equa-
ζ Transformed complex number tions is much more complicated than for the Euler
AR Cell aspect ratio equations, and is still far from complete. As a result,
AR Equivalent cell aspect ratio in the flow
q
aAlso,asafringebenefitoflocalpreconditioning,thesolution
direction
accuracyatlowMachnumbersisenhanced.
D Common denominator bThelocusoftheFouriertransforminthecomplexplane.
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the current paper uses a simple block-Jacobi method equation,c
to extend the Euler preconditioner to viscous prob-
lems.21 S +aS +bS = 1 (S +S ), (1)
t x y Re xx yy
In the work of Lynn,15,16 multistage methods are
optimizedbasedonthepreciseFourierfootprintofthe whereS issomeconserved,scalarquantity;aandbare
spatialoperator. Theoptimizationmustbeperformed horizontal and vertical components of the advection
separately for each choice of cell Reynolds number. velocity,respectively; andReistheReynoldsnumber.
The multistage time steps can be tabulated as func- Oncewechooseadiscretizationofthespatialterms,
tions of Re , or, more practically, given as functions we are stuck with the resulting Fourier Footprint, so
∆
thatcloselyfitthedata. NeitherLynnnorD.Lee18ac- we will study it first. Afterward we will examine the
tually carry out Navier-Stokes calculations with Re - temporal operator, and finally, the procedure used to
∆
dependent multistage coefficients. fit one to the other.
In the present work the optimization procedure is Spatial Operator
reversed, and thereby greatly simplified. We start
Forthisstudywewillusecentraldifferencingforthe
with a family of multistage schemes that has stabil- viscous terms and the κ-scheme24,25 for the advective
ity domains of desirable shape. Then, using the scalar
terms. This yields,
advection-diffusion operator as a foothold, we fit the
spatial footprint within the temporal stability bound- a∆t ∆t
ary to achieve stability and possibly some other desir- F =−(cid:18)(1−κ)∆x +2Re∆x2(cid:19)(1−cosβx)
ableproperty,likeprescribedhigh-frequencydamping. (1−κ)a∆t
Related work which optimizes the time step without − (1−cos2β )
4 ∆x x
consideration for the associated damping is given by
a∆t (κ−1)a∆t
Lorber et al.22,23 The transition from the advection- −i sinβ +i sin2β
∆x x 4 ∆x x
diffusion operator to the Navier-Stokes operator is (2)
b∆t ∆t
accommodatedbythelocalpreconditioning. Thispro- −(cid:18)(1−κ)∆y +2Re∆y2(cid:19)(1−cosβy)
cedureprovidesanumericalrelationshipbetweenRe
∆
and the multistage time step coefficients. The result- − (1−κ)b∆t(1−cos2β )
ingRe -dependentmarchingschemesareusedtosolve 4 ∆y y
∆
theadvection-diffusionequationandcomputelaminar b∆t (κ−1)b∆t
−i sinβ +i sin2β ,
boundary-layer flow. ∆y y 4 ∆y y
where κ ∈ [−1,1], providing a blending between fully
upwindandcentraldifferencing,respectively. Inamo-
Runge-Kutta Design
ment we will look at the resulting Fourier Footprint,
but first let us define some parameters,
Optimizing the time-marching scheme for efficiency
orhigh-frequencydampingismosteasilyaccomplished
q = a2+b2, the advection speed,
by working in the complex space of the Fourier trans- (cid:112)
form via Von Neumann stability analysis.8 The over- b
φ =arctan , the flow angle,
riding goal, of course, is stability, i.e., to contain the a
Fourier Footprint of the spatial discretization inside ∆x
AR = , cell aspect ratio,
the stability boundary of the time-marching scheme. ∆y
A secondary goal is to provide some level of high-
and scale the footprint by fixing the position of the
frequency damping. If only single-grid marching is
high frequency components (β =π) at −R . With
desired, the tradition is to go for the largest time step x,y S
these definitions, Eq. 2 becomes,
possible. For multigrid marching it is necessary to
maximize high-frequency damping, which means giv-
q
iancgtuuapllythtuermnsaxoiumtutmo atlismoebestmepo.reTehffiecliaenttterfosrtsriantgelgey- −RS =−2∆t(cid:20)(1−κ)∆x(cosφ+ARsinφ)
grid marching, as was shown by Tai.13 Maximizing 2
+ (1+AR2)(cid:21). (3)
high-frequency damping without setting a target level Re∆x2
for the damping, though, is not a good idea for a vis-
cous equation solver, as this tends to reduce the time In this form, two length scales have emerged,
step to unacceptably low values.15,16
∆x
For the sake of simplicity we will start our analysis h = √ , (4)
1+AR2
byexaminingthescalarmodelequationfortheNavier-
Stokes system of equations: the advection-diffusion cSeeAppendixAfornon-dimensionalization.
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theratioofcellareatothelengthofthediagonal,and (cid:0) (cid:0)
which is the lenlgt=h fcroosmφ+a∆AcxRellsicnoφrn,er to the diag(5o)- •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••-000...022 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••-000...022
-1.0 -0.6 -0.2 -1.0 -0.6 -0.2
nal along the advection velocity direction. Figure 1 (cid:1) (cid:1)
shows the cell geometry and the associated lengths. a)Upwind (κ=−1). b) Fromm’s scheme
Moreover, h and l are related by l = h/cosθ where θ (κ=0).
(cid:6)
(cid:0) (cid:0)
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••-000...022 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••-000...022
-1.0 -0.6 -0.2 -1.0 -0.6 -0.2
(cid:1) (cid:1)
(cid:7) (cid:5) (cid:4)
(cid:0)(cid:2)(cid:3) c)Third-orderin1Donly d) Central difference
(κ=1/3). (κ=1).
(cid:8)
Fig. 2 Effect of κ on the footprint of the higher-order
scheme (AR=1, φ=45deg, Reh =1, βx,βy ∈[0,2π],
∆β=2π/40).
(cid:0)(cid:2)(cid:1)
Temporal Scheme
For this study the stability boundary is given by a
Fig. 1 Time-step cell and flow geometry.
transformation of Tchebyshev polynomials attributed
is the angle between h and the advection velocity. to Manteuffel,26
Using the new length scale, h, we solve for ∆t to fix
T (d−z)
the high frequency portion of the footprint at −Rs, Pn(z) = Tn (dε) , (9)
n ε
RS
∆t= 2 . (6) wherenistheorderoftherespectivepolynomials,z is
q(1−κ)cosθ+ 2
h Reh2 a number in the left complex plane, and the sequence
of Tchebyshev polynomials are given by recursion,
Factoring out the q/h and converting the Reynolds
number, Re, to the cell Reynolds number, Reh, we T0(ζ) =1, (10)
find,
T (ζ) =ζ,
1
∆t= RS h Reh . (7) Tn+1(ζ) =2ζ Tn(ζ)−Tn−1(ζ), n>1.
2 q Re (1−κ)cosθ+2
h TheresultingcoefficientsofP (z)arechosensuchthat
n
the|P (z)|=1stabilityboundaryremainssimplycon-
Substituting this time step into Eq. 2 gives our scaled n
nected and the blended polynomial is scaled properly,
Fourier Footprint of the form,
i.e.,
R h Re
F =− S h P (0) =1, (11)
2 ∆xRe cosθ+2 n
h
Re cosφ+2
(cid:20)(cid:18) ∆xRe (cid:19)(1−cosβx)+icosφsinβx and
h
(8) dP
+AR(cid:18)Re∆xRsienhφ+2(cid:19)(1−cosβy) dzn(cid:12)(cid:12)(cid:12)z=0 =1. (12)
(cid:12)
For example, a four stage scheme would take the
+iARsinφsinβy(cid:21). form,
32d3−16ε2d
Finally,werevealtheFourierFootprintinFig.2which P (z)=1− z
4 D
shows the effect of various κ’s for R = 1, AR = 1, (13)
S 48d2−8ε2 32d 8
and Re = 1. Defining a non-dimensional time step + z2− z3+ z4,
D D D
for the advection-diffusion equation is not trivial, see
Appendix B for more details. where D =8d4−8d2ε2+ε4. To satisfy the conditions
Now that we have the spatial operator’s footprint, given by Eqs. 11 and 12 we find,
weturnourattentiontothetemporalstabilitybound-
ary. ε=(cid:113)4d(2+d)+ 16d2(2+d)2−8d3(d+4). (14)
(cid:112)
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Thus,wenowhaveaone-parameterfamilyofstability Figure 4 on the following page shows a sequence of
boundaries governed by d. stability plots for different values of d. Superimposed
Next, we recall that a 4-stage Runge-Kutta scheme arethespatialoperatorFourierFootprintswhichyield
has the form of the maximum time step given a high-high frequency
dampingof0.5. ThecontoursinFig.4representlevels
P (z)=1+α z+α α z2+α α α z3+α α α α z4. of the temporal operator’s amplification (or damping)
4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1
factor, |P|, from 0.1 to 1.0 in increments of 0.1.
(15)
Notice the large negative extent of the stability do-
mainalongtherealaxis,madepossiblebytheTcheby-
SobyequatingthecoefficientsinEqs.13and15wecan
shev polynomial. The domain maximally extends to
determine the coefficients, α , for the corresponding
k −2n2 for an n-stage scheme; however, for this choice
Runge-Kutta scheme.
the scheme is onlystable in the limit of Re =0 (refer
∆
Fitting to Fig. 4(d)).
Theprocedureemployedisanalogoustoblowingup Figure 5 on page 7 shows the reference time step
a balloon into a bear trap: a given stability boundary and Runge-Kutta coefficients as a function of the
(thebeartrap)ischosen; next, agivenhighfrequency cell Reynolds number for the resulting 4-stage Runge-
damping level is located on the negative real axis; Kuttascheme. This provides the linkbetween the cell
and then the cell Reynolds number is increased until Reynolds number, the time step, and the multistage
some part of the spatial operator’s Fourier Footprint coefficients for a given cell. Note that the time step
(the balloon) reaches a specified damping contour of maintains an appreciable value all the way down to
the temporal operator. Figure 3 depicts the parame- Re =0.1, which is smaller than many people use to
h
ters, the stability boundary, and the spatial operator resolve the boundary layer in a Navier-Stokes calcula-
Fourier Footprint. tion.
(cid:15)
(cid:6)
(cid:0) (cid:1)(cid:3)(cid:2) Extension to Systems (Local Preconditioning)
Local preconditioning is a technique to remove
stiffness from a system of equations. In the
aeronautical CFD community, the set of time-
(cid:7)
dependent, Reynolds-averaged, compressible, Navier-
Stokes equations—sometimes simplified to the (invis-
cid) Euler equations—are typically solved in an iter-
ative fashion to achieve a steady-state solution. Al-
though in most cases only the steady-state solution
(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:12)(cid:11)(cid:14)(cid:13)
is desired, the time-dependent equations are still em-
(cid:1)(cid:5)(cid:4)
(cid:0) ployed so that the marching problem is well posed
Fig. 3 Sketch of optimization procedure. for all Mach numbers. The time-dependent Euler
equationsarehyperbolicandadmitrealwave-likefun-
The fitting algorithm is as follows:
damental solutions; the Navier-Stokes equations are
mixedparabolic-hyperbolicandadmitdampedtravel-
1. Pickavalueford. Thissetstheshapeandextent
ing waves as well as non-propagating damped modes.
of the Tchebyshev stability boundary.
Convergencetosteady-stateforinviscidcalculations
2. Compute −R , the negative Real extent of the is impaired in some flow regimes due to the spread in
T
Temporal operator. (Hint: R =2d.) the characteristic wave speeds. The spread is largest
T
forwavesmovinginthestreamwisedirection,inwhich
3. GiventhenegativeRealextentofthestabilitydo- case their speeds are q, q+c, and q−c, where q is the
main, −R , as a starting point, find the negative total flow speed and c is the speed of sound. The
T
Real extent of the spatial operator, −R , which ratio of the largest to smallest wave speed is termed
s
satisfies the prescribed high frequency damping,d the condition number, C , and serves as a measure of
n
σ , by moving toward the origin along the Real “stiffness”. Figure 6 on page 7 shows the condition
π
axis, computing |P (z)|. number as a function of Mach number for the Euler
n
equations. The solid line represents the original Euler
4. Using the viscous limit (Reh → 0) as an initial equations and it is apparent that infinite stiffness oc-
guess increase the cell Reynolds number until the cursinboththesubsonicandtransonicregimes;asthe
prescribeddampingconditionsfortheentirefoot- Mach number further increases, the condition number
print or its high-frequency part are met. asymptotes to the ideal value of one.
dOr, ifunabletofindtherequesteddamping, usethemaxi- ThedashedlineinFig.6representstheEulerequa-
mumdampingavailable. tions preconditioned with the Van Leer-Lee-Roe pre-
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-0242(cid:1) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• -0242(cid:1) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• -0242(cid:1)
-4 -4 -4
-2 0 -8 -4 0 -16 -12 -8 -4 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
a)d=−1 b)d=−4 c)d=−8
4
(cid:1)
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• -022
-4
-32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0
(cid:0)
d)d=−14
4
(cid:1)
2
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-2
-4
-32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0
(cid:0)
e)d=−16
Fig.4 Optimizedstabilityplotsasafunctionofthetemporaloperatorparameter,d,forFromm’sScheme(κ=0)
with a prescribed high frequency damping of 0.5 with contours of damping every 0.1 and the size of the frequency
symbols scaled by their respective damping.
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dp/(ρc),du,dv,dp−c2dρ T, it has the form,
(cid:2) (cid:3)
100 (cid:0)(cid:2)(cid:1) ξM(cid:37)22 −ξM(cid:37)2 0 0
−ξM 1+ ξ 0 0
P = (cid:37)2 (cid:37)2 , (16)
E  
 0 0 ξ 0
(cid:3)(cid:9)(cid:8)  
 0 0 0 1
(cid:3)(cid:7)(cid:6)
10-1 with (cid:37) = |1−M2| and ξ = (cid:37)/((cid:37)+AR ), where AR
q q
(cid:3)(cid:5)(cid:4) (cid:112)
is an effective streamwise aspect ratio given by sum-
ming the appropriate velocity projections for each cell
face, i,
|u∆x +v∆y |
10-2-2 -1 (cid:10)(cid:12)0(cid:11)(cid:14)(cid:13) (cid:4)(cid:16)(cid:15)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:24)(cid:23)(cid:26)1(cid:25) 2 3 ARq = (cid:80)(cid:80)ii|v∆xii−u∆yii|. (17)
This form is due to Darmofal.28
Fig. 5 The reference time step and Runge-Kutta co- Preconditioning of the Navier-Stokes equations is
efficients as a function of the cell Reynolds number for
accomplished according to the method proposed in
the fitting presented in Fig. 4.
Ref.21,namely,theadditionoftheviscousJacobians:
2
P−1 =P−1+ (C+ARE), (18)
NS E ∆x(1−κ)
105
where C and E are the Jacobians of the viscous fluxes
(cid:4)(cid:6)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:12)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:15)(cid:14)(cid:16)(cid:5)(cid:18)(cid:17)(cid:20)(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:10)(cid:23)(cid:25)(cid:24)(cid:18)(cid:26) in the x and y directions, respectively.
104 (cid:27)(cid:6)(cid:11)(cid:28)(cid:9)(cid:30)(cid:29)(cid:31)(cid:23)(cid:16)(cid:24)! "(cid:21)#(cid:19)(cid:22)(cid:21)(cid:10)(cid:23)(cid:25)(cid:24)(cid:8)(cid:9)$ Thus, instead of marching to the steady state with
U =Res(U), (19)
t
103
march with a preconditioned residual
(cid:0)(cid:2)(cid:1)
U =P(U)Res(U). (20)
102 t
This can be viewed as marching with a matrix time
step as opposed to a scalar time step. However, the
101
following three elements of an existing code need to
be modified to account for the new, preconditioned
100 system:
0 1 (cid:3) 2 3
• Time-step definition
• Artificial dissipation
Fig.6 ConditionnumberasafunctionofMachnumber
for the Euler equations.
• Boundary conditions
First, since preconditioning serves to collapse all
conditioner.4 This preconditioner comes closest to
wave speeds to the total flow speed, q, the time step
achieving equalization of wave speeds, without affect-
should be based on the flow speed, q, and not the
ing their direction of propagation or their hyperbolic-
largest acoustic wave speed, q +c, which is typically
ity. The dashed line shows it is possible to eliminate
used in the unconditioned case.
completely the stiffness as the Mach number goes to
Next,foranupwindschemetheartificialdissipation
zero,greatlyreducethetransonicstiffness,and,ingen-
matrices |A| and |B| need to be evaluated in terms of
eral, substantially lower the condition number for the
preconditioned quantities, i.e., they become P−1|PA|
systemofequations. Thismakesthesystembehaveas
and P−1|PB| for the preconditioned system.
a scalar equation which has only a single wave speed,
And lastly, if one is employing “weak” (image cell)
sowecanapplytheRunge-Kuttaschemedevelopedin
boundary conditions and using the modified upwind
the previous section after accounting for some scaling
scheme to solve for the boundary fluxes, no change
factors.
is necessary for the boundary conditions. However, if
The inviscid portion of local preconditioning used oneisusingexplicitcharacteristicboundaryconditions
in this paper is that of Van Leer-Lee-Roe4 with a and/or employs “strong”, specified boundary fluxes,
modification according to D. Lee20,27 and Lynn.16 theseproceduresneedtobemodifiedtoaccountforthe
In stream-aligned, hyperbolic symmetrizing variables, preconditioned equations that are now being solved.
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Numerical Experiments Table 1 clearly demonstrates the devastating ef-
fects that low Reynolds numbers (and hence low cell
Two numerical experiments were performed, the
Reynolds numbers) have on the standard advection-
firstonthescalarmodelequationfortheNavier-Stokes
optimized time marching scheme. As anticipated by
equations: advection-diffusion; and the second experi-
theFourieranalysis,thevariable-coefficientschemere-
ment solved the Navier-Stokes system of equations for
tains a healthy convergence rate even with local cell
boundary layer flow over a flat plate.
Reynolds numbers well below 0.01.
Circular Advection
Laminar Boundary Layer
To remove the added complication of precondi-
Theflowsolverforthisportionofthestudywaspur-
tioning a system of equations, the scalar advection-
posely kept as simple as possible to isolate the effect
diffusion model problem was first considered. The
of the variable Runge-Kutta coefficients. The solver
case considered here is that of circular advection in
consists of a cell-centered, finite-volume-based scheme
the upper half plane, i.e., the domain consisted of 40
which uses Roe’s Flux Difference Splitting29 for the
equally-spaced cells along the x direction from -1 to 1
inviscid fluxes and central differencing for the viscous
and 20 equally-spaced cells along the y direction from
terms on a structured grid of quadrilaterals. In inte-
0 to 1, with a top-hat profile entering at the lower left
gral form,
rotating clockwise to exit at the lower right. Figure 7
on the next page shows a representative solution for a
Reynolds number of 500. (cid:90) Ut dA+(cid:73) Hds =(cid:73) Jds,
A S S
The number of iterations to converge the L er-
2
ror norm to 10−10 are recorded in Table 1 for a where U is the conserved state vector defined as
(ρ,ρu,ρv,ρE)T, H is the inviscid flux vector,
host of Reynolds numbers for both the variable-
coefficient Runge-Kutta scheme and the constant-
(Fˆı+Gˆ)·d(cid:126)s,
coefficient scheme. The fixed-coefficient scheme uses
and J is the viscous flux vector,
Table 1 Comparison of constant-coefficient Runge-
Kutta scheme to variable-coefficient Runge-Kutta (Rˆı+Sˆ)·d(cid:126)s.
scheme for Circular Advection on a 40×20 grid.
Iterations The Cartesian components of the inviscid flux are
Re
Variable Fixed
F =(ρu,ρu2+p,ρuv,ρuH)T,
1 868 4,271
10 422 2,736 and
25 252 1,374
G =(ρv,ρvu,ρv2+p,ρvH)T,
50 151 736
100 110 387 while the viscous components are
500 85 136
R =(0,τ ,τ ,uτ +vτ −q )T,
xx xy xx xy x
1,000 77 117
5,000 81 98 and
10,000 82 99
S =(0,τ ,τ ,uτ +vτ −q )T.
xy yy xy yy y
advection-optimized Runge-Kutta coefficientse due to
Thegoverningequationsarenon-dimensionalizedby
Tai13 for maximizing damping over frequencies from
freestream speed of sound, c, and density, ρ, so that
π/4toπ whilethevariable-coefficientschemeusesthe
the viscous stresses and heat flux terms are given by
cellReynoldsnumber-dependentcoefficientsthatwere
developed in the preceding section. Note that for this M 2
τ = µ (2u −v ),
problem the average cell Reynolds numbers are a fac- xx Re 3 x y
tor of 20 less than the Reynolds number and actually M 2
τ = µ (2v −u ),
tend toward zero near the center of the advection ve- yy Re 3 y x
locity field since Re =Rehq. However, for very low M
h τ = µ(u +v ),
values of q we found that the local time-step given by xy Re y x
Eq. 7 on page 4 must be capped to avoid numerical M
q = µT , and
instability regardless of the marching method used. x (γ−1)RePr x
M
eCoefficients: α1=0.2131, α2=0.4364, α3=0.7641 with qy = (γ−1)RePrµTy.
ν=1.1727.
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1
(cid:1)
0.5
0
-1 -0.5 0 0.5 (cid:0) 1
Fig. 7 Circular advection for a Reynolds number of 500 including velocity vectors and solution contours every
0.1 from 0.05 to 0.95.
The system is closed with an equation of state, conditions30,31 nor solution-assumed grids32,33,34 are
necessarytocapturetheboundarylayergradients(see
p =(γ−1)(cid:20)E− 1 u2+v2 (cid:21), Fig. 9 on the next page where the computed resultsg
2(cid:0) (cid:1) are compared to the Blasius resultsh).
Table 2 shows the number of iterations to converge
where E is the total energy per unit volume, H is the the L error norm to 10−6 for a range of Mach num-
2
totalenthalpyperunitvolume,T isthetemperature,γ
bersforboththefixed-coefficientRunge-Kuttascheme
istheratioofspecificheats(1.4),µistheviscosity,Pr
andthevariable-coefficientRunge-Kuttascheme.i The
is the Prandtl number (0.72), and Re is the Reynolds
number. Table 2 Comparison of constant-coefficient Runge-
The numericaltest problemchosen is thatofa lam- Kutta scheme to the variable-coefficient Runge-Kutta
scheme for boundary layer flow over a flat plate.
inarboundarylayerflow; specifically, two-dimensional
subsonic flow over a flat plate. The unit-length Fixed
Reynolds number is 10,000 and the freestream Mach M Variable
Uncond. Precond.
number is varied between 0.05 and 0.3. The compu-
0.3 21,322 7,667 3,102
tational domain and mesh are shown in Fig. 8 on the
0.1 45,371 7,482 1,945
following page. The plate is 4 units long, with the up-
stream boundary 2 units away from the leading edge 0.05 97,263 8,231 1,543
and the upper boundary is placed at 1.2 units. There
are 36 cells evenly distributed along the x-direction
fixed-coefficientschemewasrunwithandwithoutpre-
(24 cells on the plate and 12 upstream) and 40 cells
conditioning. The results clearly show the benefits of
exponentiallystretchedinthey-directionaccordingto
preconditioning, with local preconditioning providing
eςnjj−−11 −1 nearly Mach number independent convergence. How-
y =y for j =1,...n ever, we note some degradation as the cell Reynolds
j nj eς −1 j
numbersbecomelowerastheMachnumberislowered.
This effect was predicted by D. Lee20,27 and shows
where the wall spacing is set to have an acoustic
cell Reynolds number of 10, yielding a stretching pa-
gThe unconditioned and preconditioned solutions are indis-
rameter, ς, of 1.1360.f By employing characteristic tinguishable.
boundary conditions, neither second-order boundary hStrictly speaking, Blasius is only valid for incompressible
flow,butuptoMach0.3compressibilityeffectsarenegligible.
fParabolicstretching, asusedinRefs.30and31, wasorigi- iCPUtimingdataarenotpresentedforthisproof-of-concept
nallytrieduntil,uponfurtherexamination,itbecameapparent studysincenooptimizationofthenewimplementationhasbeen
thatithadacanonicalfirst-pointstretchingfactorofthree! attempted.
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American Institute of Aeronautics and Astronautics Paper 99–3267