Избранные вопросы алгебры и теории чисел. N, Z, Q, R

64 Pages·0.945 MB·Russian

by  Черемисина Марина Ивановна

Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство просвещения Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высше-
го образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»

М.И. Черемисина

И ЗБР АН НЫЕ ВО П РО СЫ
АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
N, Z, Q, R
Учебное пособие

Оренбург 2021
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Министерство просвещения Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высше-
го образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»

М.И. Черемисина
И ЗБР АН НЫЕ ВО П РО СЫ
АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
N, Z, Q, R

Допущено УМС ОГПУ в качестве учебного пособия для обу-
чающихся по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое
образование (с двумя профилями подготовки), профилям Мате-
матика и Информатика, Математика и Физика
по дисциплине «Алгебра и теория чисел»

Оренбург
2021
2
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.14я73
Ч46

Рецензенты
Н. А. Мунасыпов, кандидат физико-математических наук, доцент
А. Д. Сафарова, кандидат педагогических наук, доцент

Черемисина, М. И.

Ч46 Избранные вопросы алгебры и теории чисел. N, Z, Q, R:
учебное пособие / М. И. Черемисина ; Министерство
Просвещения Рос. Федерации, ФГБОУ ВО «Оренб. гос.
пед. ун-т».  Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2021  64 с.  ISBN

978-5-85859-688-2.
В пособии рассмотрены теоретические основы основных числовых сис-
тем: аксиоматическая теория натуральных чисел, кольцо целых чисел,
поле рациональных чисел, поле действительных чисел. Книга адресова-
на студентам физико-математических факультетов педагогических уни-
верситетов, обучающихся по направлению подготовки 44.03.05 Педаго-
гогическое образование (с двумя профилями подготовки), профилям
Математики и Информатики, Математика и Физика по дисциплине «Ал-
гебра и теория чисел».
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.14я73
ISBN 978-5-85859-688-2
3
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие………………………………………………………………………….6
Глава I. Аксиоматическая теория натуральных чисел…………………………….7
§1 Определение и простейшие свойства натуральных чисел…………………….7
§ 2 Сложение натуральных чисел………………………………………………...10
§ 3 Свойства сложения…………………………………………………………….12
§ 4 Умножение натуральных чисел. Свойства умножения……………………..14
§ 5 Порядок во множестве натуральных чисел………………………………….16
§ 6 Вычитание натуральных чисел……………………………………………….21
§ 7 Деление натуральных чисел…………………………………………………..23
§8. Замечания о системе аксиом натуральных чисел……………………………24
Глава II. Построение системы целых чисел с помощью упорядоченных пар на-
туральных чисел……………………………………………………………………28
§1. Принцип расширения в арифметике и алгебре………………………………29
§2. Определение кольца целых чисел……………………………………………..30
§3. Построение кольца целых чисел………………………………………………31
§ 4. Свойства целых чисел (без доказательства) ………………………………...38
Глава III. Построение поля рациональных чисел с помощью упорядоченных пар
целых чисел…………………………………………………………………………40
§1. Определение поля рациональных чисел и его единственность……………..40
§2. Существование поля рациональных чисел…………………………………..44
§3. Свойства рациональных чисел………………………………………………...49
Глава IV. Упорядоченное поле. Поле действительных чисел…………………..52
§1. Основные понятия……………………………………………………………...52
§2. Определение и построение поля действительных чисел…………………….54
§3. Свойства действительных чисел……………………………………………...59
§4. Аксиоматическое определение действительных чисел……………………..60
Список литературы…………………………………………………………………64
4
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Предисловие
Предлагаемое учебное пособие адресовано студентам
физико-математических факультетов педагогических университетов, обучаю-
щихся по направлению подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (с
двумя профилями подготовки).
В пособии раскрывается часть программы по учебной дисциплине «Ал-
гебра и теория чисел», в которой излагается система базовых знаний по разделу
«Теория чисел».
Кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чи-
сел, аксиоматическая теория натуральных чисел тесно переплетены как по тео-
ретическому содержанию, так и по практическому применению не только в
курсе алгебры и теории чисел, но и в курсах геометрии, математического ана-
лиза, тем самым являются одними из важных разделов по усвоению базовых
знаний всего математического курса.
Число- это одно из фундаментальных понятий в математике, поэтому
знакомство с теорией основных числовых систем является важнейшей состав-
ной частью математического образования учителя математики.
Изучение чисел начинается в школе, именно там закладываются интуи-
тивные представления о числах и их свойствах. Однако в школе не дается стро-
гого обоснования этих свойств. Цель настоящего пособия - это перевести ин-
туитивные знания о числах на основу доказательств.
Пособие завершает список литературы, в котором указаны не только ис-
точники, на которых основан материал, изложенный в пособии, но и литерату-
ра, рекомендуемая для самостоятельного изучения.

5
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ГЛАВА I
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§1. Определение и простейшие свойства натуральных чисел.
Определение I.
Натуральным рядом называют алгебраическую систему <N, 1, p>, со-
стоящую из множества N, элементы которого называют натуральными числа-
ми, выделенного в этом множестве элемента 1 и определенного в N отношени-
ях р (a,b), которое читается «b непосредственно следует за a» удовлетворяюще-
го следующим аксиомам (I – IV) (элемент непосредственно следующий за a,
обозначаем a’ ):
I. 1 не следует ни за каким натуральным числом, т. е.
(a) a’ ≠ 1
II. Для любого натурального числа существует одно и только одно не-
посредственно следующее за ним число, т. Е.
(a)(b) a = b  a’ = b’
III. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за
одним натуральным числом, т.е.
(a)(b) a’ = b’  a = b
IV. Аксиома индукции.
Подмножество M множества N, (M  N), которое удовлетворяет требова-
ниям:
a) 1  M
б) a  M  a’  M, совпадает со множеством N (M = N).
Эта система аксиом представляет собой лишь незначительно измененную
систему аксиом, предложенную итальянским математиком Пеано в 1891 году.
Рассмотрим некоторые следствия (теоремы) из этой системы аксиом.
6
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Теорема I. (о законности индуктивных доказательств).
Если некоторая теорема Т, формулировка которой содержит натуральное
число n, доказана для числа 1 и в предположении, что она верна для числа n,
доказана для следующего числа n’, то эта теорема верна для любого n.
Доказательство.
Пусть M – множество тех натуральных чисел, для которых верна рас-
сматриваемая теорема T.
Тогда: a) Число 1M, т.к. для 1 теорема верна;
б) Пусть число nM, это значит для числа n теорема T верна.
Но тогда теорема T верна и для следующего за n числа, т.е. для n’. Следо-
вательно, n’M.
Итак, множество M обладает свойствами a) и б) аксиомы IV, т. е. содер-
жит все натуральные числа, M=N. Это значит, утверждение теоремы T верно
для всех натуральных чисел:
(nN) T(n)
Определение 2.
Если «b следует за a», то говорят, что «a предшествует b».
Согласно аксиоме I число 1 не имеет предшествующего числа
Число 1 – единственное число с таким свойством.
Теорема 2.
Любое число a ≠ 1 имеет предшествующее число и притом только одно.
Доказательство.
Пусть M – множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы одно
предшествующее число. Покажем, что M=N. Действительно, т.к.
а) 1M – по выбору M,
б) если aM, то a’M, т.к. a’ имеет предшествующее число a.
7
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
По аксиоме IV множество M содержит все натуральные числа (M = N).
Следовательно, любое число a ≠ 1 имеет по крайней мере одно предшест-
вующее число. А по аксиоме III таких чисел не более одного. Следовательно,
любое число, отличное от 1, имеет только одно предшествующее число.
Теорема 3.
Если числа, следующие за данными числами, различны, то и данные чис-
ла – различны, т.е.
a’ ≠ b’  a ≠ b
Доказательство:
По аксиоме II имеем: a = b  a’ = b’, что равносильно утверждению a’ ≠
b’  a ≠ b
Теорема 4.
Если данные числа различны, то и следующие за ними числа – различны,
т.е.
a ≠ b  a’ ≠ b’
Доказательство:
По аксиоме III имеем: a’ = b’  a = b, что равносильно утверждению: a ≠
b  a’ ≠ b’
Теорема 5.
(a) a ≠ a’
Пусть M – множество чисел, для которых теорема верна.
Имеем: а) По аксиоме I: 1’≠1, следовательно 1M
б) Если aM, то a’≠a
Значит (по теореме 4) имеем (’)’ ≠ ’, т.е. ’M. Тогда по аксиоме IV
множество M содержит все натуральные числа. Итак, ()  ≠ ’.

8
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
§2. Сложение натуральных чисел.
Определение 1.
Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с
каждой парой натуральных чисел a и b сопоставляет одно и только одно нату-
ральное число a + b, обладающее следующими свойствами:
1) a + 1= a’
2) a + b’= (a + b)’
Числа a и b называются слагаемые, а число a + b – суммой.
Теорема 1.
Сложение натуральных чисел существует и притом только одно, т.е. су-
ществует одно и только одно соответствие, сопоставляющее с любыми числами
a и b число a + b так, что
1) a + 1 = a’
2) a + b’ = (a + b)’
Иными словами: Сложение всегда выполнимо и однозначно.
Доказательство. 1. Покажем, что при данном a существует соответствие,
сопоставляющее с каждым b число a + b, обладающее свойствами:
1) a + 1 = a’
2) a + b’= (a + b)’
Пусть M – множество тех чисел a, для которых такое соответствие суще-
ствует. Покажем, что M = N.
а) При a = 1 и любом b полагаем, что a + b = b’.
Это соответствие обладает нужными свойствами, т.к.
a + 1 = 1’ = a’  a + 1 = a’
 + b’ = (b’)’ = (a + b)’  a + b’ = (a +b)’.
Значит, 1M.
9
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
б) Предположим, что a  M, т.е. число a + b определено и обладает свой-
ствами:
a + 1 = a’
a + b’= (a + b)’.
Докажем, что a’ M.
Числу a’ и числу b поставим в соответствие числа ’ ’ За-
метим, что это соответствие обладает нужными свойствами для a’, т.к.
a’+ 1 =(a + 1)’= (a’)’
a’+ b’ = (a + b’)’= ((a + b)’)’=(a’ + b)’.
Следовательно, число a’ M.
По аксиоме IV множество M содержит все натуральные числа, т.е. для
любого a существует соответствие, сопоставляющее с каждым b число a + b и
обладающее свойствами
a + 1 = a’
a + b’= (a + b)’
для данного a и для любого b.
Но число a является произвольным. Следовательно, доказано существо-
вание указанного выше соответствия.
2. Докажем, что при данном a существует не более чем одно соответст-
вие, сопоставляющее с каждым числом b число
x = a’+b, обладающая свойствами:
b
1) x = a’
1
2) x = (x )’
b’ b
Пусть y – любое число с теми же свойствами, т.е.
b
1) y = a’
1
2) y = (y )’.
b’ b
Убедимся, что x = y на всем множестве N.
b b
10