Multivariable Calculus, Applications and Theory

466 Pages·2011·8.17 MB·English

Multivariable Calculus, Applications and Theory
Kenneth Kuttler
August 19, 2011
2
Contents
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I Basic Linear Algebra 11
1 Fundamentals 13
1.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Algebra in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Geometric Meaning Of Vector Addition In R3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Distance in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Geometric Meaning Of Scalar Multiplication In R3 . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Matrices And Linear Transformations 29
2.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . 29
2.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 The ijth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.5 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.6 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Constructing The Matrix Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . 42
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Determinants 53
3.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . 59
3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3
4 CONTENTS
II Vectors In Rn 77
4 Vectors And Points In Rn 79
4.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1 Open And Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Physical Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Vector Products 91
5.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 The Geometric Significance Of The Dot Product . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 The Angle Between Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Work And Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3 The Parabolic Mirror, An Application . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.4 The Dot Product And Distance In Cn . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5.1 The Distributive Law For The Cross Product . . . . . . . . . . . 108
5.5.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5.3 Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.4 Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.5 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.6 Vector Identities And Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.8 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 Planes And Surfaces In Rn 123
6.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
III Vector Calculus 131
7 Vector Valued Functions 133
7.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1 Vector Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.1 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Properties Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.7 Some Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.7.1 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.7.2 The Extreme Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.7.3 Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7.4 Continuity And The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . 151
7.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
CONTENTS 5
8 Vector Valued Functions Of One Variable 153
8.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Variable . . . . . . . . . . 153
8.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2.1 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . 156
8.2.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.2.3 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.3 Product Rule For Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4 Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.6 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.7 Newton’s Laws Of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.7.1 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.7.2 Impulse And Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.8 Acceleration With Respect To Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . 172
8.8.1 The Coriolis Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.8.2 The Coriolis Acceleration On The Rotating Earth . . . . . . . . 174
8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.10 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.11 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.11.1 Arc Length And Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.11.2 Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.11.3 Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.13 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.14 Independence Of Parameterization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.14.1 Hard Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.14.2 Independence Of Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9 Motion On A Space Curve 197
9.0.3 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.1 Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.1.1 Some Simple Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.2 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10 Some Curvilinear Coordinate Systems 209
10.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.1.1 Graphs In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.2 The Area In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.5 The Acceleration In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.6 Planetary Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.6.1 The Equal Area Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.6.2 Inverse Square Law Motion, Kepler’s First Law . . . . . . . . . . 219
10.6.3 Kepler’s Third Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.8 Spherical And Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.10 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 CONTENTS
IV Vector Calculus In Many Variables 229
11 Functions Of Many Variables 231
11.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1 The Graph Of A Function Of Two Variables. . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 Review Of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11.3 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . 234
11.3.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.3.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.4 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.5 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
12 The Derivative Of A Function Of Many Variables 243
12.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.1 The Derivative Of Functions Of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.2 The Derivative Of Functions Of Many Variables. . . . . . . . . . . . . . 245
12.3 C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.3.1 Approximation With A Tangent Plane . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.4 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
12.4.1 The Chain Rule For Functions Of One Variable . . . . . . . . . . 252
12.4.2 The Chain Rule For Functions Of Many Variables . . . . . . . . 252
12.4.3 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.4.4 The Derivative Of The Inverse Function . . . . . . . . . . . . . . 258
12.4.5 Acceleration In Spherical Coordinates∗ . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.4.6 Proof Of The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
12.5 Lagrangian Mechanics∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.6 Newton’s Method∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.6.1 The Newton Raphson Method In One Dimension . . . . . . . . . 268
12.6.2 Newton’s Method For Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . 269
12.7 Convergence Questions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.7.1 A Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.7.2 The Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.7.3 A Method For Finding Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.7.4 Newton’s Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
13 The Gradient And Optimization 281
13.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.1 Fundamental Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.2 Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
13.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.4 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
13.5 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
13.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.7 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.9 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
13.10Proof Of The Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
CONTENTS 7
14 The Riemann Integral On Rn 309
14.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.1 Methods For Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.1.1 Density And Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.3 Methods For Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
14.3.1 Definition Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
14.3.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
14.3.3 Mass And Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
14.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
15 The Integral In Other Coordinates 331
15.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15.1 Different Coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15.1.1 Two Dimensional Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
15.1.2 Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
15.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
15.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
15.4 The Moment Of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
15.4.1 The Spinning Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
15.4.2 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
15.4.3 Finding The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . 352
15.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
16 The Integral On Two Dimensional Surfaces In R3 357
16.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
16.1 The Two Dimensional Area In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
16.1.1 Surfaces Of The Form z =f(x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
16.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
16.3 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
17 Calculus Of Vector Fields 369
17.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
17.1 Divergence And Curl Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
17.1.1 Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
17.1.2 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
17.1.3 The Weak Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
17.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
17.3 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
17.3.1 Coordinate Free Concept Of Divergence . . . . . . . . . . . . . . 377
17.4 Some Applications Of The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . 378
17.4.1 Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
17.4.2 Archimedes Law Of Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
17.4.3 Equations Of Heat And Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
17.4.4 Balance Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
17.4.5 Balance Of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
17.4.6 Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
17.4.7 Bernoulli’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
17.4.8 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
17.4.9 A Negative Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
17.4.10Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
17.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8 CONTENTS
18 Stokes And Green’s Theorems 393
18.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
18.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
18.2 Stoke’s Theorem From Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
18.2.1 The Normal And The Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
18.2.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
18.2.3 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
18.2.4 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
18.2.5 Maxwell’s Equations And The Wave Equation . . . . . . . . . . 406
18.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
A The Mathematical Theory Of Determinants∗ 411
A.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
n
A.2 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
A.2.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
A.2.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
A.2.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
A.2.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . 415
A.2.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . . 416
A.2.6 The Determinant Of A Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
A.2.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A.2.8 Formula For The Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
A.2.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A.2.10 Upper Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A.2.11 The Determinant Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.2.12 Telling Whether A Is One To One Or Onto . . . . . . . . . . . . 422
A.2.13 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
A.2.14 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
A.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
B Implicit Function Theorem∗ 429
B.1 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
B.2 The Local Structure Of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
C The Theory Of The Riemann Integral∗ 437
C.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
C.2 Which Functions Are Integrable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
C.3 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
C.4 The Change Of Variables Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
C.5 Some Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Copyright (cid:176)c 2004
0.1 Introduction
Multivariable calculus is just calculus which involves more than one variable. To do it
properly,youhavetousesomelinearalgebra. Otherwiseitisimpossibletounderstand.
This book presents the necessary linear algebra and then uses it as a framework upon
which to build multivariable calculus. This is not the usual approach in beginning
courses but it is the correct approach, leaving open the possibility that at least some
students will learn and understand the topics presented. For example, the derivative of
afunctionofmanyvariablesisalineartransformation. Ifyoudon’tknowwhatalinear
transformation is, then you can’t understand the derivative because that is what it is
0.1. INTRODUCTION 9
and nothing else can be correctly substituted for it. The chain rule is best understood
in terms of products of matrices which represent the various derivatives. The concepts
involving multiple integrals involve determinants. The understandable version of the
second derivative test uses eigenvalues, etc.
Thepurposeofthisbookistopresentthissubjectinawaywhichcanbeunderstood
by a motivated student. Because of the inherent difficulty, any treatment which is easy
forthemajorityofstudentswillnotyieldacorrectunderstanding. However,theattempt
is being made to make it as easy as possible.
Many applications are presented. Some of these are very difficult but worthwhile.
Hard sections are starred in the table of contents. Most of these sections are en-
richment material and can be omitted if one desires nothing more than what is usually
doneinastandardcalculusclass. Stunninglydifficultsectionshavingsubstantialmath-
ematical content are also decorated with a picture of a battle between a dragon slayer
and a dragon, the outcome of the contest uncertain. These sections are for fearless
students who want to understand the subject more than they want to preserve their
egos. Sometimes the dragon wins.
10 CONTENTS