Table Of Content

УДК 624.04 + 69.04 РАСЧЕТ ПРОСТОГО НАХЛЕСТОЧНОГО СОЕДИНЕНИЯ ПЛАСТИН В MSC PATRAN-NASTRAN В. А. Жилкин В данной статье приводится обзор принципиальных аналитических работ по созданию моделей кле- евых соединений пластин внахлестку. Следуя основополагающим решениям этой задачи, выводятся ана- литические зависимости для нормальных и касательных напряжений в клеевом слое. Предполагается, что нормальные и касательные напряжения постоянны по толщине клеевого слоя и что материалы клеевого соединения работают упруго. Полученные на их основе распределения напряжений сравниваются с числен- ным решением, выполненным в программном продукте MSC Patran-Nastran, в котором клеевое соединение моделируется либо балочными элементами (Beam), либо двумерными элементами (2D Solid). Показано, что при моделировании клеевого соединения балочными элементами в сечениях листов, примыкающих к склей- ке, получаются те же величины внутренних силовых факторов, что и при вычислении по предлагаемым ана- литическим зависимостям. Численное моделирование клеевого соединения в рамках плоской задачи теории упругости показало, что предложенные аналитические зависимости для определения напряжений в клеевом слое удовлетворительно описывают величины напряжений на уровне середины клеевого слоя. Ключевые слова: клеевое соединение, пластины средней толщины, соединение внахлестку, аналити- ческие модели распределения, нормальные и касательные напряжения, численное моделирование клеевого соединения, MSC Patran-Nastran. 1. Историческая справка. Клеевые швы предназначены для передачи Вывод основополагающих уравнений сдвигающей нагрузки. В 30-х годах прошлого Успехи современной химии, предоста- столетия экспериментально было установлено, вившей в распоряжение конструктора и техно- что в клеевом слое кроме касательных возни- лога синтетические универсальные и специаль- кают и нормальные (отдирающие) напряжения ные клеи, способные сравнительно прочно сце- [1–3], которым клеевые швы, как правило, со- пляться с разнородными материалами, сделали противляются плохо. Для большинства клеевых склеивание одним из самых надежн ых, а в ряде соединений материалы склеиваемых деталей случаев и единственным практически прием- при эксплуатационных нагрузках и условиях лемым методом соединения неметаллических окружающей среды ведут себя линейно упруго, материалов с металлами. Клеевые соединения в то время как клей может проявлять вязкоупру- нашли широкое применение в строительстве, гие или нелинейные свойства. Конструктору, электротехнической промышленности, в авто- проектирующему клеевое соединение, требу- мобилестроении, судостроении, авиационной ются знания о распределении напряжений вдоль и ракетно-космической технике. клеевого слоя. Однако до настоящего времени 20 точного аналитического решения геометриче- лами, склеенные наконечники копий и наконеч- ски и физически нелинейной задачи о распреде- ники, приклеенные к рукояткам [1]. Но только лении напряжений в клеевом слое не существу- к началу XX века (1915 г.) началось промыш- ет. Существующие приближенные аналитиче- ленное использование клеев на основе альбуми- ские модели клеевого соединения базируются нов крови для склеивания древесины в авиаци- на тех или иных упрощающих предположениях онных и судостроительных конструкциях. в отношении моделирования клея и склеивае- Клей для соединения металла с древеси- мых деталей. Поэтому наряду с приближенны- ной в ответственных местах конструкции са- ми аналитическими методами решения задачи молета, пожалуй, впервые был использован о склейках выполнялись экспериментальные в 1944 г. английской фирмой де Хэвилленд работы, оценивающие степень приближения в одноместном истребителе «Хорист» [2]. Эле- величин напряжений, вычисленных по предла- менты крыла, находящиеся в растянутой зоне, гаемым зависимостям, к реальному распределе- были изготовлены из алюминиевого сплава, нию напряжений в клеевом слое. Обзоры работ, а элементы, испытывающие в полете сжима- посвященных расчету распределения напряже- ющие напряжения, – из древесины. Именно ний в клеевых соединениях, приве дены в [2, 3, к этому моменту времени относятся основные 8, 19, 28–30]. Пытаясь подобрать физические работы по расчету клеевых соединений пла- и геометрические параметры клея и склеивае- стин внахлестку. Многочисленные испытания мых пластин, обеспечивающих необходимую показали, что напряжения в клеевом слое рас- прочность соединений, а в авиации еще и наи- пределены неравномерно и что разрушение на- меньший вес, исследователи совершенство- чинается у края нахлестки [9]. вали как аналитические модели соединений Используя балочное приближение полу- [9–17, 24–28], так и экспериментальные методы чим основополагающие аналитические зависи- [15, 21, 22]. Как показал анализ литературных мости для определения нормальных и касатель- источников [28–35], научно-исследовательские ных напряжений в клеевом слое для жестких работы в этом направлении не прекратились до и гибких соединений внахлестку. настоящего времени. Наибольшее число работ, Предположим, что склеенные пластины начиная с 30-х годов прошлого века, посвящено изгибаются по цилиндрической поверхности расчету соединений внахлестку [9–35]. с образующими параллельными оси y. Геоме- Склеивание было изв естно еще до того, как трия простого нахлесточного соединения и по- человек смог записать свою историю. В захоро- ложительные направления внутренних силовых нениях, относящихся к 4000 г до н.э., обнаруже- факторов и напряжений в клеевом слое приве- ны кувшины и сосуды с клеем и клейкими смо- дены на рисунке 1. Рис. 1 21 В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69 В соответствии с гипотезами, принимае- Выражения для определения величин на- мыми для пластин средней толщины, уравне- пряжений, вызванных растяжением пластин ния закона Гука запишутся так: и их поперечным изгибом, 1 ( ) 1 ( ) N M ε = ⋅ σ −µσ ; ε = ⋅ σ −µσ . (1) σ = x ; σ = x z, (3) x E x y y E y x x F x J x y Здесь ε , ε – относительные деформации ничем не отличаются от напряжений в балке x y в направлении координатных осей x и y; таких же размеров, так как модуль упругости σ , σ – нормальные напряжения; сюда не входит; F – площадь поперечного сече- x y x Е – модуль упругости материала; ния полоски единичной ширины; M – изгибаю- x μ – коэффициент Пуассона. щий момент в сечении балки-полоски единич- Выделим из клеевого соединения двумя ной ширины; J – момент инерции поперечного y вертикальными плоскостями, параллельными сечения балки относительно оси y. плоскости xoz, полоску шириной в единицу Поэтому безразлично, какой теорией поль- длины, например, равной 1 см. Полоска будет зоваться при выводе соотношений для напряже- находиться в условиях плоской деформации, ний в клеевом слое: балочной или теорией пла- так как вследствие связи с соседними полоска- стин, только не надо забывать о существовании ми она не сможет деформироваться в направле- соотношения (2). нии оси y. Таким образом, удлинение волокон При растяжении клеевого соединения внах- в направлении оси y будет равно нулю: лестку оно изгибается (рис. 2). Длительное вре- мя изгиб в расчет не принимался. 1 ( ) ε =0= σ −µσ , Впервые в упрощенной постановке задача y E y x об определении распределения касательных на- откуда пряжений в клеевом слое для жестких соеди- нений внахлестку была решена Фолькерсеном σ =µσ , в 1938 году [10]. Он предполагал, что y x • склеиваемые элементы работают лишь что повлечет за собой на растяжение, • в клеевом слое создаются только каса- ε = 1 (σ −µσ )= 1 (σ −µ2σ )=1−µ2 σ . тельные напряжения τ , не превышающие пре- x E x y E x x E x xz дела упругости, Зависимость между напряжениями σ • деформация сдвига в клеевом слое γ x xz и деформациями ε имеет тот же вид, что и для постоянна по толщине клеевого слоя t и опре- x простой балки в элементарной теории сопротив- деляется только взаимными перемещениями ления материалов, но только обычный модуль точек, лежащих в одном сечении клеевого слоя упругости должен быть заменен величиной и относящихся к противоположным границам клей – конструкция (рис. 1): E u −u E = . (2) γ = H B , (4) 1 1−µ2 xz t Рис. 2 22 где u , u – перемещения граничных точек для H B d2τ G dN E F dN  нижнего и верхнего листов соответственно в на- xz = k  H − H H B = правлении оси x (рис. 1). dx2 E F t dx E F dx  H H B B Выведем формулу Фолькерсена, предпола- G  E F  гая, что листы в клеевом соединении испытыва- = k 1+ H H τ. ют только растяжение. EHFHt EBFB  Вырежем малый элемент клеевого соеди- Вводя обозначение нения в зоне склейки (рис. 3), из условия равно- G  E F  весия которого: ΣX =0, следует α2 = k 1+ H H , (7) E F t E F  H H B B dN dN B +τ =0; H −τ =0. (5) получим дифференциальное уравнение для ка- dx xz dx xz сательного напряжения τ : xz В соответствии с законом Гука для каса- d2τ тельных напряжений xz −α2τ =0, (8) dx2 xz u −u τ =G γ =G Н В . решение которого xz k xz k t Откуда τ =Ach(αx)+Bsh(αx), (9) xz dτ G du du  где A, B – постоянные интегрирования, опреде- xz == k H − B =   dx t  dx dx  ляемые из граничных условий задачи (см. урав- нение (6)): G G  N N  = tk (εH −εB)= tk EHFHH − EBFBB , (6) при x=−c dτxz = Gk 0− NB = где ε , ε – относительные деформации в се- dx x=−c t  EBFB  H B чении x; =−Aαsh(αc)+Bαch(αc); N , N нормальные силы; H B E F , E F – жесткости поперечных се- H H B B dτ G  N  чений для нижнего и верхнего листов соответ- при x=c xz = k  H −0= ственно в направлении оси x. dx x=c t EHFH  Вычислим вторую производную от выра- = Aαsh(αc)+Bαch(αc), жения (6) и учтем уравнения равновесия (5) откуда G P 1  1 1  P αc A= k  + = , 2t αsh(αc)E F E F  2csh(αc) H H B B G P 1  1 1  B = k  − = 2t αch(αc)E F E F  H H B B P αc 1−ψ E F = , ψ = H H . 2c ch(αc)1+ψ E F B B Итак, касательные напряжения в клеевом слое по Фолькерсену распределяются по закону P ch(αx) 1−ψ sh(αx) τΦ = αc + . (10) xz 2c sh(αc) 1+ψ ch(αc) Полученное выражение не противоречит аналогичным соотношениям, приведенным в ра- ботах [10, 33]. Если жесткости поперечных сечений ли- стов одинаковы, то второе слагаемое в выраже- Рис. 3 нии (12) пропадает и касательные напряжения 23 В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69 в клеевом слое распределяются по закону ги- du N M h du N M h перболического косинуса. Максимальные каса- B = B + B ; H = H − H , (14) dx R D 2 dx R D 2 тельные напряжения возникают вблизи конца нахлестки и равны: где R = Eh – жесткость поперечного сечения бал- τΦ = Pα ch(αc) = P cα =τΦ ⋅k, (11) ки полосEкиh3 п(р1и− еµе2 р)астяжении; xz_max 2 sh(αc) 2c th(αc) xz_cp D= – жесткость поперечного 12 P сечения балки полоски при ее изгибе. где τΦ = – средние напряжения в клеевом xz_cp 2c Преобразуем выражение (6), подставив слое; в него зависимости (14): cα k = – коэффициент концентрации ка- th(αc) dτxz = Gk duH −duB =   сательных напряжений, который при cα>3 изме- dx t  dx dx  няется по линейному закону, так как th(αc)1. G N M h N M h Теория Фолькерсена довольно точно опи- = k  H − H − B + B . (15) сывает распределение напряжений сдвига для t  R D 2  R D 2 соединения с двусторонними накладками, так Возьмем производную от уравнения (15): как в этом случае влияние изгиба мало. Изгиб соединения внахлестку впервые был d2τ G 1dN dN  xz = k H − B −    учтен в работе Голанда и Рейсснера [11]. Полу- dx2 t R dx dx  ченные результаты свидетельствуют о наличии h dM dM  зна чительных нормальных напряжений на кон- −  H + B . (16) цах соединения, в несколько раз превышающие 2D dx dx  растягивающие напряжения. Максимальные Подставим в уравнение (16) выражения (5) касательные напряжения наблюдаются вблизи и (12) для производных от внутренних силовых конца нахлестки и имеют тот же порядок, что факторов: и растягив ающие напряжения. Оба напряжения d2τ G 2τ h практически исчезают на расстоянии порядка dx2xz = tk  Rxz −2D(QH +QB − толщины пластины от края. Полученные зависи- мости для отрывающих и касательных напряже- h+t G   1 −2τ  = k 2τ  + ний в клеевом слое применимы для случая рас- xz 2  t  xzR тяжения одинаковых, склеиваемых внахлестку h h+t h  мдлаят емраитаелроива лроаввн роайзл тиочлнщоийн жые. сОткноис нтиеп ирлиим делняи мнаы- +2D 2 −2D(QH +QB). (17) хлесточных соединений, находящихся под внеш- Возьмем еще раз производную от выраже- ней изгибающей нагрузкой. Работа [11] является ния (17). Получим основополагающей в теории клеевых соедине- d3τ 2G  1 h h+tdτ ний, предпосылки которой были использованы xz = k  +   xz . dx3 t R 2D 2  dx в дальнейшем другими исследователями. Получим эти зависимости. Здесь учтено, что на основании уравнений Из условий равновесия малого элемента: равновесия (13): ΣM =0, ΣZ =0, следует (рис. 3): dQ dQ H + B =0. dM h+t dx dx B −Q +τ  =0; dx B xz 2  Введем обозначение: dM h+t 2G  1 h h+t H −Q +τ  =0; (12) β2 = k  +  , (18) dx H xz 2  t R 2D 2  Дифференциальное уравнение для опре- dQ dQ B +σ =0; H −σ =0. (13) деления касательного (сдвигового) напряжения dx z dx z τ в клеевом слое примет вид: xz Деформации пластин на уровне клеевого d3τ dτ слоя, вызванные растяжением и изгибом пла- xz −β2 xz =0, dx3 dx стин, определяются зависимостями: 24 решением которого будет выражение: d2w M d2w M H =− H ; B =− B τ =Cch(βx)+C sh(βx)+C . (19) dx2 DH dx2 DB xz 1 2 3 и что для рассматриваемого случая D =D =D, H B Постоянные интегрирования C (i =1,2,3) получим i найдем из граничных условий: d2σ E d2w d2w  dτ −G N M h z = k  H − B = при x=−c xz = k  0 + 0 = dx2 t  dx2 dx2  dx t  R D 2 x=−c E  M M  E =−Cβsh(βc)+C βch(βc); = k − H +− B = k (M −M ). (22) 1 2 t  D D  tD B H H B Беря производную от полученного соотно- dτ G N M h при x=c xz = k  0 − 0 = шения еще раз и учитывая уравнения равнове- dx t  R D 2 x=c сия (12), найдем: =Cβsh(βc)+C βch(βc); 1 2 d3σ E dM dM  E z = k  B − H = k (Q −Q ). (23) dx3 tD dx dx  tD B H c 2C ∫τ (ξ)dξ= 1sh(βc)+2cC = N . Для исключения поперечных сил Q и Q xz β 3 0 B H −c запишем выражение четвертой производной от Решая систему трех уравнений с трема не- нормального напряжения σ и воспользуемся z известными, найдем уравнениями равновесия (13): G N  M Rh 1 d4σ E dQ dQ  2E C = k 0 1+ 0  ; C =0; z = k  B − H =− k σ . 1 Rt  2DN βsh(βc) 2 dx4 tD dx dx  tD z 0 N sh(βc) Вводя обозначение C = 0 −C . 3 2c 1 βc 4α4 = 2Ek , (24) tD Итак, касательные напряжения по Голанду и Рейсснеру определяются зависимостью: приходим к хорошо известному в механике диф- ференциальному уравнению [36–38]: G N  M Rh τ (x)= k 0 1+ 0 × xz Rt  2DN  σIV +4α4σ =0, (25) 0 z z  ch(βx) 1  N × − + 0. (20) общий интеграл которого можно выразить че- βsh(βc) β2c 2c рез функции Пузыревского V (i =0,1,2,3): i Для определения нормальных (отрываю- σ (x)= K V (αx)+KV (αx)+ щих) напряжений в клеевом слое воспользуем- z 0 0 1 1 ся второй гипотезой, что относительная дефор- +K V (αx)+K V (αx), 2 2 3 3 мация ε в клеевом слое постоянна и определя- z ется зависимостью где K (i =0,1,2,3) – постоянные интегриро- i вания; w −w ε = H B , (21) z t V (αx)=ch(αx)cos(αx); 0 где w , w – перемещения граничных точек H B для нижнего и верхнего листов соответственно V (αx)= 1 (ch(αx)sin(αx)+sh(αx)cos(αx)); в направлении оси z (рис. 1). 1 2 Возьмем вторую производную от закона Гука для материала клея: V (αx)=sh(αx)sin(αx); 2 w −w σ = E ε = E H B z k z k t V (αx)= 1 (ch(αx)sin(αx)−sh(αx)cos(αx)). 3 2 и учитывая, что кривизны пластин в направ- лении оси x для листов клеевого соединения Функции Пузыревского при дифференциро- равны вании по переменной x переходят одна в другую: 25 В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69 V′(αx)=− 2αV (αx) V′′(αx)=−2α2V (αx) V′′′(αx)=−2 2α3V (αx) 0 3 0 2 0 1 V′(αx)= 2αV (αx) V′′(αx)=−2α2V (αx) V′′(′αx)=−2 2α3V (αx) 1 0 1 3 1 2 V′(αx)= 2αV (αx) V′′(αx)=2α2V (αx) V′′′(αx)=−2 2α3V (αx) 2 1 2 0 2 3 V′(αx)= 2αV (αx) V′′(αx)=2α2V (αx) V′′′(αx)=2 2α3V (αx) 3 2 3 1 3 0 Постоянные интегрирования K определя- а в зоне склейки – i ем из граничных условий задачи (см. выраже-  h ния (22) и (23)): M(s)= Pcos(ω)(L+s)tg(ω)−w − ,  2 2 d2σ d2σ E = = k M ; (0≤s≤2c). (28) dx2 dx2 tD 0 x=−c x=c Учитывая малость угла ω (из треугольни- h+t d3σ d3σ E ка Obc tgω= , tg(ω)ω, cos(ω)1) =− = k Q . 1 2(L+c) dx3 dx3 tD 0 x=−c x=c и что кривизны листов в направлении осей x и s d2w M(x) d2w M(s) Откуда 1 =− ; 2 =− , dx2 D ds2 8D ( ) E QV − 2αM V получим два дифференциальных уравнения для k 0 0 0 3 K = ; K =0; определения прогибов w и w : 0 Dα3t(sh(2αc)+sin(2αc)) 1 1 2 P w′′−λ2w =− xω, ( ) 1 1 1 D E QV + 2αM V K2 = Dα3tk(sh0(22αc)+sin(02α1 c)); K3 =0. w2′′−λ22w2 =−8PD(L+s)ω−h2, решением которых являются функции Итак, нормальные напряжения σ в клее- z вом слое изменяются по закону w (x)= Ach(λ x)+Bsh(λ x)+xω, 1 1 1 1 1 σ (x)= K V (αx)+K V (αx). (26) (0≤ x≤ L), (29) z 0 0 2 2 h Найдем формулы для определения вну- w (s)= A ch(λ s)+B sh(λ s)+(s+L)ω− , 2 2 2 2 2 2 тренних силовых факторов Q и M . 0 0 Изгибающий момент в верхнем листе до (0≤s≤2c). (30) склейки (рис. 1, 2 и 4) определяется выражением P P Eh3 M(x)= Pcos(ω)(xtg(ω)−w ),(0≤ x≤ L), (27) здесь λ = , λ = , D= . 1 1 D 2 8D 12(1−µ2) Рис. 4 26 Из граничных условий В работе [12] на основе теории слоистых при x=0 w =0; балок, которая, в частности, была впервые раз- 1 работана Ржаницыным в 1938 г. [38], получены dw dw при x= L и s =0 w =w , 1 = 2 ; формулы, подобные формулам Голанда и Рейсс- 1 2 dx ds нера и приведен подробный анализ напряжений при s =c w =0 в нахлестке. Экспериментальное исследование 2 клеевых соединений на фотоупругих моделях найдем коэффициенты A , B выражений (29) выполнено в 1960 году [15], а на реальных мо- i i и (30). Нас же интересуют только коэффициен- делях из фанеры с помощью метода фотоупру- ты A , B . гих покрытий в 1974–75 гг. [22–23]. Подробное 1 1 численное исследование распределения напря- A =0, жений в упругом клеевом слое с помощью ЭВМ 1 λ {2(L+c)ω−h1−ch(cλ )} проведено в 1964 году [16]. В исследованиях 2 2 B =− . (31) Харт-Смита [21] клеевой слой наделялся иде- 1 λ ch(λ L)sh(cλ )+ 1 1 2 альными упруго-пластическими свойствами. 2  +λ sh(Lλ )ch(cλ ) В работе [25] представлены результаты анали- 2 1 2 тического исследования влияния толщины кле- Подставляя (31) в (29) определим прогиб евого слоя на распределение напряжений в на- срединной поверхности верхнего листа: хлесточном соединении. В последующих исследованиях уточня- w (x)= Bsh(λ x)+xω, (0≤ x≤ L). (32) лись приближенные аналитические модели 1 1 1 и делались попытки путем численных иссле- Дважды и трижды дифференцируя зависи- дований с помощью современных ЭВМ уточ- мость (32) найдем параметры M и Q , входящие нить коэффициенты концентрации напряже- 0 0 в выражения для коэффициентов K и K : ний у концов склейки и определить допуска- 0 2 емые нагрузки на клеевое соединение, напри- 1 d2w(x) 1 d3w (x) M =− 1 , Q =− 1 . (33) мер, [32–35]. Однако такие попытки, по мне- 0 D dx2 0 D dx3 x=L x=L нию автора этой статьи, лишены смысла, ибо Итак, при принятых предположениях каса- никогда в точности не известны характери- тельные напряжения в клеевом слое распределя- стики клеевого слоя, кроме того, при выводе ются в соответствии с зависимостью (20), а нор- зависимостей для напряжений в клеевом слое мальные напряжения – с зависимостью (26). использовано балочное приближение, а по- В качестве примера предположим, что тому оно всегда будет отличаться от решения P = 100 H, E = 110 000 Н/мм2, μ = 0,3, Е = теорий упругости и пластичности. К получен- к = 17 900 Р/мм2, μ = 0,19, L = 60 мм, h = 1,5 мм, ным соотношениям надо относиться так же, к t = 0,15 мм. как к зависимостям σ= P F и σ =M W из max На рисунке 5 представлены графики нор- курса «Сопротивление материалов», которые мальных и касательных напряжений в клеевом несмотря на их приближенность никто не от- слое для принятых параметров клеевого соеди- менял и которые позволяют оценивать уро- нения. вень напряжений в брусе. Рис. 5 27 В е с т н и к ЧГАА. 2014. Том 69 2. Исследование напряженного состояния пластины правый конец нижней пластины при- клеевого слоя в нахлесточном соединении соединялся к основанию с помощью пластины металлических пластин из низкомодульного материала (Е = 20 Н/мм2, Пусть требуется исследовать напряженно- μ = 0,45), что позволяло нахлестке, не изменяя деформированное состояние нахлесточного со- напряженного состояния склейки, поворачи- единения, рассмотренного в примере раздела 1, ваться на угол ω. в программном продукте MSC Patran-Nastran. Внешний вид конечно-элементной модели Все конечно-элементные программные про- соединения приведен на рисунке 6, а деформи- дукты позволяют использовать более точные рованное состояние – на рисунке 7, на котором модели клеевого соединения, по сравнению указана величина максимальных нормальных с моделью Голанда и Рейсснера. При этом могут напряжений σ =251,5 Н/мм2 в верхнем во- z_max быть учтены различные физико-механические локне балки и максимальное перемещение то- характеристики материалов как листов, так чек срединной поверхности пластин 0,68 мм. и клея. В данной работе рассматривается упру- В приложении MMSSCC PPaattrraann--NNaassttrraann ��rreeee-- гое поведение материалов соединения. body определяем величину внутренних силовых факторов M и Q . На рисунке 8 приведен конеч- 0 0 Использование одномерных элементов (1D) ный элемент верхней пластины, расположенный Одномерные элементы позволяют иссле- в конце отрезка x = L и приложенные к нему век- довать деформированное состояние соедине- тора нормальной силы N и изгибающего момен- 0 ния и установить приближенное значение па- та M . В таблице приведены проекции векторов 0 раметров M и Q , входящих в формулу (26). внутренних силовых факторов на координатные 0 0 Предположим, что используется жесткий клей оси для обоих торцов элемента. и что соединение не разрушается под действи- Вычисляя M и Q по формулам (32), полу- 0 0 ем заданной нагрузки. Смоделируем клеевое чим: M = 64,875 Нмм; Q = 3,529 Н, порядок 0 0 соединение тремя балками со смещенными этих величин, выводимых МКЭ M = 69,03 Нмм; 0 на половину толщины листа упругими линия- Q = 1,5 Н, тот же. 0 ми, которые соединим жесткими элементами (MPC Type: RBar1). Для сечений средней балки Использование двумерных элементов (2D) назначим высоту 2h. Так как при приложении Учитывая решение Рейсснера конечно- растягивающих усилий к нахлесточному соеди- элементная сетка должна быть переменного нению оно как жесткое целое поворачивается шага, максимальное сгущение сетки должно на угол ω, то при создании граничных условий быть в начале и в конце нахлестки. Для того кроме закрепления от перемещений крайних чтобы обеспечить плавный переход размеров левых точек срединной поверхности верхней ячеек сетки от малых величин к большим, Рис. 6 Рис. 7 28 листы склейки создавались из четырех пла- На рисунке 9 приведена картина изополей стин: 30×1,5 мм2; 20×1,5 мм2; 10×1,5 мм2; касательных напряжений τ , а на рисунке 10 – xz 10×1,5 мм2. Клеевой слой моделировался тре- картина изополей, отрывающих нормальных мя слоями конечных элементов. Минимальный напряжений σ , в зоне левого торца склейки. z размер конечно-элементной ячейки в клеевом Эпюры напряжений τ и σ в клеевом xz z слое составил 0,05 мм. слое приведены на рисунке 11. Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 29