MP33/M331 Algèbre linéaire USTV - Gloria FACCANONI

140 Pages·2014·1.3 MB·French

MP33/M331
Algèbre linéaire
s
e Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire.
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I
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e P Gloria Faccanoni
c
n 2
e L
ci i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html
S
e
c
n
e
c
Année 2013 – 2014
i
L
Dernière mise-à-jour : Lundi 20 janvier 2014
Table des matières
3
1 Matrices
21
2 Systèmes linéaires
47
3 Espaces vectoriels
91
4 Applications linéaires
USTV
Attention,cepolycopiéestencoreencoursdedéveloppement,nevousétonnezpassivousdécouvrezdeserreurs.
Merci de me les communiquer.
algèbrelinéaire
Àquoisertl’ ?Malheureusement,iln’yapasderéponsesimpleauniveauLicence:eneffet,laplupart
des problèmes pour lesquels on va utiliser l’algèbre linéaire peuvent aussi se résoudre de manière élémentaire, la
plupart du temps en résolvant un système linéaire et ceci peut donner l’impression qu’on remplace des calculs
fastidieux mais simples par des arguments et des concepts très compliqués, très abstraits. On peut quand même
déjà sentir l’intérêt de l’algèbre linéaire : celle-ci permet d’unifier des problèmes et des situations à priori très
différentes, en donnant un cadre général dans lequel ces problèmes vont avoir le même aspect. Une telle démarche
R3
est fondamentale dans les mathématiques. Par exemple, on remarque que l’on sait additionner deux vecteurs de ,
oudeuxfonctions,oudeuxpolynômes...etqu’onsaitaussimultiplierchacundecesobjetspardesréels.Puisqueces
objets (différents) peuvent subir le même type d’opération, ayant les mêmes propriétés formelles, les raisonnements
ou les concepts qui utilisent uniquement ces opérations vont être valables dans chacun des trois cadres cités. Par
R3
exemple,lesnotionsdedroite,deplan,derepère(ondirabase),quel’onconnaitdéjàdans ,vontaussiêtrevalables
R3
pourdesespacesdefonctionsoudepolynômes!Lapropriétéquiditque«dans ,deuxplansonttoujoursunedroite
3
en commun» deviendra ainsi «dans tout espace vectoriel de dimension , deux sous-espaces vectoriel de dimension
2 1
ont toujours un sous-espaces de dimension en commun» et sera vraie quelle que soit la nature des éléments de
l’espacevectoriel(fonctions,polynômesouautresetonpourrad’ailleurslagénéraliseràdesdimensionssupérieures).
Même si ce cours n’en donne qu’un tout petit aperçu, la quantité de situations qui peuvent être modélisées par
l’algèbre linéaire est immense, et va de questions purement mathématiques jusqu’à des problèmes très concrets
d’écologie (dynamique des populations), de météorologie, d’économie, de physique...
Gloria Faccanoni
T
IMATH Bâtiment U-318 0033 (0)4 94142381
Université du Sud Toulon-Var
B [email protected]
Avenue de l’université
i http://faccanoni.univ-tln.fr
83957 LA GARDE - FRANCE
1
Matrices
Définition Matrice
m × n m × n K m n
On appelle matrice (ou d’ordre ) à coefficients dans tout tableau de lignes et colonnes
K m×n K M (K)
d’éléments de . L’ensemble des matrices à coefficients dans est noté m,n .
m=n n K
Si on dit qu’on a une matrice carrée. L’ensemble des matrices carrées d’ordre à coefficients dans est
M (K)
noté n .
m×1 1×n
Une matrice est appelée vecteur-colonne et une matrice est appelée vecteur-ligne.
a i j 1≤i≤m 1≤j ≤n
Onconvientdenoter ij l’élémentdelamatricesituésurla -èmeligneet -èmecolonne( et ).
A
Une matrice est représentée entre deux parenthèses ou deux crochets :
   
a ... a ... a a ... a ... a
11 1j 1n 11 1j 1n
 . . .   . . . 
 .. .. ..   .. .. .. 
A=ai1 ... aij ... ain ou A=ai1 ... aij ... ain
   
 . . .   . . . 
 .. .. ..   .. .. .. 
a ... a ... a a ... a ... a
m1 mj mn m1 mj mn
ou encore
A=(a ) A=[a ]
ij 1≤i≤m ou ij 1≤i≤m
1≤j≤n 1≤j≤n
Nous travaillerons avec K=R, Q ou Z.
Exemple
Lamatrice  
−1 4 2
A= 0 1 −3
4 1 5
3
estcarréeetd’ordre .
Définition Addition de matrices
A=(a ) B=(b ) m×n
Si ij 1≤i≤m et ij 1≤i≤m sont deux matrices , on définit l’addition des matrices par
1≤j≤n 1≤j≤n
A+B=(a +b ) .
ij ij 1≤i≤m
1≤j≤n
O
La matrice nulle, notée m,n, est la matrice dont tous les éléments sont nuls.
3
1 Matrices Lundi 20 janvier 2014
A −A A=(a ) −A=(−a )
La matrice opposée d’une matrice est notée . Si ij 1≤i≤m alors ij 1≤i≤m.
1≤j≤n 1≤j≤n
Exemple
Soientlesmatrices (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
3 4 2 6 1 9
A= , B= .
1 3 5 2 0 3
Onobtient (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
3+6 4+1 2+9 9 5 11
A+B= = .
1+2 3+0 5+3 3 3 8
Attention
La somme de deux matrices d’ordres différents n’est pas définie.
Propriété
A B C
Si , et sont des matrices de même ordre, alors nous avons
(cid:66) A+B=B+A
(commutativité),
(cid:66) A+(B+C)=(A+B)+C
(associativité).
Exemple
Soientlesmatrices (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 −1 6 −5 0 2
A= , B= , C= .
3 0 2 1 2 4
Onaalors
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1+6 −1−5 7 −6 6+1 −5−1 7 −6 6+0 −5+2 6 −3
A+B= = , B+A= = , B+C= = .
3+2 0+1 5 1 2+3 1+0 5 1 2+2 1+4 4 5
Deplus,
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
7 −4 7 −4
(A+B)+C= , A+(B+C)= .
7 5 7 5
Définition
D = (d ) i 6= j =⇒ d = 0
On appelle matrice diagonale toute matrice carrée ij 1≤i,j≤n telle que ij . Si on note
d =d
i ii, une matrice diagonale est de la forme
 
d 0 ... 0 0
1
0 d2 ... 0 0 
 
Dn = ... ... ... ... .
 
0 0 ... dn−1 0 
0 0 ... 0 d
n
(d ,d ,...,d )
On la note Diag 1 2 n .
n I (1,1,...,1)
La matrice identité d’ordre , notée n, est la matrice diagonale Diag .
Définition Matrices triangulaires
A=(a )
On dit qu’une matrice carrée ij 1≤i,j≤n est
(cid:66) i>j =⇒ a =0
triangulaire supérieure si ij ,
(cid:66) i<j =⇒ a =0
triangulaire inférieure si ij .
i.e. i6=j =⇒ a =0
Une matrice triangulaire supérieure et inférieure ( ij ) est une matrice diagonale.
4 © G. Faccanoni
Lundi 20 janvier 2014 1 Matrices
Exemple
 
1 2 3 4
U=00 50 62 −71 estunematricetriangulairesupérieure,
0 0 0 −5
 
1 0 0 0
L=45 −01 02 00 estunematricetriangulaireinférieure,
7 9 15 4
 
1 0 0 0
D=00 −08 70 00 estunematricediagonale.
0 0 0 0
Définition Produit d’une matrice par un scalaire
A=(a ) m×n α ∈ K
Si ij 1≤i≤m est une matrice et si , on définit le produit d’une matrice par un scalaire par
1≤j≤n
α ·A=(α ·a )
ij 1≤i≤m
1≤j≤n
Propriété
A B α ∈ K
Soient et deux matrices de même ordre et un scalaire, on a
(cid:66) α ·(A+B)=α ·A+α ·B
(distributivité).
Exemple
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
A= 3 4 2 α = 1 C=α·A= 3/2 2 1 .
Soit 1 3 5 et 2.Onobtient 1/2 3/2 5/2
Définition Produit de matrices
A=(a ) m×n B=(b ) n×p
Si ik 1≤i≤m est une matrice et kj 1≤k≤n une matrice , on définit le produit des matrices
1≤k≤n 1≤j≤p
par
!
n
X
A×B= a b
ik kj
k=1 1≤i≤m
1≤j≤p
m×p
C’est une matrice .
Exemple
Soientlesdeuxmatrices  
(cid:18) (cid:19) 1 2 0
1 3 0
A= −1 1 2 et B=0 2 3 
0 −1 −2
A 2×3 B 3×3 A×B 2×3
Lamatrice estd’ordre ,lamatrice estd’ordre ,donclamatriceproduit estunematriced’ordre :
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1×1+3×0+0×0 1×2+3×2+0×(−1) 1×0+3×3+0×(−2) 1 7 9
A×B= = .
−1×1+1×0+2×0 −1×2+1×2+2×(−1) −1×0+1×3+2×(−2) −1 −2 −1
© G. Faccanoni 5
1 Matrices Lundi 20 janvier 2014
B n p
: lignes colonnes
 
 b11 ... b1j ... b1p 
 
 
 
 
 ... ... ... ... ... 
 
 
 
b1j  bk1 ... bkj ... bkp 
×  
ai1  
+...  ... ... ... ... ... 
+ bkj  
×  
b ... b ... b
aik  n1 nj np 
+...
+ bpj
×
aip
   
a ... a ... a c ... c ... c
 11 1k 1n   11 1j 1p 
   
   
   
   
 ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ... 
   
   
 a ... a ... a   c ... c ... c 
 i1 ik in   i1 ij ip 
   
   
   
 ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ... 
   
   
 am1 ... amk ... amn   cm1 ... cmk ... cmp 
A m n C=A×B m p
: lignes colonnes : lignes colonnes
Propriété
A ∈ M (K) B ∈ M (K) C ∈ M (K)
Si m,n , n,p , p,q , alors
(cid:66) A×(B×C)=(A×B)×C
(associativité);
(cid:66) A(×(B+C)=A×B+A×C
(distributivité);
A ∈ M (K) A×I =I ×A=A
Si n alors n n .
Attention
A×B6=B×A
en général (non commutativité).
A m×p B p×n A×B
Prenons le cas général avec d’ordre et d’ordre . Le produit est défini, c’est une matrice
m×n B×A
d’ordre . Qu’en est-il du produit ? Il faut distinguer trois cas :
(cid:66) m6=n B×A
si le produit n’est pas défini;
(cid:66) m=n p6=n A×B m×n B×A
si mais , le produit est défini et c’est une matrice d’ordre tandis que le produit
p×p A×B6=B×A
est défini mais c’est une matrice d’ordre donc ;
(cid:66) m=n=p A B m A×B B×A
si , et sont deux matrices carrées d’ordre . Les produits et sont aussi carrés et
m A×B6=B×A
d’ordre mais là encore, en général, ;
Exemple
Soientlesmatrices (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
1 −1 6 −5
A= , B= .
3 0 2 1
Onobtient (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
4 −6 −9 −6
A×B= B×A= .
18 −15 et 5 −2
6 © G. Faccanoni
Lundi 20 janvier 2014 1 Matrices
Définition Matrice transposée
A = (a ) m×n A AT A = (a )
Si ij 1≤i≤m est une matrice , on définit la matrice transposée de , notée , par ji 1≤j≤n.
1≤j≤n 1≤i≤m
n×m
C’est donc une matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de la matrice initiale.
Exemple
A 2×3
Soitlamatrice d’ordre suivante (cid:18) (cid:19)
1 −1 5
A= .
3 0 7
AT 3×2
Satransposéeestlamatrice d’ordre suivante
 
1 3
AT =−1 0.
5 7
Propriété
(cid:66) (AT)T =A A ∈ M (K)
si m,n ,
(cid:66) (αA)T =αAT α ∈ K A ∈ M (K)
si et m,n ,
(cid:66) (A+B)T =AT +BT A,B ∈ M (K)
si m,n ,
(cid:66) (A×B)T =BT ×AT A ∈ M (K) B ∈ M (K)
si m,n et n,p .
Définition Matrice symétrique, matrice anti-symétrique
(cid:66) A AT =A i.e. a =a i6=j
Une matrice est dite symétrique si , si ij ji pour tout .
(cid:66) A AT =−A i.e. a =−a i6=j
Une matrice est dite anti-symétrique si , si ij ji pour tout .
Exemple
 
1 5 −9
A= 5 4 0  estunematricesymétrique.
−9 0 7
 
1 5 −9
B=−5 4 0  estunematriceanti-symétrique.
9 0 7
Définition Matrice inversible, matrice singulière
A∈M (K)
Unematricecarrée n estditeinversibleourégulièresielleestsymétrisablepourleproduitmatriciel,
B ∈ M (K) A×B = B×A = I
autrement dit s’il existe une matrice n telle que n. Une matrice non régulière est
dite singulière.
A A−1
L’inverse, s’il existe, d’une matrice est noté .
Proposition
A B
Soit et deux matrices inversibles, alors
(cid:66) A−1 (cid:0)A−1(cid:1)−1 =A
l’est aussi et ,
(cid:66) AT (cid:0)AT(cid:1)−1 =(cid:0)A−1(cid:1)T
l’est aussi et ,
(cid:66) A×B (A×B)−1 =B−1×A−1
l’est aussi et .
Définition Trace
A n A
Si est une matrice carrée d’ordre , on définit la trace de comme la somme des éléments de la diagonale
principale :
n
X
(A)= a .
tr ii
i=1
© G. Faccanoni 7
1 Matrices Lundi 20 janvier 2014
Exemple
A
Latracedelamatrice suivante  
1 2 0
0 2 3 
0 −1 −2
(A)=a +a +a =1+2+(−2)=1
esttr 11 22 33 .
Propriété
A B n
Si et sont deux matrices carrées d’ordre , alors
(cid:66) (AT)= (A)
tr tr ,
(cid:66) (A+B)= (A)+ (B)
tr tr tr .
A m×n B n×m
Si est une matrice et une matrice , alors
(cid:66) (A×B)= (B×A)
tr tr .
Opérationsélémentairessurlesmatrices
Définition
Les opérations (ou manipulations) élémentaires sur les lignes d’une matrices sont
(cid:66) L α
la multiplication d’une ligne i par un scalaire non nul :
L ←αL;
i i
(cid:66) αL L
l’addition d’un multiple d’une ligne j à une autre ligne i :
L ←L +αL ;
i i j
(cid:66)
l’échange de deux lignes :
L ↔L .
i j
Ces transformations sont équivalentes à la multiplication à gauche (pré-multiplication) par la matrice inversible
obtenue en appliquant à la matrice identité la transformation correspondante. Par exemple, la transformation qui
échange les premières deux lignes de la matrice M suivante
   
a b c L1←L2 d e f
d e f−L−2−←−L→1 a b c
g h i g h i
équivaut à multiplier M à gauche par la matrice obtenue en échangeant les premières deux lignes de la matrice
identité :
    
0 1 0 a b c d e f
1 0 0d e f=a b c
0 0 1 g h i g h i
Les opérations analogues sur les colonnes sont
(cid:66) la multiplication d’une colonne par un scalaire non nul :
C ←αC;
i i
(cid:66) l’addition d’un multiple d’une colonne à une autre colonne :
C ←C +αC ;
i i j
(cid:66) l’échange de deux colonnes :
C ↔C .
i j
Elles sont équivalentes à la multiplication à droite (post-multiplication) par la matrice inversible obtenue en appli-
quant à la matrice identité la transformation correspondante. Par exemple
    
a b c 0 1 0 b a c
d e f1 0 0=e d f
g h i 0 0 1 h g i
8 © G. Faccanoni
Lundi 20 janvier 2014 1 Matrices
Définition
A
En partant d’une matrice , l’utilisation d’un nombre fini d’opérations élémentaires conduit à une matrice équiva-
lente.
Calculpratiqued’undéterminant
Définition Déterminant d’une matrice d’ordre n
A n
Soit une matrice carrée d’ordre .
(i,j) 1 ≤ i,j ≤ n A n − 1
Étant donné un couple d’entiers, , on note ij la matrice carrée d’ordre obtenue en
i j A
supprimant la -ème ligne et la -ème colonne de .
A det(A) |A| A
Le déterminant de , noté ou , est défini par récurrence sur l’ordre de la matrice :
(cid:66) n=1 A
si : le déterminant de est le nombre
det(A)=a ,
11
(cid:66) n>1 A
si : le déterminant de est le nombre
n
X
det(A)= (−1)i+ja det(A ) i 1≤i≤n
ij ij quelque soit la ligne , ,
j=1
ou, de manière équivalente, le nombre
n
X
det(A)= (−1)i+ja det(A ) j 1≤j ≤n
ij ij quelque soit la colonne , .
i=1
Astuce
+ −
Pour se souvenir des signes de ces deux formules, on peut remarquer que la distribution des signes et avec
(−1)i+j
la formule est analogue à la distribution des cases noirs et blanches sur un damier :
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)+ − + − ...(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)− + − + ...(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)+ − + − ...(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)(cid:12)... ... ... ... ...(cid:12)(cid:12)
Exemple
Soitlamatrice (cid:18) (cid:19)
a a
A= 11 12
a a
21 22
alors
det(A )=a , det(A )=a , det(A )=a , det(A )=a ,
11 22 12 21 21 12 22 11
det(A)
donconpeutcalculer parl’unedesformulessuivantes:
(cid:66) a det(A )−a det(A )=a a −a a i=1
11 11 12 12 11 22 12 21 (développementsuivantlaligne )
(cid:66) −a det(A )+a det(A )=−a a +a a i=2
21 21 22 22 21 12 22 11 (développementsuivantlaligne )
(cid:66) a det(A )−a det(A )=a a −a a j =1
11 11 21 21 11 22 21 12 (développementsuivantlacolonne )
(cid:66) −a det(A )+a det(A )=−a a +a a j =2
12 12 22 22 12 21 22 11 (développementsuivantlacolonne )
Cesformulesdonnentbienlemêmerésultat.
Exemple
Soitlamatrice
 
a a a
11 12 13
A=a21 a22 a23
a a a
31 32 33
© G. Faccanoni 9
1 Matrices Lundi 20 janvier 2014
alors
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 22 23 =a a −a a ,
11 a a 22 33 23 32
32 33
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 21 23 =a a −a a ,
12 a a 21 33 23 31
31 33
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 21 22 =a a −a a ,
13 a a 21 32 22 31
31 32
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 12 13 =a a −a a ,
21 a a 12 33 13 32
32 33
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 11 13 =a a −a a ,
22 a a 11 33 13 31
31 33
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 11 12 =a a −a a ,
23 a a 11 32 12 31
31 32
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 12 13 =a a −a a ,
31 a a 12 23 13 22
22 23
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 11 13 =a a −a a ,
32 a a 11 23 13 21
21 23
(cid:18) (cid:19)
a a
det(A )=det 11 12 =a a −a a ,
33 a a 11 22 12 21
21 22
det(A)parl’unedesformulessuivantes
donconpeutcalculer :
(cid:66) a det(A )−a det(A )+a det(A ) i=1
11 11 12 12 13 13 (développementsuivantlaligne )
(cid:66) −a det(A )+a det(A )−a det(A ) i=2
21 21 22 22 23 23 (développementsuivantlaligne )
(cid:66) a det(A )−a det(A )+a det(A ) i=3
31 31 32 32 33 33 (développementsuivantlaligne )
(cid:66) −a det(A )+a det(A )−a det(A ) j =1
11 11 21 21 31 31 (développementsuivantlacolonne )
(cid:66) a det(A )−a det(A )+a det(A ) j =2
12 12 22 22 32 32 (développementsuivantlacolonne )
(cid:66) −a det(A )+a det(A )−a det(A ) j =3
13 13 23 23 33 33 (développementsuivantlacolonne )
Quelquescalculsmontrentquecesformulesdonnentbienlemêmerésultat.
Astuce
Il convient d’utiliser cette définition après avoir fait apparaître sur une même rangée le plus possible de zéro
sachant que
(cid:66) det(A)=0
si deux colonnes (resp. deux lignes) sont identiques ou proportionnelles, alors ;
(cid:66)
si on échange deux colonnes (resp. deux lignes), alors le déterminant est changé en son opposé;
(cid:66)
on ne change pas un déterminant si on ajoute à une colonne (resp. une ligne) une combinaison linéaire des
i.e.
autres colonnes (resp. lignes),
C ←C +αC , L ←L +αL ,
i i j i i j
j 6=i α 6=0
avec et .
Exemple
Soitlamatrice  
1 0 1
A=0 2 0
0 3 5
alors
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
2 0 0 0 0 2
det(A )=det =10, det(A )=det =0, det(A )=det =0,
11 3 5 12 0 5 13 0 3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 1 1 1 1 0
det(A )=det =−3, det(A )=det =5, det(A )=det =3,
21 3 5 22 0 5 23 0 3
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0 1 1 1 1 0
det(A )=det =−2, det(A )=det =0, det(A )=det =2,
31 2 0 32 0 0 33 0 2
det(A)
donconpeutcalculer parl’unedesformulessuivantes:
(cid:66) 1det(A )+0det(A )+1det(A )=10+0+0=10
11 12 13
(cid:66) 0det(A )+2det(A )+0det(A )=0+2×5+0=10(cid:76)(cid:57)(cid:57)
21 22 23 formulepratiquecariln’yaqu’undéterminantàcalculer
(cid:66) 0det(A )+3det(A )+5det(A )=0+0+5×2=10
31 32 33
(cid:66) 1det(A )+0det(A )+0det(A )=10+0+0=10(cid:76)(cid:57)(cid:57)
11 21 31 formulepratiquecariln’yaqu’undéterminantàcalculer
(cid:66) 0det(A )+2det(A )+3det(A )=0+2×5+0=10
12 22 32
10 © G. Faccanoni