Monoide, freie Monoide und Monaden als Monoide

51 Pages·2015·1.01 MB·English

Freie Monaden
(cid:44) (cid:44)
IngoBlechschmidt
<[email protected]>
10.September2015und8.Oktober2015
AugsburgerCurry-Club
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Monoide
1
DefinitionundBeispiele
Nutzen
FreieMonoide
Funktoren
2
DefinitionundBeispiele
FunktorenalsContainer
Monaden
3
DefinitionundBeispiele
„MonoidineinerKategorievonEndofunktoren“
FreieMonaden
4
Definition
Konstruktion
Nutzen
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Beispiele:
natürlicheZahlen,Listen,Endomorphismen,Matrizen,...
Nichtbeispiele:
natürlicheZahlenmitSubtraktion,nichtleereListen,...
Monoide
class Monoid m where
EinMonoidbestehtaus (<>) :: m -> m -> m
unit :: m
einerMengeM,
einerAbbildung(◦) : M×M → Mund
einemausgezeichnetenElemente ∈ M,
sodassdieMonoidaxiomegelten:Fürallex,y,z ∈ M
x◦(y◦z) = (x◦y)◦z,
e◦x = x,
x◦e = x.
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Monoide
class Monoid m where
EinMonoidbestehtaus (<>) :: m -> m -> m
unit :: m
einerMengeM,
einerAbbildung(◦) : M×M → Mund
einemausgezeichnetenElemente ∈ M,
sodassdieMonoidaxiomegelten:Fürallex,y,z ∈ M
x◦(y◦z) = (x◦y)◦z,
e◦x = x,
x◦e = x.
Beispiele:
natürlicheZahlen,Listen,Endomorphismen,Matrizen,...
Nichtbeispiele:
natürlicheZahlenmitSubtraktion,nichtleereListen,...
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• Die natürlichen Zahlen bilden mit der Addition als Verknüpfung
undderNullalsausgezeichnetesElementeinenMonoid.
• DienatürlichenZahlenbildenmitderMultiplikationalsVerknüp-
fungundderEinsalsausgezeichnetesElementeinenMonoid.
• DieMengeX(cid:63) derendlichenListenmitEinträgenauseinerMen-
ge X (in Haskell also sowas wie [X], wobei da auch unendliche
undpartielldefinierteListendabeisind)bildetmitderKonkaten-
ation von Listen als Verknüpfung und der leeren Liste als ausge-
zeichnetesElementeinenMonoid.
• IstXirgendeineMenge,sobildetdieMengeallerAbbildungenX →
XmitderAbbildungskompositionalsVerknüpfungundderIden-
titätsabbildungalsausgezeichnetesElementeinenMonoid.
• Die natürlichen Zahlen bilden mit der Subtraktionen keinen Mo-
noid,dadieDifferenzzweiernatürlicherZahlennichtimmerwie-
der eine natürliche Zahl ist. Auch mit den ganzen Zahlen klappt
es nicht, da die Subtraktion nicht assoziativ ist: 1 − (2 − 3) (cid:54)=
(1−2)−3.
Axiome in Diagrammform
id×(◦) (cid:47)(cid:47)
M×M×M M×M
(◦)×id (◦)
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
(cid:47)(cid:47)
M×M M
(◦)
(cid:60)(cid:60)M(cid:79)(cid:79) (cid:98)(cid:98)
(cid:47)(cid:47) (cid:111)(cid:111)
M M×M M
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Beide Diagramme sind Diagramme in der Kategorie der Mengen, d.h.
die beteiligten Objekte M, M×M und M×M×M sind Mengen und
die vorkommenden Pfeile sind Abbildungen. Wer möchte, kann aber
auch vorgeben, dass M ein Typ in Haskell ist (statt M×M muss man
dann(M,M)denken)unddassdiePfeileHaskell-Funktionensind.
DasobereDiagrammistwiefolgtzulesen.
EinbeliebigesElementausM×M×MhatdieForm(x,y,z),wobeix,
yundzirgendwelcheElementeausMsind.BildenwireinsolchesEle-
mentnachrechtsab,soerhaltenwir(x,y◦z).Bildenwirdiesesweiter
nachuntenab,soerhaltenwirx◦(y◦z).
WirkönnenaberauchdenanderenWeggehen:Bildenwir(x,y,z)erst
nach unten ab, so erhalten wir (x ◦ y,z). Bilden wir dieses Element
weiternachrechtsab,soerhaltenwir(x◦y)◦z.
Fazit: Genau dann kommutiert das Diagramm – das heißt beide Wege
lieferngleicheErgebnisse–wenndieRechenregelx◦(y◦z) = (x◦y)◦z
füralleElementex,y,z ∈ Merfülltist.
Die Pfeile auf dem unteren Diagramm sind nicht beschriftet. Hier die
Erklärung,wasgemeintist.
WirbetrachtendazueinbeliebigesElementx ∈ M(unterelinkeEckeim
Diagramm).Nachrechtsabgebildeterhaltenwir(e,x).DiesesElement
weiternachobenabgebildetergibte◦x.
DerdirekteWegmitdemNordostverlaufendenPfeilergibtx.
DaslinkeTeildreieckkommutiertalsogenaudann,wenndieRechenre-
gel e◦x = x für alle x ∈ M erfüllt ist. Analog kommutiert das rechte
Teildreieckgenaudann,wennx◦e = xfürallex ∈ M.
Wieso der Umstand mit der Diagrammform der Axiome? Das hat ver-
schiedeneschwacheGründe(esistcool),aberaucheinenstarkeninhalt-
lichen: Ein Diagramm dieser Art kann man nicht nur in der Kategorie
interpretieren, in der es ursprünglich gedacht war (also der Kategorie
der Mengen). Man kann es auch in anderen Kategorien interpretieren.
Wählt man dazu speziell eine Kategorie von Endofunktoren, so erhält
mandieDefinitioneinerMonade.
Monoidhomomorphismen
EineAbbildungϕ : M → NzwischenMonoidenheißtgenau
dannMonoidhomomorphismus,wenn
ϕ(e) = eund
ϕ(x◦y) = ϕ(x)◦ϕ(y)fürallex,y ∈ M.
Beispiele:
length :: [a] -> Int
sum :: [Int] -> Int
Nichtbeispiele:
reverse :: [a] -> [a]
head :: [a] -> a
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