módulo 1 – introdução ao dimensionamento de lajes de betão armado

39 Pages·2004·0.67 MB·Portuguese

by  Carla Marchão

Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limites
últimos de elementos com esforço axial não desprezável (pilares)

1. Flexão Composta
(Flexão com esforço normal de tracção ou compressão)

1.1. ROTURA CONVENCIONAL

(cid:137) εs ≤ 10‰
(cid:137) εc(-) ≤ 3.5‰
(cid:137) Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰

Tensões uniformes Tensões não uniformes
σc εc σc 2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰ σc εc = 3.5‰
(-) (-) ou (-)
2‰ 0 0

1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA

Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados à rotura:
Compressão Tracção
3.5‰2‰0 10‰
As2 M 2
N 1
3
As1 5
4
2‰ εyd 10‰
Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (ε = 10‰, ε ≤ 10‰)
s1 s2
Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (ε = 10‰, ε (-) ≤ 3.5‰)
s1 c
Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (ε ≤ ε ≤ 10‰, ε (-) = 3.5‰)
yd s1 c
Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (ε ≤ ε , ε (-) = 3.5‰)
s1 yd c
Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ ε máx ≤ 3.5‰)
c
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Conclusão:
(cid:137) Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil
(cid:137) Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil

1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES

(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão
armado com dois níveis de armadura (A e A )
s1 s2
εc
εs2 Fs2
As2 MRd (-) Fc yc ys2
NRd
ys1
As1 (+) εs1 Fs1

Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou
em relação ao nível da armadura inferior.

Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 − Fs1 = NRd
• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 + Fs1 × ys1 = MRd
⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço N – M
Rd Rd

(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama
de interacção N – M
Rd Rd
(-)
N
Rd
M
Rd

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(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
dimensionamento
(-)
N
Rd
M
Rd

Grandezas adimensionais:
N
− Esforço normal reduzido ν = Rd
b h f
cd
M
− Momento flector reduzido µ = Rd
b h2 f
cd
A f
− Percentagem mecânica de armadura ω = sTOT yd
TOT b h f
cd

1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES

1.4.1. Armadura longitudinal

(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura

As quantidades mínimas de armadura em pilares, podem ser quantificadas através de
percentagens mínimas de armadura, que variam consoante o tipo de aço utilizado:
(cid:137) ρmin = 0.8% para A235
(cid:137) ρmin = 0.6% para A400 e A500

Quantidade máxima de armadura:
(cid:137) ρmáx = 8% (incluindo todas as armaduras nas secções de emenda)
Nota: evitar que ρ > 4%, caso contrário não será possível emendar todos os varões na mesma
secção transversal.
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A
A percentagem de armadura define-se através da expressão ρ = s × 100 .
b ⋅ h

(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento

1. Mínimo número de varões na secção transversal
(cid:137) 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou
(cid:137) 6 varões em secções circulares (ou a tal assimiláveis)

2. Diâmetro mínimo dos varões
(cid:137) 12mm para A235
(cid:137) 10mm para A400 e A500

3. Espaçamento máximo dos varões

s = 30 cm, excepto em faces com largura igual ou inferior a 40cm (basta dispor
máx
varões junto dos cantos).

1.4.2. Armadura transversal

(i) Espaçamento das cintas

s = min (12 × φ ; b ; 30cm)
máx L,menor min

(ii) Diâmetro

Se φ ≥ 25mm, φ ≥ 8mm
L cinta

(iii) Forma da armadura / cintagem mínima

(cid:137) Cada varão longitudinal deve ser abraçado por ramos da armadura transversal,
formando um ângulo em torno do varão, não superior a 135°.
(cid:137) Não é necessário cintar varões longitudinais que se encontrem a menos de 15cm
de varões cintados.
(cid:137) Em pilares circulares não é necessário respeitar a condição do ângulo.

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Função da armadura transversal
− Cintar o betão;
− Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;
− Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e
betonagem;
− Resistir ao esforço transverso.

Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.

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EXERCÍCIO 15

Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a secção.
N = -1200 kN
sd
As/2 Msd Msd = 150 kNm
0.50 Nsd
Materiais: A400
As/2
C20/25
0.30

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 15

Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)

d ≅ 0.05m  d
1  ⇒ 1 = 0.10 ; A400
h = 0.50m  h
N -1200
Esforço normal reduzido: ν = sd = = -0.60
b h f 0.30 × 0.50 × 13.3×103
cd
M 150
Momento flector reduzido: µ = sd = = 0.15
b h2 f 0.30 × 0.502 × 13.3×103
cd
f 13.3
ω = 0.20 ⇒ A = ω b h cd = 0.20 × 0.30 × 0.50 × × 104 = 11.47cm2
TOT sTOT TOT f 348
yd

rotura pelo betão

ε -3.5
Na rotura c2 = ⇒armaduras não atingem a cedência
ε 0 a 1
s1 
Zona (cid:102)

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EXERCÍCIO 16

Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: N = -1400kN; M =250 kNm
sd sd
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 16

d
d = 0.05 ⇒ 1 = 0.10
1 h
N -1400
ν = sd = = 0.427 
π r2 f π × 0.252 × 16.7×103 
cd
⇒ ω = 0.30
M 250  TOT
µ = Sd = = 0.152 
2π r3 f 2 × π × 0.253 × 16.7×103
cd
f 16.7
A = ω × πr2 × cd = 0.30 × π × 0.252 × × 104 = 28.3cm2
sTOT TOT f 348
yd

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1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO

Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de
tensão na rotura para as situações A e B ilustradas.
ν
As2
h
As1
b
0.4
B
A µ

A Fs2,A B Fs2,B
Fc,A Fc,B
NRd
As1 fyd MRd,A As1 fyd MRd,B

M > M
Rd,B Rd,A

∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (F e F ) e,
c s2
consequentemente, o M apesar da diminuição do braço de F .
Rd c

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2. Verificação da segurança dos pilares aos estados limite últimos

2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS

Nos elementos de betão armado solicitados apenas à flexão, os esforços são, em
geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem).
Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p.
ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não
devem ser aplicadas.

Exemplos:

N
N Teoria de 1ª ordem:
M = N × e

Teoria de 2ª ordem:
M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v
v
L L N × e – momento de 1ª ordem
N × v – momento de 2ª ordem
v

Nota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na
estrutura deformada.

L
Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = 0
i
N (cid:99) - λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis
N e 1 (Teoria de 1ª ordem)
N e N v 2 (cid:100) - λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes
(Teoria de 2ª ordem)

Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis
se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e)
M
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2.2. TIPOS DE ROTURA

N N N N
1 2 3
e1 e2 e1
e2 e1
N N
Ne1 Nu1, Mu1 N2 , M2
CR CR N
Ne1 Ne2 2 2
Nu, Mu
3 3
Ne1 Ne2 Nu, Mu
3 3
N , M
CR CR
M

(cid:99) Relação N - M para e = 0 (análise de 1ª ordem) M /N = e
2 u u 1
(cid:100) Relação N - M para e ≠ 0 (elemento pouco esbelto) ⇒ rotura da secção
2
(cid:101) Relação N - M para e ≠ 0 (elemento muito esbelto) ⇒ rotura por instabilidade
2

2.3. ESBELTEZA

A esbelteza de um pilar é dada por:
L
λ = 0
i
onde,
L representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de
0
momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)
 I 
i representa o raio de giração da secção i = 
 A 
Nota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo
perpendicular ao plano de encurvadura.

Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.
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