Modules sur les anneaux commutatifs: Cours et exercices

547 Pages·2014·2.928 MB·French

by  G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté

G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté
Modules sur les
anneaux commutatifs
Cours et exercices
Dernière mise à jour 11 janvier 2014
Gema-Maria Díaz-Toca.
Maître de Conférences à l’Université de Murcia (Espagne) et membre du
Département de Mathématique Appliquée de l’Université de Murcia. Ses
recherches concernent le calcul formel et les mathématiques constructives.
Elle est enseignante a la Faculté d’Informatique. Elle a publié plusieurs
articles de rechererche, parmi lesquels :
– GemaMDiaz-TocaetHenriLombardi.Apolynomialboundonthenumber
ofcomaximallocalizationsneededinordertomakefreeaprojectivemodule.
Linear Algebra and Its Applications, Volume 435, Issue 2, 354-360, 2011.
– Gema M Diaz-Toca et Henri Lombardi. Dynamic Galois Theory. Journal
of Symbolic Computation, Vol 45, 12, 1316-1329, 2010.
– Gema M Diaz-Toca, Laureano González Vega, Claude Quitté et Henri
Lombardi. Modules projectifs de type fini, applications lineaires croisées
et inverses generalisés. Journal of Algebra, 2006, Vol/Pg 303, 450 - 475.
En outre, elle est membre de l’équipe de recherche du projet MTM2011-
25816-C02-02 “Algoritmos y Aplicaciones en Geometría Real y Tropical”,
qui reçoit le soutien du “Ministerio de Economía y Competitividad” et du
European Regional Development Fund (ERDF).
[email protected]
http://webs.um.es/gemadiaz
Henri Lombardi. Maître de Conférences à l’Université de Franche-Comté
et membre de l’Équipe de Mathématiques de Besançon (UMR 6623). Ses
recherches concernent les mathématiques constructives, l’algèbre réelle et la
complexité algorithmique.
Il est l’un des initiateurs du groupe international M.A.P. (Mathematics,
Algorithms,Proofs),crééen2003:voirlesitehttp://map.disi.unige.it/
Il a publié les ouvrages suivants.
– Algèbre Commutative. Méthodes Constructives, Calvage & Mounet, Paris,
2011, en collaboration avec Claude Quitté.
– Épistémologie mathématique, Ellipse, 2011.
– Méthodes matricielles. Introduction à la complexité algébrique, Springer,
2003, en collaboration avec Jounaïdi Abdeljaoued.
– Géométries élémentaires (tome 1), Presses Universitaires de Franche-
Comté. 1999.
[email protected]
http://hlombardi.free.fr
ClaudeQuitté.Maîtredeconférencesàl’UniversitédePoitiersetmembre
duLaboratoiredeMathématiquesetApplicationsdel’UniversitédePoitiers
(UMR 6086). Ses recherches concernent l’algèbre commutative effective et
le calcul formel. Il a enseigné à tous les niveaux (en particulier dans la
iii
préparation à l’agrégation), et il est intervenu dans des enseignements
combinant mathématiques et informatique.
Il a publié les ouvrages suivants.
– Algèbre Commutative. Méthodes Constructives, Calvage & Mounet, Paris,
2011, en collaboration avec Henri Lombardi.
– Algorithmique algébrique, Masson, 1991, en collaboration avec Patrice
Naudin.
Avec Henri Lombardi, il a participé à la rédaction de l’ouvrage collectif
Mathématiques L3 Algèbre. Pearson Education, 2009.
[email protected]
Mathematics Subject Classification (2010)
– Primary : 13 Commutative Algebra.
– Secondary :
03F Proof theory and constructive mathematics.
ISBN 978-2-91-635000-4
Imprimé sur papier permanent
9 782916 350004
(cid:13)c Calvage & Mounet, Paris, 2013

Préface
Ce livre est un cours d’algèbre pour le Master 1, consacré à la théorie des
modules sur les anneaux commutatifs.
Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes
d’existenceontuncontenualgorithmiqueexplicite.Enparticulier,lorsqu’un
théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algorith-
me de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démonstration
qui est donnée.
L’ouvrage ne réclame comme prérequis que les notions de base concernant
la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants.
Une familiarité avec les anneaux de polynômes, les propriétés arithmétiques
de Z et la théorie de la divisibilité dans les anneaux factoriels est également
souhaitable.
Signalons enfin que nous considérons les exercices (193 en tout) comme une
partie essentielle du livre.
Nous publierons les errata et des exercices supplémentaires sur la page web
de l’un des auteurs :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
Remerciements.
Nous remercions Lionel Ducos et Claire Tête pour leurs suggestions, ainsi
que notre expert Latex, François Pétiard, pour ses conseils avisés.
G.-M. Díaz-Toca, H. Lombardi, C. Quitté
Février 2013.
– v –

Table des matières
Avant-Propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Première partie
Modules sur les anneaux principaux
I Arithmétique de base
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 On a le droit de calculer modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Théorème des restes chinois sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Systèmes d’équations linéaires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II Groupes et anneaux commutatifs
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité . . . . . . . . . . 49
III Calcul matriciel sur un anneau commutatif arbitraire
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 Calcul matriciel et systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Pivot chinois généralisé, splitting-off . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Systèmes linéaires sur le corps de fractions . . . . . . . . . . . . . 69
5 Systèmes linéaires sur un anneau intègre . . . . . . . . . . . . . . 76
IV Systèmes linéaires sur un anneau principal
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 Domaines de Bezout et anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . 80
2 Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal . . . . 84
3 Systèmes linéaires sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . 89
– vii –
viii Table des matières
V Modules sur un anneau commutatif
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1 Définitions générales concernant les modules . . . . . . . . . . . . 95
2 Applications linéaires entre modules libres . . . . . . . . . . . . . 98
3 Modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Sommes et produits de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Factorisation d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Torsion, annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Modules monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Un important résultat d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10 Suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VI Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1 Structure des applications linéaires entre modules libres . . . . . . 136
2 Structure des modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . 139
3 Dualité, intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
VII Structure d’un endomorphisme
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
1 Un K[X]-module intéressant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2 Forme réduite de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 Géométrie d’un endomorphisme, premiers pas . . . . . . . . . . . 164
5 Utilisation du lemme des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6 Endomorphismes cycliques et sous-espaces stables . . . . . . . . . 169
7 Endomorphismes semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford . . . . . . . . . . . . 185
VIII Anneaux et modules cohérents, noethériens
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
1 Anneaux et modules cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2 Méthode modulaire de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 Définition de la noethérianité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4 Propriétés noethériennes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5 Les théorèmes de Hilbert et Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Table des matières ix
Deuxième Partie
Approfondissements
IX Idéaux inversibles et domaines de Dedekind
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
1 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
2 Idéaux inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3 Un exemple historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4 Domaines de Dedekind à factorisation totale . . . . . . . . . . . . 226
5 Domaines de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
X Entiers sur un anneau commutatif
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1 Extensions d’anneaux, algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2 Extensions finies, entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3 Extensions libres finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4 Extensions entières et intégralement closes . . . . . . . . . . . . . 252
XI Anneaux d’entiers des corps de nombres
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
1 Corps de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2 Un peu plus d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
XII Anneaux et modules de fractions
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
1 Anneaux et modules de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
2 Principes local-globals pour les modules . . . . . . . . . . . . . . . 275
3 Principes local-globals pour les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . 278
XIII Modules projectifs de type fini
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
1 Modules projectifs de type fini sur un anneau arbitraire . . . . . . 282
2 Applications linéaires localement simples . . . . . . . . . . . . . . 286
3 Principes local-globals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
4 Rang d’un module projectif de type fini sur un anneau intègre . . 290
5 Les modules projectifs de type fini sont localement libres . . . . . 292
6 Propriété caractéristique d’exactitude . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7 Annexe : rang d’un module projectif de type fini, cas général . . . 296
XIV Modules de présentation finie sur les domaines de Prüfer
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1 Un principe local-global pour les domaines de Prüfer . . . . . . . 304
2 Noyau, image et conoyau d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 305
3 Domaines de Prüfer fortement discrets . . . . . . . . . . . . . . . 309
x Table des matières
XV Changement d’anneau de base
1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
2 Solution du problème dans quelques cas importants . . . . . . . . 315
3 Somme directe de deux A-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
XVI Dimension 0 et 1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
1 Anneaux zéro-dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
2 Anneaux arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3 Anneaux intègres de dimension (cid:54)1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4 Domaines de Prüfer de dimension (cid:54)1 . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Annexes
A Une approche à la Kronecker des domaines de Prüfer
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
1 L’anneau de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
2 Le théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3 Quelques conséquences du théorème de Kronecker . . . . . . . . . 355
B Domaines de Dedekind
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
1 Domaines de Prüfer à factorisation partielle. . . . . . . . . . . . . 360
2 Problèmes de factorisation dans les domaines de Dedekind . . . . 362
3 Extensions de domaines de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Solutions, ou esquisses de solutions, des exercices
Solutions de la première partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Solutions de la deuxième partie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Solutions de l’annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
Tables et index
Table des théorèmes 513
Index des notations 519
Index des termes 523