Moderne Methoden der Numerischen Mathematik: Tagung vom 10. bis 13. Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universität Clausthal PDF
Preview Moderne Methoden der Numerischen Mathematik: Tagung vom 10. bis 13. Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universität Clausthal
ISNM INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE Editors: Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola; J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam VOL. 32 Modeme Methoden der Numerischen Mathematik Tagung vom 10. bis 13.Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen UniversiUit Clausthal Herausgegeben von J. ALBRECHT, Clausthal und L. CoLLATZ, Hamburg 1976 SPRINGER BASEL AG CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Moderne Methoden der numerischen Mathematik: Tagung vom 10.-13. Juni 1975 im Rahmen d. 200-Jahr-Feier d. Techn. Univ. Clausthal. Hrsg. von J. Albrecht u. L. Collatz. - 1. Aufl. - Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1976. (International series of numerical mathematics; Vol. 32) NE: Albrecht, Johannes [Hrsg.]; Technische Universität <Clausthal) Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. © Springer Basel AG 1976 Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976 ISBN 978-3-7643-0854-4 ISBN 978-3-0348-5501-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5501-3 VORWORT Der vorliegende Band gibt im wesentlichen Vortrage einer Tagung «Modeme Methoden der Numerischen Mathematik» wieder, die yom 10. bis 13.Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universitat Clausthal stattfand und die durch verschiedene Beispiele sowohl Forschungsschwer punkte als auch Anwendungen in anderen Wissenschaften zeigen sollte. Folgende Gebiete kamen dabei zur Sprache: Eigenwertaufgaben, Iterationen mit expandierenden und mit monotonen Operatoren, nichtlineare Schwin gungen, Approximation, Interpolation und Quadratur, Ausgleichungen, Opti mierung, optimale Steuerung, Diskretisierungsverfahren bei Anfangs- und Randwertaufgaben, schnelle Fourier-Transformationen, Diffusionsgleichun gen in biologischen Modellen und Identifizierungsprobleme. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei auch an dieser Stelle fUr die Forderung der Tagung gedankt; dem Birkhauser Verlag gilt der Dank fUr die Herausgabe dieses Bandes und fUr seine - wie stets - gute Ausstattung. L. COLLATZ, J. ALBRECHT INHALTSVERZEICHNIS J. ALBRECHT: Bemerkungen zur Newton-Iteration fUr A1I2 und A-I 9 P.M. ANSELONE: Nonlinear operator Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ERICH BOHL: Zur Anwendung von Differenzenschemen mit symmetrischen Formeln bei Randwertaufgaben ......................................... 25 HELMUT BRASS: Quadraturverfahren vom Gregoryschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 HAROLD D. EIDSON, LARRY L. SCHUMAKER: Spline solution of linear initial-and boundary-value problems ........ 67 ILIO GALLIGANI: Identification problems in electrocardiology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 FRIEDRICH GOERISCH: Ober eine Methode zum Vergleich von Schranken fUr Eigenwerte ..... 97 PETER HENRICI: Einige Anwendungen der schnellen Fouriertransformation . . . . . . . . . .. III GUNTER MEINARDUS: Algebraische Formulierung von Spline-Interpolation en . . . . . . . . . . . . .. 125 P. SPELLUCCI: Algorithms for rational discrete least aquares approximation part I: Unconstrained optimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139 H. WERNER: Einige Beispiele kombinatorischer Aufgabenstellungen in den Geistes wissenschaften .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159 H. WERNER: Numerische Behandlung gewohnlicher Differentialgleichungen mit Hil- fe von Spline-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167 ISNM 32 Birkhauser Verlag, Basel und Stuttgart, 1976 9 QUAORATISCH KONVERGENTE ITERATIONSVERFAHREN ZUR BERECHNUNG VON A1/2 UNO A-1 J. Albrecht 1. FaBt man die symmetrische, positiv definite Quadrat wurzel A1/2 einer symmetrischen, positiv definiten Ma trix A a1s Nu11ste11e des durch TX=X2-A definierten Operators T auf und zieht man zu ihrer Be rechnung das Newton'sche Iterationsverfahren (k=O,1 ,2, .•• ) heran, so ergibt sich wegen T(X)H=XH+HX die Iterationsvorschrift (k=O,1,2, ••• ). Wenn der k1einste und der groBte Eigenwert von A, 1~ und L~, bekannt sind, 1aBt sich ein weiterer A1go rithmus angeben: , > (p=O, 1 ,2, ••• ) • =l~ y o V.LOLO I 10 Satz 1.1: Konvergenz des Newton-Verfahrens bei Ver tauschbarkeit Unter den Voraussetzungen 1. Xo symmetrisch, positiv definit 2. AXo=XoA gilt zunachst 1. Xk+1 symmetrisch, positiv definit 2. AXk+1=Xk+1A (k=O,l ,2, ••• ) ; 3. XkXk+l=Xk+1Xk 4. XkAl/2=Al/2Xk fur die "relativen Fehler" E =(X +Al/2)-1 (X _Al/2) (k=O,l ,2, ••• ) k k k folgt weiter 2 5.1. Ek+1=Ek (k=O , 1 , 2 , ••• ) , also k 5 2 E =E2 (k=O,l ,2, ••• ) • • k 0 und - unter Verwendung der Spektralnorrn - ~Ek~=~Eo~2k 5.3. (k=O,l ,2, ••• ) ; da stets IEol 6. <1 ist, liegt imrner quadratische Konvergenz der Folge {Ek} und darnit quadratische Konvergenz der Folge {Xk} vor. 11 Satz '.2: Optimale Anfangswerte Unter der Voraussetzung 0<1 <A<L 0- - 0 fUhrt der Algorithmus~) > (p=O", 2, ••• ) wegen a <z (A)< -' (1 <A<L ;p=0,1,2, ••••• ), p- p - a 0- - 0 p also 1-a _-----E. (1 <A<L ;p=0,1,2, ••• ) 1+a 0- - 0 p auf eine Folge rationaler Tschebyscheff-Approximationen der Null im Intervall 10~A~Lo' so daB durch (p=0,1 ,2, ••• ) , W)Die ausfUhrlichere Schreibweise (p=O, 1 ,2, ••• ) ; (p=O, , ,2, ••• ) zeigt den Zusarnrnenhan~mit dem GauB'schen Arithmetisch Geometrischen Mittel ~). 12 wobei y (A 2) =).z ().) (p=O,1 ,2, ..• ) p P ist, unter der Uber das Spektrum von A getroffenen An nahme eine Folge optimaler Anfangswerte fUr das New ton'sche Verfahren definiert wird. FUr ihre "relativen Fehler" F =(Y +A1/2)-1 (Y _A1/2) (p=O,1 ,2, •.. ) P P p zp().)-1 1-a =M a x - =---E 1 <A<L zp().)+1 1+ap 0- - 0 (p=O,1 ,2, .•• ) und damit ::::> I: :::) =ih11 IIF 11-: 2 (p=O,1,2, •.• ) ; p+l 2 die Folge {F }oo konvergiert also schneller als die Folge p q {Ek}~ der relativen Fehler der von Xo=Yq(qE~o beliebig) ausgehenden Newton'schen Iterationsfolge {Xk}~ • Bemerkung. Wenn man die Vertauschbarkeit (k=O , 1 , 2 , •.. ) bzw. (p=O , 1 , 2 , •.. ) ausnutzen will, urn den Arbeitsaufwand zur Berechnung von Xk+1 bzw. Yp+1 herabzusetzen, wenn man also gemaB 1 2 XkXk+1=2(Xk+A) (k=O,1,2, ••• ) bzw. (p=O,1 ,2, .•• )
Description:The list of books you might like
