Modelo de Anderson de dois canais

121 Pages·2001·1.35 MB·Portuguese

Universidade de Sªo Paulo
Instituto de F(cid:237)sica de Sªo Carlos
Departamento de F(cid:237)sica e InformÆtica
Modelo de Anderson de dois canais
Joªo V(cid:237)tor Batista Ferreira
Tese apresentada ao Instituto de F(cid:237)sica de
Sªo Carlos, Universidade de Sªo Paulo, para
obten(cid:231)ªo do T(cid:237)tulo de Doutor em CiŒncias:
F(cid:237)sica BÆsica
Orientador: Prof. Dr. Valter L. L(cid:237)bero
Sªo Carlos
2000
Resumo
NoziŁres e Blandin generalizaram o Modelo Kondo atravØs da inclusªo de mais graus de
liberdade. Eles investigaram um sistema formado de uma impureza magnØtica em um metal
hospedeiro, considerando a estrutura orbital da impureza, campo cristalino e intera(cid:231)ıes spin-
(cid:243)rbita. Este sistema Ø representado pelo Hamiltoniano de Kondo Multicanal: a intera(cid:231)ªo entre a
impureza local e a banda de condu(cid:231)ªo Ø feita via canais (cada canal representa um conjunto de
nœmeros qu(cid:226)nticos bem de(cid:28)nidos). NoziŁres e Blandin mostraram o aparecimento de um ponto
(cid:28)xo an(cid:244)malo no regime de acoplamento (cid:28)nito.
Esse ponto (cid:28)xo an(cid:244)malo pode explicar o comportamento nªo-l(cid:237)quido de Fermi de compostos
de terras-raras e actin(cid:237)deos. Cox e colaboradores usaram o Hamiltoniano Kondo Quadrupo-
lar para representar sistemas de fØrmions pesados em ur(cid:226)nio e (cid:243)xidos supercondutores de alta
temperatura, os quais podem ser mapeados em um Modelo Kondo de dois canais.
Como o Modelo Kondo tradicional (um canal) Ø o limite de baixa temperatura do Modelo
Anderson, Ø interessante tambØm generalizar este œltimo para incluir mais canais.
Nesta tese n(cid:243)s mostramos que o mesmo procedimento trivial, o qual generaliza o Hamiltoni-
ano Kondo, nªo funciona para o Modelo de Anderson. N(cid:243)s usamos um Hamiltoniano proposto
por Cox para representar o Modelo de Anderson de dois canais. Usando a transforma(cid:231)ªo de
Schrie(cid:27)er-Wol(cid:27) n(cid:243)s demonstramos que este Hamiltoniano Ø equivalente ao Hamiltoniano Kondo
de dois canais em baixas temperaturas. E (cid:28)nalmente, n(cid:243)s aplicamos o Grupo de Renormaliza(cid:231)ªo
NumØrico para investigar os n(cid:237)veis de mais baixa energia, a suscetibilidade magnØtica e o calor
espec(cid:237)(cid:28)co.
Abstract
NoziŁres and Blandin generalized the Kondo Model by including more degrees of freedom.
They investigated a system made of magnetic impurity in a metal host, considering impurity
orbital structure, crystalline (cid:28)eld and spin-orbit interactions. This system is represented by
multichannel Kondo Hamiltonian: the interaction between local impurity and conduction band
is done via channels (each channel represents a set of well de(cid:28)ned quantum numbers). They
showed that anomalous (cid:28)xed point appears at (cid:28)nite coupling.
The anomalous (cid:28)xed point can explain the non-Fermi Liquid behaviour of rare earths and
actinides compounds. Cox et al used a quadrupolar Kondo Hamiltonian for uranium heavy-
fermion materials and high-temperature superconducting oxides, which can be mapped to a
two-channel Kondo Model.
Since Kondo Model is a low temperature limit of Anderson Model, would be interesting to
generalize this last one including many channels.
In thisthesis we show that the same trivial procedure, which generalizes the Kondo Hamilto-
nian, does not work with the Anderson Model. We use a model Hamiltonian proposed by Cox to
represent the two-channel Anderson Model. Using the Schrie(cid:27)er-Wolf transformation we prove
this Hamiltonian is equivalent to the two-channel Kondo Hamiltonian. And (cid:28)nally, we have
applied Numerical Renormalization Group calculations to investigate the lowest energy levels,
susceptibility and speci(cid:28)c heat.
Agradecimentos
Ao Prof. Valter pela paciŒncia.
(cid:15)
Aos colegas de grupo Vivaldo, Lu(cid:237)s Ramos, Nilva, Marcelo, Neemias, Kerson, An-
(cid:15)
t(cid:244)nio, Klaus, Sandra, C(cid:237)ntia e prof. Lu(cid:237)s Nunes.
AosamigosHenrique,Nazareno,AnaTereza, PauloRoberto,Viviane,PauloAlexan-
(cid:15)
dre, Roberto, Reginaldo, Queite, Carlos Alberto, ...
Aos funcionÆrios do IFSC: Wladerez, Bruno, Luciano, Nilzeli, Cristina, Mateus, ...
(cid:15)
(cid:192) minha namorada Sueli e (cid:224) minha fam(cid:237)lia pelo apoio e incentivo: minha mªe
(cid:15)
Nanuh, minhas irmªs Patr(cid:237)cia e Joanice.
Especialmente aos amigos e conhecidos que esqueci de citar...
(cid:15)
(cid:192) Deus, criador das duas ma(cid:231)ªs: a da consciŒncia (Eva) e a do conhecimento (New-
(cid:15)
ton).
Este trabalho foi (cid:28)nanciado pela Capes.
SumÆrio
1 Apresenta(cid:231)ªo 16
1.1 Introdu(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Modelo de Anderson de dois canais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Grupo de Renormaliza(cid:231)ªo NumØrico (GRN) . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Resultado: comportamento nªo-l(cid:237)quido de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Organiza(cid:231)ªo da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Modelos de Anderson 28
2.1 Modelo de Anderson de um canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Modelo de Anderson de dois canais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Proposta de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Transforma(cid:231)ªo de Schrie(cid:27)er-Wol(cid:27) para dois canais . . . . . . . . . . 39
3 Diagonaliza(cid:231)ªo do Hamiltoniano de Anderson de dois canais pelo GRN 44
3.1 Grupo de Renormaliza(cid:231)ªo NumØrico: hist(cid:243)rico . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Hamiltoniano de Anderson de dois canais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Discretiza(cid:231)ªo logar(cid:237)tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.1 Primeira etapa da discretiza(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Segunda etapa da discretiza(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Diagonaliza(cid:231)ªo iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 Os vetores da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iv
3.5.2 Os elementos de matriz de HN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.3 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.4 Itera(cid:231)ªo N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
(cid:0)
3.5.5 Itera(cid:231)ªo N = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 EquivalŒncia com o Modelo de Kondo de dois canais . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 GRN e pontos (cid:28)xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8 CÆlculo da suscetibilidade magnØtica e do calor espec(cid:237)(cid:28)co . . . . . . . . . . 70
3.9 Implementa(cid:231)ªo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Resultados 77
4.1 Pontos (cid:28)xos do Hamiltoniano de Anderson de dois canais . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Regime de impureza livre: V1 = V2 = 0 e (cid:1) qualquer . . . . . . . . 80
4.1.2 Regime anisotr(cid:243)pico: V1 = V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6
4.1.3 Regime isotr(cid:243)pico: V1 = V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Suscetibilidade magnØtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Regime anisotr(cid:243)pico: V1 = V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6
4.2.2 Regime isotr(cid:243)pico: V1 = V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Calor espec(cid:237)(cid:28)co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Sugestıes para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A Constru(cid:231)ªo dos vetores da base 98
B Constru(cid:231)ªo dos elementos de matriz 102
C Constru(cid:231)ªo dos Invariantes 109
ReferŒncias BibliogrÆ(cid:28)cas 116
v
Lista de Figuras
1.1 Dados experimentais da suscetibilidade do Th1 xUxRu2Si2, retirado da
(cid:0)
Ref. [8]. Estes dadosmostramdivergŒncialogar(cid:237)tmicaembaixatemperatura. 17
1.2 Efeito Kondo multicanal. S Ø o spin da impureza, s Ø o spin dos elØtrons
de condu(cid:231)ªo e S0 Ø o spin resultante. NoziŁres e Blandin analisaram uma
impureza magnØtica considerando sua estrutura orbital, campo cristalino
e desdobramento spin-(cid:243)rbita. Isso resulta no acoplamento da impureza
com a banda de condu(cid:231)ªo atravØs de canais (cada canal representa um
conjunto de nœmeros qu(cid:226)nticos). Quando os acoplamentos de cada canal
com a impureza forem iguais e o nœmero de canais n for diferente de 2S,
o spin da impureza nªo Ø devidamente compensado. No item a) temos a
situa(cid:231)ªo em que n < 2S resultando num spin total S0 diferente de zero
paralelo ao spin da impureza. No item b) n > 2S, resultando em um spin
total S0 diferente de zero antiparalelo ao spin da impureza. . . . . . . . . . 19
1.3 DiagramadomodelodeAndersondedoiscanais. Trata-sedeumaimpureza
magnØticaemummetalhospedeironªomagnØtico. OmetalØ representado
pela sua banda de condu(cid:231)ªo, que Ø semi-preenchida, isotr(cid:243)pica e de largura
2D. A impureza Ø representada pelo seu estado fundamental e por dois dos
seus estados excitados. O estado fundamental Ø um dubleto que tem m
elØtrons, spin total (cid:27) = 1=2 e energia Eo. Os estados excitados sªo dois
(cid:6)
dubletos que tŒm m 1 elØtrons, spin total nulo, energia Eex e canal (cid:11) = 1
(cid:6)
ou 2. O termo de hibridiza(cid:231)ªo entre a banda de condu(cid:231)ªo e a impureza Ø V(cid:11). 22
vi
1.4 Temperatura vezes suscetibilidade magnØtica da impureza em fun(cid:231)ªo de
T=TK para o Modelo de dois canais. V(cid:11) Ø o termo de hibridiza(cid:231)ªo entre
a impureza e os elØtrons de condu(cid:231)ªo do canal (cid:11) ((cid:11) = 1;2), D Ø a meia
largura da banda de condu(cid:231)ªo do metal e (cid:1) = Eex E0, sendo E0 o n(cid:237)vel
(cid:0)
de energia do estado fundamental da impureza e Eex a energia do estado
excitado. A linha cheia Ø a curva universal obtida por Tsvelick et al para
o Efeito Kondo de um canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Esquema do Modelo de Anderson tradicional. A banda de condu(cid:231)ªo do
metal Ø semi-preenchida e isotr(cid:243)pica. A impureza Ø representada pelas
suas quatro con(cid:28)gura(cid:231)ıes poss(cid:237)veis, sendo "d a energia do orbital quando
ocupadocomapenasumelØtrone2"d+U quandoocupadopordoiselØtrons.
V Ø a energia de hibridiza(cid:231)ªo. Se 2"d +U = 0 temos o chamado Modelo
de Anderson simØtrico, que exibe simetria part(cid:237)cula-buraco. . . . . . . . . . 29
2.2 No Modelo de Kondo o spin da impureza Ø (cid:28)xo, podendo apenas mudar
sua orienta(cid:231)ªo quando espalha os elØtrons de condu(cid:231)ªo. . . . . . . . . . . . 31
2.3 Temperatura multiplicada pela suscetibilidade magnØtica em fun(cid:231)ªo de
kBT=D do Modelo de Anderson de um canal. A linha cheia Ø a curva
universal do Modelo de Kondo de um canal. No inset podemos perceber o
comportamento linear em baixas temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Representa(cid:231)ªo hipotØtica da energia de valŒncia de uma impureza com
orbital semi-preenchido para as con(cid:28)gura(cid:231)ıes de energia mais baixas. A
parÆbola Ø dada pela expressªo Em = Edm+Um(m 1)=2, onde Ed Ø a
(cid:0)
energiadoorbital(emrela(cid:231)ªoaon(cid:237)veldeFermi),emØonœmerodeelØtrons
no orbital. Veja que fazendo m = 0, m = 1, ou m = 2 reproduzimos os
n(cid:237)veis de energia da impureza do Modelo de Anderson (Fig. 2.1). . . . . . . 37
vii
2.5 Modelo de Anderson de dois canais em que o estado fundamental Ø um
dubleto com m part(cid:237)culas e spin total (cid:27) = 1=2 e dois dubletos como
(cid:6)
estados excitados, com m 1 part(cid:237)culas, spin total igual a zero e com canal
(cid:6)
(cid:11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Esquema de intera(cid:231)ıes entre os estados da impureza e os elØtrons de con-
du(cid:231)ªo. m Ø o nœmero de elØtrons no orbital da impureza. (cid:27) = 1=2,
(cid:6)
quando (cid:11) = 1, (cid:11) = 2 e vice-versa. Em a) um elØtron de condu(cid:231)ªo
(cid:0)
(k;(cid:27);(cid:11)) se hibridiza com o estado local (m 1; (cid:11)) e forma o estado de
(cid:0) (cid:0)
spin (cid:27). Em b) um elØtron de condu(cid:231)ªo (k; (cid:27);(cid:11)) se hibridiza com o estado
(cid:0)
local (m;(cid:27)) em uma combina(cid:231)ªo singleto, resultando em estado de canal
(m+1;(cid:11)) (spin 0). Logicamente processos inversos sªo permitidos. . . . . 39
2.7 No esquema superior temos o Modelo de Anderson tradicional (um canal)
na con(cid:28)gura(cid:231)ªo de caso simØtrico. Logo abaixo, temos o mesmo modelo
mas agora com nota(cid:231)ªo m;(cid:27) onde m Ø o nœmero de elØtrons e (cid:27) Ø o spin
j i
total do estado. No esquema inferior temos o Modelo de Anderson de dois
canais em que o estado fundamental Ø um dubleto com m part(cid:237)culas e spin
total (cid:27) e dois dubletos como estados excitados, com m 1 part(cid:237)culas, spin
(cid:6)
total igual a zero e com canal (cid:11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 a) Banda de condu(cid:231)ªo com largura 2D, semi-preenchida e isotr(cid:243)pica. b)
A banda Ø discretizada logaritmicamente pelos par(cid:226)metros (cid:3) > 1, sendo (cid:3)
um nœmero inteiro, e z > 0 onde z Ø um nœmero real. O primeiro intervalo
z
Ø 1 < "k < (cid:3)(cid:0) e os demais sªo obtidos pela divisªo por (cid:3) (para o lado
n
negativo da banda o procedimento Ø anÆlogo). c)Multiplicando por (cid:3) , n
inteiro positivo, a estrutura de n(cid:237)veis de mais baixa energia (pr(cid:243)ximos ao
n(cid:237)vel de Fermi) nªo muda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
viii
3.2 Do trabalho de Krishnna-murthy retiramos estas trŒs (cid:28)guras que represen-
tam as bases dos operadores da banda de condu(cid:231)ªo. a) Base de operadores
c";(cid:27);(cid:11), onde os estados tŒm energia bem de(cid:28)nida mas sªo delocalizados es-
pacialmente. A impureza estÆ localizada em r = 0. b) Base de operadores
{ayn;(cid:27);(cid:11); byn;(cid:27);(cid:11)} onde as energias dos estados estªo restritas aos valores mØ-
dios de cada intervalo. Veja que quanto maior Ø a energia associada aos
operadores a e b, mais em torno da impureza eles sªo (as caixas de taman-
hos diferentes mas rasuradas da mesma forma representam o mesmo par
de operadores). c) Base de operadores {fny;(cid:27);(cid:11)} onde os estados somente se
acoplam com estados vizinhos de acordo com a transforma(cid:231)ªo de Lanczos.
f0 Ø o estado mais localizado espacialmente em torno da impureza, mas Ø
o menos localizado no espa(cid:231)o das energias. O oposto ocorre para n grande. 51
3.3 Pontos (cid:28)xos e trajet(cid:243)rias no espa(cid:231)o de fase. Em a) temos um ponto (cid:28)xo
estÆvel. Em b) temos um ponto (cid:28)xo que Ø estÆvel em uma dire(cid:231)ªo (linha
reta), mas instÆvel nas outras o que signi(cid:28)ca que ele tem pelo menos um
operador relevante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Esquemadoprocedimentointercaladomostrando,comoexemplo,umaban-
da discretizada com (cid:3) = 4 e z = 1:0 (em cima), outra com (cid:3) = 4 e z = 0:5
(no meio) e outra com (cid:3) = 2 e z = 1:0 (em baixo). Podemos ver que
intercalando a banda de cima com a banda do meio teremos a banda com
(cid:3) = 2 e z = 1:0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Duas curvas de calor espec(cid:28)(cid:28)co com os mesmos par(cid:226)metros V1 = 0:005,
V2 = 0:01 e (cid:1) = Eex E0 = 0:002, mas em um deles foi feito o procedi-
(cid:0)
mento intercalado. Podemos observar que as oscila(cid:231)ıes sªo sensivelmente
reduzidas com este processo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ix