Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, 3a edizione (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

455 Pages·2008·6.731 MB·Italian

by  Alfio Quarteroni

A Fulvia,Silvia e Marzia
A. Quarteroni
Modellistica numerica
per problemi differenziali
3a edizione
1 3
ALFIOQUARTERONI
MOX - Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano e
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne
La figura in copertina rappresenta le isolinee del modulo della velocità di un fluido
intorno ad una schiera di cilindri.La simulazione è stata ottenuta da Paola Gervasio
mediante risoluzione con elementi spettrali.
ISBN 10 88-470-0493-4 Springer Milan Berlin Heidelberg New York
ISBN 13 978-88-470-0493-1 Springer Milan Berlin Heidelberg New York
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Impianti forniti dall’autore
Progetto grafico della copertina:Simona Colombo,Milano
Stampa:Signum,Bollate (Mi)
Stampato in Italia
Indice
Prefazione....................................................... XI
1 Richiamisulleequazioniallederivateparziali ....................... 1
1.1 Definizioniedesempi......................................... 1
1.2 Necessitàdellarisoluzionenumerica ............................ 3
1.3 ClassificazionedelleEDP...................................... 5
1.3.1 FormaquadraticaassociataadunaEDP ................... 8
1.4 Esercizi..................................................... 9
2 Equazioniditipoellittico ......................................... 11
2.1 Unesempiodiproblemaellittico:
l’equazionediPoisson....................................... 11
2.2 IlproblemadiPoissonnelcasomonodimensionale ................ 12
2.2.1 ProblemadiDirichletomogeneo ......................... 13
2.2.2 ProblemadiDirichletnonomogeneo...................... 19
2.2.3 ProblemadiNeumann .................................. 19
2.2.4 Problemamistoomogeneo .............................. 20
2.2.5 Condizionialbordomiste(odiRobin) .................... 20
2.3 IlproblemadiPoissonnelcasobidimensionale.................... 21
2.3.1 IlproblemadiDirichletomogeneo........................ 21
2.3.2 Equivalenza,nelsensodelledistribuzioni,tralaforma
deboleelaformafortedelproblemadiDirichlet............ 24
2.3.3 Ilproblemaconcondizionimistenonomogenee ............ 24
2.3.4 Equivalenza,nelsensodelledistribuzioni,tralaforma
deboleelaformaforteperilproblemadiNeumann ......... 27
2.4 Problemiellitticipiùgenerali................................... 28
2.4.1 Teoremadiesistenzaeunicità ........................... 30
2.5 Esercizi..................................................... 32
VI Indice
3 IlmetododiGalerkin-elementifinitiperproblemiellittici ............ 37
3.1 ApprossimazioneconilmetododiGalerkin ...................... 37
3.2 AnalisidelmetododiGalerkin ................................. 39
3.2.1 Esistenzaeunicità ..................................... 39
3.2.2 Stabilità .............................................. 40
3.2.3 Convergenza .......................................... 40
3.3 Ilmetododeglielementifinitinelcasomonodimensionale .......... 43
3.3.1 UnadefinizionedielementofinitonelcasoLagrangiano ..... 47
3.3.2 L’approssimazioneconelementifinitilineari ............... 48
3.3.3 Interpolazioneestimadiinterpolazione ................... 50
3.3.4 Stimadell’errorenellanormaH1 ......................... 52
3.4 Ilmetododeglielementifinitinelcasomultidimensionale........... 53
3.4.1 RisoluzionedelproblemadiPoissonconelementifiniti ...... 56
3.4.2 Condizionamentodellamatricedirigidezza ................ 58
3.4.3 Stimadell’errorediapprossimazionenellanormadell’energia. 61
3.4.4 Stimadell’errorediapprossimazioneinnormaL2........... 68
3.5 Ilproblemadell’adattivitàdellagriglia........................... 71
3.5.1 Adattivitàaprioribasatasullaricostruzionedellederivate .... 73
3.5.2 Adattivitàaposteriori................................... 75
3.5.3 Stimeaposterioridell’errorenellanormaL2 ............... 80
3.5.4 Stimeaposterioridiunfunzionaledell’errore .............. 84
3.6 Comeottenereilproblemaaggiunto............................. 86
3.6.1 Ilcasolineare ......................................... 87
3.6.2 Ilcasononlineare ..................................... 88
3.7 Esercizi..................................................... 91
4 Imetodispettrali................................................. 97
4.1 IlmetododiGalerkinspettraleperunproblemaellittico ............ 97
4.2 Polinomiortogonalieintegrazionenumericagaussiana.............101
4.2.1 PolinomiortogonalidiLegendre .........................101
4.2.2 Integrazionegaussiana..................................104
4.2.3 LeformulediGauss-Legendre-Lobatto....................105
4.3 MetodiG-NIinunadimensione ................................108
4.3.1 InterpretazionealgebricadelmetodoG-NI .................109
4.3.2 CondizionamentodellamatricedirigidezzadelmetodoG-NI .111
4.3.3 EquivalenzatrailmetodoG-NIeunmetododicollocazione..112
4.4 Generalizzazionealcasobidimensionale.........................116
4.4.1 ConvergenzadelmetodoG-NI ...........................118
4.5 MetodoG-NIeMES-NIperunproblemamodellomonodimensionale126
4.5.1 IlmetodoG-NI........................................127
4.5.2 IlmetodoMES-NI .....................................131
4.6 Metodispettralisutriangolietetraedri...........................134
4.7 Esercizi.....................................................139
Indice VII
5 Equazionididiffusione-trasporto-reazione..........................141
5.1 Formulazionedeboledelproblema..............................141
5.2 Analisidiunproblemadidiffusione-trasportomonodimensionale....144
5.3 Analisidiunproblemadidiffusione-reazionemonodimensionale ....148
5.4 Relazionitraelementifinitiedifferenzefinite.....................150
5.5 Latecnicadelmass-lumping ...................................152
5.6 Schemidecentratiediffusioneartificiale .........................154
5.7 Autovaloridelproblemadidiffusione-trasporto ...................157
5.8 Metodidistabilizzazione ......................................159
5.8.1 Diffusioneartificialeeschemidecentratiaglielementifiniti...160
5.8.2 IlmetododiPetrov-Galerkin.............................162
5.8.3 Ilmetododelladiffusioneartificialee dellastreamline
diffusionnelcasobidimensionale.........................163
5.8.4 Consistenza ed erroredi troncamentoper i metodidi
GalerkinediGalerkingeneralizzato ......................165
5.8.5 Partesimmetricaeantisimmetricadiunoperatore...........165
5.8.6 Metodifortementeconsistenti(GLS,SUPG,DW)...........167
5.8.7 AnalisidelmetodoGLS ................................169
5.8.8 Stabilizzazionetramitefunzioniabolla....................175
5.9 Alcunitestnumerici ..........................................178
5.10 Unesempiodiadattivitàgoal-oriented...........................179
5.11 Esercizi.....................................................181
6 Equazioniparaboliche............................................185
6.1 Formulazionedeboleesuaapprossimazione ......................186
6.2 Stimeapriori................................................189
6.3 Analisidiconvergenzadelproblemasemi-discreto.................192
6.4 Analisidistabilitàdelθ-metodo ................................194
6.5 Analisidiconvergenzadelθ-metodo ............................198
6.6 Ilcasodell’approssimazionespettraleG-NI.......................201
6.7 Esercizi.....................................................203
7 Differenzefiniteperequazioniiperboliche ..........................207
7.1 Unproblemaditrasportoscalare................................207
7.1.1 Unastimaapriori......................................209
7.2 Sistemidiequazioniiperbolichelineari ..........................211
7.2.1 L’equazionedelleonde .................................213
7.3 Ilmetododelledifferenzefinite.................................215
7.3.1 Discretizzazionedell’equazionescalare....................216
7.3.2 Discretizzazionedisistemiiperbolicilineari ...............217
7.3.3 Trattamentodelbordo ..................................218
7.4 Analisideimetodialledifferenzefinite ..........................219
7.4.1 Consistenzaeconvergenza ..............................219
7.4.2 Stabilità ..............................................219
7.4.3 AnalisidiVonNeumannecoefficientidiamplificazione .....224
VIII Indice
7.4.4 Dissipazioneedispersione ..............................229
7.5 Equazioniequivalenti .........................................233
7.5.1 Ilcasodelloschemaupwind.............................233
7.5.2 IlcasodeimetodidiLax-FriedrichseLax-Wendroff.........236
7.5.3 Sulsignificatodeicoefficientinelleequazioniequivalenti ....236
7.5.4 Equazioniequivalentieanalisidell’errore..................237
7.6 Esercizi.....................................................238
8 Elementifinitiemetodispettraliperequazioniiperboliche............241
8.1 Discretizzazionetemporale ....................................241
8.1.1 GlischemidiEuleroinavantieall’indietro ................241
8.1.2 Glischemiupwind,diLax-FriedrichseLax-Wendroff .......243
8.2 GlischemiTaylor-Galerkin ....................................246
8.3 Ilcasomultidimensionale......................................252
8.3.1 Condizionialbordoecondizionidicompatibilità ...........254
8.3.2 Discretizzazionetemporale..............................256
8.4 Elementifinitidiscontinui .....................................258
8.4.1 Ilcasounidimensionale.................................258
8.4.2 Ilcasomultidimensionale ...............................264
8.5 Elementifinitispazio-temporali.................................266
8.6 Approssimazioneconmetodispettrali ...........................268
8.6.1 IlmetodoG-NIinunsingolointervallo....................268
8.6.2 IlmetodoDG-SEM-NI .................................272
8.7 Trattamentonumericodellecondizionialbordopersistemiiperbolici.274
8.7.1 Trattamentodeboledellecondizionialbordo...............278
8.8 Esercizi.....................................................280
9 Cenniaproblemiiperbolicinonlineari .............................281
9.1 Equazioniscalari.............................................281
9.2 Approssimazionealledifferenzefinite ...........................286
9.3 Approssimazioneconelementifinitidiscontinui...................288
9.4 Sistemiiperbolicinon-lineari...................................296
10 LeequazionidiNavier-Stokes .....................................301
10.1 FormulazionedeboledelleequazionidiNavier-Stokes .............303
10.2 LeequazionidiStokeselaloroapprossimazione..................308
10.3 Problemidipunto-sella........................................312
10.3.1 Formulazionedelproblema..............................312
10.3.2 Analisidelproblemadipunto-sella .......................313
10.3.3 ApprossimazioneconilmetododiGalerkinedanalisidi
stabilitàeconvergenza..................................317
10.4 FormulazionealgebricadelproblemadiStokes ...................320
10.5 Unesempiodiproblemastabilizzato ............................324
10.6 Unesempionumerico.........................................326
10.7 DiscretizzazioneintempodelleequazionidiNavier-Stokes .........328
Indice IX
10.7.1 Metodialledifferenzefinite .............................329
10.7.2 Metodiallecaratteristiche(oLagrangiani) .................331
10.7.3 Metodiapassifrazionari................................332
10.8 RisoluzionedelsistemadiStokesemetodidifattorizzazionealgebrica335
10.9 Esercizi.....................................................339
11 Cennidiprogrammazionedeglielementifiniti.......................343
11.1 Fasioperativediuncodiceaelementifiniti .......................343
11.1.1 Dueparolesulcodiceutilizzato ..........................346
11.2 Calcolonumericodegliintegrali ................................347
11.2.1 Lecoordinatebaricentriche..............................350
11.2.2 Alcuniesempidiformulediquadratura....................352
11.3 Memorizzazionedimatricisparse...............................353
11.4 Lafasediassemblaggio .......................................358
11.4.1 Codificadelleinformazionigeometriche...................360
11.4.2 Codificadelleinformazionifunzionali.....................364
11.4.3 Mappaturatraelementodiriferimentoeelementofisico......365
11.4.4 Lacostruzionedeisistemilocaliediquelloglobale .........369
11.4.5 Laprescrizionedellecondizionialbordo ..................373
11.5 L’integrazioneintempo .......................................376
11.6 Edoraconsideriamounesempiocompleto .......................379
12 Generazionedigriglienelcasobidimensionale ......................389
12.1 Reticolazionediundominiopoligonale ..........................389
12.2 Generazionedigrigliestrutturate ...............................392
12.3 Generazionedigriglienonstrutturate............................395
12.3.1 TriangolazionediDelaunay .............................395
12.3.2 Tecnicadiavanzamentodelfronte ........................397
12.4 Tecnichediregolarizzazione ...................................398
12.4.1 Scambiodellediagonali.................................399
12.4.2 Movimentodeinodi....................................400
13 Ilmetododeivolumifiniti.........................................403
13.1 Alcuniprincipielementari .....................................404
13.2 Lacostruzionedeivolumidicontrolloperschemivertex-centered....406
13.3 Discretizzazionediunproblemadidiffusione-trasporto-reazione.....409
13.4 Analisidell’approssimazioneaivolumifiniti......................411
13.5 Implementazionedellecondizionialbordo .......................412
13.6 CennialladiscretizzazionedelleequazionidiNavier-Stokes.........413
Appendice A Richiamidianalisifunzionale ...........................417
A.1 Funzionalieformebilineari....................................417
A.2 Richiamisulledistribuzioni ....................................418
A.2.1 Lefunzioniaquadratosommabile ........................420
A.2.2 Derivazionenelsensodelledistribuzioni...................422
X Indice
A.3 GlispazidiSobolev ..........................................423
A.3.1 RegolaritàdeglispaziHk(Ω) ............................424
A.3.2 LospazioH1(Ω) ......................................425
0
A.3.3 Glioperatoriditraccia..................................426
A.4 LospazioL∞(Ω)eglispaziLp(Ω)con1≤p<∞ .................427
A.5 Esercizi.....................................................429
Appendice B Algoritmidirisoluzionedisistemilineari .................431
B.1 Metodidiretti................................................431
B.2 Metodiiterativi ..............................................434
Riferimentibibliografici...............................................441
Indiceanalitico.......................................................447