Modelling Extremal Events: for Insurance and Finance (Stochastic Modelling and Applied Probability)

655 Pages·2008·4.95 MB·English

by  Paul Embrechts

P(cid:2) Embrechts(cid:3) C(cid:2) Klu(cid:4)ppelberg(cid:3) T(cid:2) Mikosch
Modelling Extremal Events
for Insurance and Finance
February (cid:2)(cid:3)(cid:4) (cid:2)(cid:5)(cid:5)(cid:6)
Springer(cid:2)Verlag
Berlin Heidelberg NewYork
London Paris Tokyo
HongKong Barcelona
Budapest
Voor Gerda(cid:2) Krispijn(cid:2) Eline en Frederik(cid:3)
Na al dit werk blijft (cid:4)e(cid:4)en vraagonbeantwoord(cid:5)
(cid:6)Hoe kan ik jullie ooit danken voor de opo(cid:7)ering en steun(cid:8)(cid:9)
Paul
Meinen Eltern
Thomas
Preface
Qui scribunt libros caveanta judice multo
Cum multus judex talibus immineat
Abelard (cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5)
Writers of books should beware of the verdict of the crowd
For the verdict of the crowd is prejudiced against them
Translation by Christopher Platt
Inarecentissue(cid:6)TheNewScientistranacoverstoryunderthetitle(cid:7)(cid:8)Mission
improbable(cid:9)Howtopredicttheunpredictable(cid:10)(cid:11)seeMatthews(cid:12)(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:9)Init(cid:6)the
author describes a group of mathematicians who claim that extreme value
theory(cid:2)EVT(cid:5) iscapableofdoingjust that(cid:7) predictingthe occurrenceof rare
events(cid:6) outside the range of available data(cid:9) All members of this group(cid:6) the
three of us included(cid:6) would immediately react with(cid:7) (cid:8)Yes(cid:6) but(cid:6) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:10)(cid:6) or(cid:6) (cid:8)Be
aware (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:10)(cid:9) Rather than at this point trying to explain what EVT can and
cannot do(cid:6) we would like to quote two members of the group referred to in
(cid:12)(cid:13)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:9) RichardSmith said(cid:6) (cid:8)Thereis alwaysgoingto be an elementof doubt(cid:6)
as one is extrapolating into areas one doesn(cid:16)t know about(cid:9) But what EVT
is doing is making the best use of whatever data you have about extreme
phenomena(cid:9)(cid:10) Quoting from Jonathan Tawn(cid:6) (cid:8)The key message is that EVT
cannot do magic (cid:17) but it can do a whole lot better than empirical curve(cid:17)
(cid:18)ttingandguesswork(cid:9)Myanswertothescepticsisthatifpeoplearen(cid:16)tgiven
well(cid:17)founded methods like EVT(cid:6) they(cid:16)ll just use dubious ones instead(cid:9)(cid:10)
These two quotes set the scene for the book you are holding(cid:9) Over many
yearswehavebeenincontactwithpotentialusersofEVT(cid:6)suchasactuaries(cid:6)
VI Preface
risk managers(cid:6) engineers(cid:6) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:9) Whatever theory can or cannot predict about
extremal events(cid:6) in practice the problems are there(cid:19) As scientists(cid:6) we cannot
duckthequestionoftheheightofaseadyketo bebuilt inHolland(cid:6)claiming
that this is an inadmissible problem because(cid:6) to solve it(cid:6) we would have to
extrapolate beyond the available data(cid:9) Likewise(cid:6) reinsurers have for a long
time known a great deal about extremal events(cid:11) in their case(cid:6) premiums
have to be set which both cover the insured in case of a claim(cid:6) and also are
calculatedinsuchawaythatintheeventofacatastrophe(cid:6)thecompanystays
solvent(cid:9)Finally(cid:6)recentdevelopmentsinthe(cid:18)nancialmarketscreateproducts
such as catastrophe(cid:17)linked bonds where the repayment value is contingent
on the occurrence of some well(cid:17)de(cid:18)ned catastrophe(cid:9) These and many more
examplesbene(cid:18)tfromawell(cid:17)establishedbodyoftheorywhichisnowreferred
to as EVT(cid:9) Our book gives you an introduction to the mathematical and
statistical theory underlying EVT(cid:9) It is written with a broad audience of
potential users in mind(cid:9) From the subtitle however(cid:6) it is clear that the main
target group is in the (cid:18)nancial industry(cid:9) A reason for this emphasis is that
the latter have been less exposed to EVT methodology(cid:9) This is in contrast
to hydrologists and reliability engineers(cid:6) for instance(cid:6) where for a long time
EVT has belonged to the standard toolkit(cid:9)
While our readership is expected to be broad(cid:6) we do require a certain
mathematical level(cid:9) Through the availability of standardised software(cid:6) EVT
can be at the (cid:18)ngertips ofmany(cid:9) However(cid:6)a clear understandingof its capa(cid:20)
bilities and limitations demands a fair amount of mathematical knowledge(cid:9)
Basic courses in linear algebra(cid:6) calculus(cid:6) probability and statistics are essen(cid:20)
tial(cid:9) We have tried hard to keep the technical level minimal(cid:6) stressing the
understanding of new concepts and results rather than their detailed discus(cid:20)
sionsandproofs(cid:9)Plentifulexamplesand(cid:18)guresshouldmaketheintroduction
of new methodology more digestible(cid:9)
Thosewhohavenotime toreadthebookfromcovertocover(cid:6)andrather
wantafairlystreamlinedintroductiontoEVTinpractice(cid:6)couldimmediately
startwithChapter(cid:21)(cid:9)DohoweverreadtheGuidelines (cid:18)rst(cid:9)Fromtheapplied
techniques presented in Chapter (cid:21)(cid:6) you will eventually discoverrelevant ma(cid:20)
terial from other chapters(cid:9)
A long list of references(cid:6) together with numerous sections of Notes and
Commentsshouldguidethereadertoawealthofavailablematerial(cid:9)Though
ourlistofreferencesislong(cid:6)asalwaysitre(cid:22)ectsourimmediateinterest(cid:9)Many
important paperswhich do not (cid:18)t ourpresentation havebeen omitted(cid:9) Even
in more than (cid:21)(cid:23)(cid:23)pages(cid:6) one cannot achievecompleteness(cid:11) the biggest gap is
doubtlessmultivariateextremevaluetheory(cid:9)Thisisde(cid:18)nitelyashortcoming(cid:19)
We feel that mathematical theory has to go hand in hand with statistical
Preface VII
theory and computer software before it can safely be presented to the end(cid:17)
user(cid:6) but for the multivariate case(cid:6) despite important recent progress(cid:6) we
do not feel that the theory has reached a stage as well(cid:17)established as the
one(cid:17)dimensional one(cid:9)
As with any major project(cid:6) we owe thanks to lots of people(cid:9) First of all(cid:6)
there are those colleagues and friends who have helped us in ways which go
far beyond what normally can be hoped for(cid:9) Charles Goldie was a constant
source of inspiration and help(cid:6) both on mathematical issues(cid:6) as well as on
stylistic ones(cid:9) He realised early on that three authors who are not native
English speakers(cid:6) when left alone(cid:6) will produce a Flemish(cid:17)Dutch(cid:17)German(cid:17)
Swiss version of the English language which is bound to bemuse many(cid:9) In
his typical diplomatic manner(cid:6) Charlesconstructed con(cid:18)dencebandsaround
proper English which he hoped we would not overstep too often(cid:9) The (cid:18)ne
tuning and (cid:18)nal decisions were of course always in our hand(cid:6) hence also the
full responsibility for the (cid:18)nal outcome(cid:9)
Gabriele Baltes(cid:6) Jutta Gonska and Sigrid Ho(cid:24)mann made an art out of
a
producing numerous versions in LTEX of half readable manuscripts at var(cid:20)
ious stages(cid:9) They went far beyond the support expected from a secretary(cid:9)
The many computer graphs in the book show only the tip of the iceberg(cid:9)
For each one produced(cid:6) numerous were proposed(cid:6) discussed(cid:6) altered(cid:6) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:9) We
owe many thanks(cid:6) also for various other support throughout the project(cid:6)
to Franco Bassi(cid:6) Klemens Binswanger(cid:6) Milan Borkovec(cid:6) Hansjo(cid:25)rg Furrer(cid:6)
Natascha Jung(cid:6) Anne Kampovsky(cid:6) Alexander McNeil and Patricia Mu(cid:25)ller(cid:9)
For the software used we thank Alexander McNeil(cid:6) John Nolan and Richard
Smith(cid:9)
Many colleagues helped in proofreading parts of the book at various
stages(cid:7) Gerd Christoph(cid:6) Daryl Daley(cid:6) Ru(cid:25)diger Frey(cid:6) Jan Grandell(cid:6) Maria
Kafetzakis(cid:6) Marcin Kotulski(cid:6) Frank Oertel(cid:6) Sid Resnick(cid:6) Chris Rogers(cid:6) Gen(cid:20)
nady Samorodnitsky(cid:6) Hanspeter Schmidli and Josef Steinebach(cid:9) Their crit(cid:20)
ical remarks kept us on our toes(cid:19) Obviously there has been an extensive
exchange with the (cid:18)nance industry as potential end(cid:17)user(cid:6) in the form of
informal discussions(cid:6) seminars or lectures(cid:9) Moreover(cid:6) many were generous in
sharingtheirdatawithus(cid:9)Wehopethatthe(cid:18)naloutcomewillalsohelpthem
in their everydayhandling of extremal events(cid:7) Alois Gisler (cid:2)Winterthur Ver(cid:20)
sicherungen(cid:5)(cid:6) Ren(cid:26)e Held and Hans Fredo List (cid:2)Swiss Reinsurance(cid:5)(cid:6) Richard
Olsen (cid:2)Olsen and Associates(cid:5)(cid:6) Mette Rytgaard (cid:2)Copenhagen Reinsurance(cid:5)
and Wolfgang Schmidt (cid:2)Deutsche Bank(cid:5)(cid:9)
All three of us take pleasure in thanking our respective home institu(cid:20)
tionsandcolleaguesfortheirmuchappreciatedsupport(cid:9)Onecolleaguemeans
something special to all three of us(cid:7) Hans Bu(cid:25)hlmann(cid:9) His stimulating enthu(cid:20)
VIII Preface
siasm for the beauty and importance of actuarial mathematics provided the
ideal environment for our project to grow(cid:9) We have bene(cid:18)tted constantly
from his scholarly advice and warm friendship(cid:9)
Thesubtitleofthebook(cid:8)ForInsuranceandFinance(cid:10)hintsatthepoten(cid:20)
tial (cid:18)nancial applications(cid:9) The (cid:8)real thing(cid:10)(cid:6) be it either Swiss Francs(cid:6) Ger(cid:20)
man Marks or Dutch Guilders(cid:6) was provided to us through various forms of
support(cid:9) Both the Forschungsinstitut fu(cid:25)r Mathematik (cid:2)ETH(cid:5) and the Math(cid:20)
ematisches Forschungsinstitut Oberwolfach provided opportunities for face(cid:17)
to(cid:17)face meetings at critical stages(cid:9)
PE recalls fondly the most stimulating visit he had(cid:6) as part of his sab(cid:20)
batical in the autumn of (cid:3)(cid:27)(cid:27)(cid:21)(cid:6) at the School of ORIE at Cornell University(cid:9)
Thesplendidsocialandacademicenvironmentfacilitated thesuccessfulcon(cid:20)
clusion of the book(cid:9) CK worked on this project partly at ETH Zu(cid:25)rich and
partly at the Johannes Gutenberg University of Mainz(cid:9) During most of the
time she spent on the book in Zu(cid:25)rich she was generously supported by the
Schweizerische Lebensversicherungs(cid:17) und Rentenanstalt(cid:6) the Schweizerische
Ru(cid:25)ckversicherungs(cid:17)Gesellschaft(cid:2)SwissRe(cid:5)(cid:6)Winterthur(cid:17)Versicherungen(cid:6)and
the Union Ru(cid:25)ckversicherungs(cid:17)Gesellschaft(cid:9) Her sincere thanks go to these
companies(cid:9)TMremembers with nostalgiahis time in New Zealandwhere he
wrotehis(cid:18)rstpartsofthebook(cid:9)ThemoralsupportofhiscolleaguesatISOR
of the Victoria University of Wellington allowed him to concentrate fully on
writing(cid:9) He gratefully acknowledges the (cid:18)nancial support of a New Zealand
FRST Grant(cid:9)
Last but not least(cid:6) we thank our students(cid:19) One of the great joys of being
an academic is being able to transfer scienti(cid:18)c knowledge to young people(cid:9)
Their questions(cid:6) projects and interest made us feel we were on the right
track(cid:9)Wehopethattheireagernesstolearnandenthusiasmtocommunicate
is felt throughout the pages of this book(cid:9)
November(cid:6) (cid:3)(cid:27)(cid:27)(cid:21) PE(cid:6) Zu(cid:25)rich
CK(cid:6) Mainz
TM(cid:6) Groningen
Table of Contents
Reader Guidelines (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)
(cid:2) Risk Theory (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:3)
(cid:3)(cid:9)(cid:3) The Ruin Problem(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:4)
(cid:3)(cid:9)(cid:4) The Cram(cid:26)er(cid:17)LundbergEstimate (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:14)
(cid:3)(cid:9)(cid:28) Ruin Theory for Heavy(cid:17)Tailed Distributions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:21)
(cid:3)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:3) Some Preliminary Results (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:29)
(cid:3)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:4) Cram(cid:26)er(cid:17)Lundberg Theory for Subexponential
Distributions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:27)
(cid:3)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:28) The Total Claim Amount in the Subexponential Case(cid:0) (cid:13)(cid:13)
(cid:3)(cid:9)(cid:13) Cram(cid:26)er(cid:17)LundbergTheory for Large Claims(cid:7) a Discussion(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:27)
(cid:3)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:3) Some Related Classes of Heavy(cid:17)Tailed Distributions (cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:27)
(cid:3)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:4) The Heavy(cid:17)Tailed Cram(cid:26)er(cid:17)LundbergCase Revisited(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:28)
(cid:3) Fluctuations of Sums (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:27)
(cid:4)(cid:9)(cid:3) The Laws of Large Numbers (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:21)(cid:23)
(cid:4)(cid:9)(cid:4) The Central Limit Problem(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:29)(cid:23)
(cid:4)(cid:9)(cid:28) Re(cid:18)nements of the CLT (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:14)(cid:4)
(cid:4)(cid:9)(cid:13) The Functional CLT(cid:7) Brownian Motion Appears(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:14)(cid:14)
(cid:4)(cid:9)(cid:30) Random Sums (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:27)(cid:21)
(cid:4)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:3) General Randomly Indexed Sequences(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:27)(cid:21)
(cid:4)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:4) Renewal Counting Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:23)(cid:28)
(cid:4)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:28) Random Sums Driven by Renewal Counting Processes (cid:3)(cid:23)(cid:21)
(cid:4) Fluctuations of Maxima (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:3)(cid:28)
(cid:28)(cid:9)(cid:3) Limit Probabilities for Maxima(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:3)(cid:13)
(cid:28)(cid:9)(cid:4) Weak Convergenceof Maxima Under A(cid:31)ne Transformations(cid:0) (cid:3)(cid:4)(cid:23)
(cid:28)(cid:9)(cid:28) Maximum Domains of Attraction and Norming Constants (cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:4)(cid:14)
(cid:28)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:3) The Maximum Domain of Attraction of the Fr(cid:26)echet
(cid:0)(cid:0)
Distribution (cid:2)(cid:0)(cid:2)x(cid:5) exp x (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:28)(cid:23)
f(cid:2) g
X Table of Contents
(cid:28)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:4) The Maximum Domain of Attraction of the Weibull
(cid:0)
Distribution (cid:3)(cid:0)(cid:2)x(cid:5) exp (cid:2) x(cid:5) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:28)(cid:13)
f(cid:2) (cid:2) g
(cid:28)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:28) The Maximum Domain of Attraction of the Gumbel
Distribution (cid:4)(cid:2)x(cid:5) exp exp x (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:28)(cid:14)
f(cid:2) f(cid:2) gg
(cid:28)(cid:9)(cid:13) The Generalised Extreme Value Distribution and the
Generalised ParetoDistribution (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:30)(cid:4)
(cid:28)(cid:9)(cid:30) Almost Sure Behaviour of Maxima(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:21)(cid:14)
(cid:5) Fluctuations of Upper Order Statistics(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:14)(cid:3)
(cid:13)(cid:9)(cid:3) Order Statistics (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:14)(cid:4)
(cid:13)(cid:9)(cid:4) The Limit Distribution of Upper Order Statistics(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:3)(cid:27)(cid:21)
(cid:13)(cid:9)(cid:28) The Limit Distribution of Randomly Indexed
Upper Order Statistics (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:23)(cid:13)
(cid:13)(cid:9)(cid:13) Some Extreme Value Theory for Stationary Sequences (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:23)(cid:27)
(cid:6) An Approach to Extremes via Point Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:3)(cid:27)
(cid:30)(cid:9)(cid:3) Basic Facts about Point Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:4)(cid:23)
(cid:30)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:3) De(cid:18)nition and Examples (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:4)(cid:23)
(cid:30)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:4) Distribution and Laplace Functional (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:4)(cid:30)
(cid:30)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:28) Poisson Random Measures(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:4)(cid:21)
(cid:30)(cid:9)(cid:4) Weak Convergenceof Point Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:28)(cid:4)
(cid:30)(cid:9)(cid:28) Point Processesof Exceedances(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:28)(cid:29)
(cid:30)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:3) The IID Case (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:28)(cid:14)
(cid:30)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:4) The Stationary Case(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:13)(cid:4)
(cid:30)(cid:9)(cid:13) Applications of Point Process Methods to IID Sequences (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:13)(cid:29)
(cid:30)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:3) Records and Record Times (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:13)(cid:14)
(cid:30)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:4) Embedding Maxima in Extremal Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:30)(cid:23)
(cid:30)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:28) The Frequency of Records and the Growth
of Record Times (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:30)(cid:13)
(cid:30)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:13) Invariance Principle for Maxima(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:21)(cid:23)
(cid:30)(cid:9)(cid:30) Some Extreme Value Theory for Linear Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:21)(cid:28)
(cid:30)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:3) Noise in the Maximum Domain of Attraction
of the Fr(cid:26)echet Distribution (cid:2)(cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:21)(cid:13)
(cid:30)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:4) Subexponential Noise in the Maximum Domain
of Attraction of the Gumbel Distribution (cid:4)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:29)(cid:29)
(cid:7) Statistical Methods for Extremal Events(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:14)(cid:28)
(cid:21)(cid:9)(cid:3) Introduction (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:14)(cid:28)
(cid:21)(cid:9)(cid:4) ExploratoryData Analysis for Extremes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:27)(cid:23)
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:3) Probability and Quantile Plots(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:27)(cid:23)
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:4) The Mean Excess Function (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:4)(cid:27)(cid:13)
Table of Contents XI
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:28) Gumbel(cid:16)s Method of Exceedances (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:23)(cid:28)
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:13) The Return Period (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:23)(cid:30)
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:30) Records as an ExploratoryTool (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:23)(cid:29)
(cid:21)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:21) The Ratio of Maximum and Sum(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:23)(cid:27)
(cid:21)(cid:9)(cid:28) ParameterEstimation for the Generalised Extreme
Value Distribution(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:3)(cid:21)
(cid:21)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:3) Maximum Likelihood Estimation (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:3)(cid:29)
(cid:21)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:4) Method of Probability(cid:17)WeightedMoments(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:4)(cid:3)
(cid:21)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:28) Tail and Quantile Estimation(cid:6) a First Go(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:4)(cid:28)
(cid:21)(cid:9)(cid:13) Estimating Under Maximum Domain
of Attraction Conditions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:4)(cid:30)
(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:3) Introduction (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:4)(cid:30)
(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:4) Estimating the Shape Parameter (cid:5)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:4)(cid:29)
(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:28) Estimating the Norming Constants (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:13)(cid:30)
(cid:21)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:13) Tail and Quantile Estimation (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:13)(cid:14)
(cid:21)(cid:9)(cid:30) Fitting Excesses Over a Threshold(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:30)(cid:4)
(cid:21)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:3) Fitting the GPD (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:30)(cid:4)
(cid:21)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:4) An Application to Real Data (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:30)(cid:14)
(cid:8) Time Series Analysis for Heavy(cid:9)Tailed Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:29)(cid:3)
(cid:29)(cid:9)(cid:3) A Short Introduction to Classical Time Series Analysis(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:29)(cid:4)
(cid:29)(cid:9)(cid:4) Heavy(cid:17)Tailed Time Series (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:29)(cid:14)
(cid:29)(cid:9)(cid:28) Estimation of the Autocorrelation Function(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:14)(cid:3)
(cid:29)(cid:9)(cid:13) Estimation of the Power Transfer Function (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:14)(cid:21)
(cid:29)(cid:9)(cid:30) ParameterEstimation for ARMA Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:28)(cid:27)(cid:28)
(cid:29)(cid:9)(cid:21) Some Remarks About Non(cid:17)Linear Heavy(cid:17)Tailed Models(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:23)(cid:28)
(cid:10) Special Topics (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:3)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:3) The Extremal Index (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:3)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:3) De(cid:18)nition and Elementary Properties (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:3)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:4) Interpretation and Estimation of the Extremal Index (cid:0) (cid:13)(cid:3)(cid:14)
(cid:14)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:28) Estimating the Extremal Index from Data(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:4)(cid:13)
(cid:14)(cid:9)(cid:4) A Large Claim Index (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:23)
(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:3) The Problem (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:23)
(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:4) The Index (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:3)
(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:28) Some Examples (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:13) On Sums and Extremes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:21)
(cid:14)(cid:9)(cid:28) When and How Ruin Occurs(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:27)
(cid:14)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:3) Introduction (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:28)(cid:27)
(cid:14)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:4) The Cram(cid:26)er(cid:17)LundbergCase (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:13)(cid:13)
(cid:14)(cid:9)(cid:28)(cid:9)(cid:28) The Large Claim Case (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:13)(cid:27)
XII Table of Contents
(cid:14)(cid:9)(cid:13) Perpetuities and ARCH Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:30)(cid:13)
(cid:14)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:3) Stochastic Recurrence Equations and Perpetuities (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:30)(cid:30)
(cid:14)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:4) Basic Properties of ARCH Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:21)(cid:3)
(cid:14)(cid:9)(cid:13)(cid:9)(cid:28) Extremes of ARCH Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:29)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:30) On the Longest Success(cid:17)Run(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:14)(cid:3)
(cid:14)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:3) The Total Variation Distance to a
Poisson Distribution (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:14)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:4) The Almost Sure Behaviour (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:14)(cid:21)
(cid:14)(cid:9)(cid:30)(cid:9)(cid:28) The Distributional Behaviour (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:27)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:21) Some Results on Large Deviations (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:13)(cid:27)(cid:14)
(cid:14)(cid:9)(cid:29) Reinsurance Treaties(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:23)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:29)(cid:9)(cid:3) Introduction (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:23)(cid:28)
(cid:14)(cid:9)(cid:29)(cid:9)(cid:4) Probabilistic Analysis(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:23)(cid:29)
(cid:14)(cid:9)(cid:14) Stable Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:4)(cid:3)
(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:3) Stable Random Vectors (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:4)(cid:4)
(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:4) Symmetric Stable Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:4)(cid:21)
(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:28) Stable Integrals (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:4)(cid:29)
(cid:14)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:13) Examples (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:28)(cid:4)
(cid:14)(cid:9)(cid:27) Self(cid:17)Similarity (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:13)(cid:3)
Appendix(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:3)
A(cid:3) Modes of Convergence (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:3)
A(cid:3)(cid:9)(cid:3) Convergence in Distribution (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:3)
A(cid:3)(cid:9)(cid:4) Convergence in Probability (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:4)
A(cid:3)(cid:9)(cid:28) Almost Sure Convergence (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:28)
p
A(cid:3)(cid:9)(cid:13) L (cid:17)Convergence(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:28)
A(cid:3)(cid:9)(cid:30) Convergence to Types(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:13)
A(cid:3)(cid:9)(cid:21) Convergence of Generalised Inverse Functions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:13)
A(cid:4) Weak Convergencein Metric Spaces (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:30)
A(cid:4)(cid:9)(cid:3) Preliminaries about Stochastic Processes (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:30)
A(cid:4)(cid:9)(cid:4) The Spaces C (cid:12)(cid:23)(cid:6)(cid:3)(cid:15) and D (cid:12)(cid:23)(cid:6)(cid:3)(cid:15) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:29)
A(cid:4)(cid:9)(cid:28) The Skorokhod Space D (cid:2)(cid:23)(cid:6) (cid:5) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:27)
(cid:3)
A(cid:4)(cid:9)(cid:13) Weak Convergence (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)(cid:27)
A(cid:4)(cid:9)(cid:30) The Continuous Mapping Theorem (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:21)(cid:3)
A(cid:4)(cid:9)(cid:21) Weak Convergenceof Point Processes(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:21)(cid:4)
A(cid:28) Regular Variation and Subexponentiality (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:21)(cid:13)
A(cid:28)(cid:9)(cid:3) Basic Results on Regular Variation (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:21)(cid:13)
A(cid:28)(cid:9)(cid:4) Properties of Subexponential Distributions (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:29)(cid:3)
A(cid:28)(cid:9)(cid:28) The Tail Behaviour of Weighted Sums
of Heavy(cid:17)Tailed Random Variables (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:14)(cid:4)
A(cid:13) Some Renewal Theory (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:14)(cid:29)