Modélisation du risque de liquidité et méthodes de quantification appliquées au contrôle ...

207 Pages·2017·1.68 MB·French

by  Paul Gassiat

Modélisation du risque de liquidité et méthodes de
quantification appliquées au contrôle stochastique
séquentiel
Paul Gassiat
To cite this version:
PaulGassiat. Modélisation durisque deliquiditéet méthodesde quantificationappliquéesau contrôle
stochastique séquentiel. Probabilités [math.PR]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2011. Français.
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Université Paris Diderot (Paris 7)
UFR de Mathématiques
Année 2011
Thèse
pour obtenir le titre de
Docteur de l’Université Paris Diderot
Spécialité : Mathématiques Appliquées
présentée par
Paul GASSIAT
Modélisation du risque de liquidité
et méthodes de quantification appliquées
au contrôle stochastique séquentiel
Directeur de thèse
Pr. PHAM Huyên
Soutenue publiquement le 07/12/2011, devant le jury composé de :
LAMBERTON Damien, Professeur, Université de Marne-la-Vallée
PHAM Huyên, Professeur, Université Paris Diderot
RUNGGALDIER Wolfgang, Professeur, Università degli Studi di Padova
SULEM Agnès, Directeur de recherche, INRIA
TALAY Denis, Directeur de recherche, INRIA
TANKOV Peter, Professeur, Université Paris Diderot
au vu des rapports de :
BAYRAKTAR Ehran, Professeur, University of Michigan
LAMBERTON Damien, Professeur, Université de Marne-la-Vallée
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3
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse, Huyên Pham, pour m’avoir fait
découvrir le monde de la recherche en mathématiques financières et contrôle stochastique. Je
lui suis particulièrement reconnaissant pour sa grande disponibilité lors de ces trois années, ses
nombreux conseils m’ont beaucoup apporté.
Je suis très reconnaissant envers Erhan Bayraktar et Damien Lamberton d’avoir accepté de
rapporter cette thèse. Je remercie également Wolfgang Runggaldier, Agnès Sulem, Denis Talay
et Peter Tankov d’avoir accepté de participer au jury.
Je tiens à remercier les chercheurs avec qui j’ai eu la chance de collaborer lors de ces années
de thèse : Salvatore Federico, Fausto Gozzi, Idris Kharroubi et Mihai Sîrbu. Je remercie tout
particulièrement Salvatore Federico et Fausto Gozzi pour leur chaleureux accueil lors de mes
passages à Pise.
La grande majorité de la préparation de cette thèse s’est déroulée dans le bureau 5C09 de
Chevaleret, et je remercie tous les doctorants qui s’y sont succédé pour la bonne ambiance
qu’ils y ont apporté : Hubert, Julien, Mohammed, Ennio, Laurent, Jordan, Thomas, Christophe,
Nicolas, Victor et Oriane.
Je remercie tous les amis qui m’ont entouré ces dernières années, ainsi que ma famille dont
la confiance lors de mes nombreuses années d’étude a été très précieuse. Enfin j’exprime toute
ma reconnaissance à Julie pour ses encouragements et son soutien constant, sans lesquels la
rédaction de cette thèse aurait été bien plus difficile.
4
Table des matières
Introduction Générale 9
0.1 Partie I : Risque de liquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.1.1 Investissement optimal dans un marché illiquide avec dates discrètes aléa-
toires de transaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.1.2 Investissement/consommation optimaux dans un marché illiquide avec
changements de régime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
0.1.3 Investissement/consommation optimaux dans un marché avec actifs li-
quide et illiquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2 Partie II : Discrétisation en temps et quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
General Introduction 27
0.1 Part I : Liquidity risk modelling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.1.1 Optimal investment on finite horizon with random discrete order flow in
illiquid markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.1.2 Optimal investment/consumption in an illiquid market with regime swit-
ching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.1.3 Optimal investment/consumption in a market with liquid and illiquid assets 36
0.2 Part II : Time discretization and quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I Liquidity risk modelling 45
1 Optimal investment on finite horizon with random discrete order flow in illi-
quid markets 47
5
6 TABLE DES MATIÈRES
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.2 The illiquid market model and trading strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3 Optimal investment problem and dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.1 A supersolution of the DPE and other technical details . . . . . . . . . . 58
1.3.2 Construction of a solution for the DPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3.3 Verification and optimal strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.4 Convergence in the illiquid market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Investment/consumption problem in illiquid markets with regime switching 75
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2 A market model with regime-switching liquidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3 Some properties of the value function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Dynamic programming and viscosity characterization . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.5 The case of CRRA utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.5.1 Regularity results and verification theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5.2 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5.3 Numerical illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6 Appendix A : Dynamic Programming Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.7 Appendix B : Viscosity characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Investment/consumption problem in a market with liquid and illiquid assets119
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.1 Trading/consumption strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2.2 Optimization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4 Properties of the value functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 The HJB equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.5.1 Viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.5.2 Power utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.6.1 Iterative procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
TABLE DES MATIÈRES 7
3.6.2 Finite horizon problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.6.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
II Time discretization and quantization methods for optimal multiple
switching problem 157
4 Time discretization and quantization methods 159
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2 Optimal switching problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.1 Formulation and assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4 Approximation schemes by optimal quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.4.1 A Markovian quantization method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.4.2 Marginal quantization in the uncontrolled diffusion case . . . . . . . . . . 188
4.5 Numerical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Bibliography 199
8 TABLE DES MATIÈRES
Introduction Générale
Résumé :
Cette thèse est constituée de deux parties pouvant être lues indépendamment.
Dans la première partie on s’intéresse à la modélisation mathématique du risque de liquidité.
L’aspect étudié ici est la contrainte sur les dates des transactions, c’est-à-dire que contrairement
aux modèles classiques où les investisseurs peuvent échanger les actifs en continu, on suppose
que les transactions sont uniquement possibles à des dates aléatoires discrètes. On utilise alors
des techniques de contrôle optimal (programmation dynamique, équations d’Hamilton-Jacobi-
Bellman) pour identifier les fonctions valeur et les stratégies d’investissement optimales sous
ces contraintes. Le premier chapitre étudie un problème de maximisation d’utilité en horizon
fini, dans un cadre inspiré des marchés de l’énergie. Dans le deuxième chapitre on considère
un marché illiquide à changements de régime, et enfin dans le troisième chapitre on étudie un
marché où l’agent a la possibilité d’investir à la fois dans un actif liquide et un actif illiquide,
ces derniers étant corrélés.
Dans la deuxième partie on présente des méthodes probabilistes de quantification pour ré-
soudre numériquement un problème de switching optimal. On considère d’abord une approxi-
mation en temps discret du problème et on prouve un taux de convergence. Ensuite on propose
deux méthodes numériques de quantification : une approche markovienne où on quantifie la loi
normale dans le schéma d’Euler, et dans le cas où la diffusion n’est pas contrôlée, une approche
de quantification marginale inspirée de méthodes numériques pour le problème d’arrêt optimal.
0.1 Première partie : Modélisation du risque de liquidité
Le risque de liquidité est un risque financier majeur, tout particulièrement dans les périodes
de crise où les marchés subissent différentes formes d’illiquidité. Il peut être défini comme l’en-
9