Modélisation, analyse mathématique et applications numériques de problèmes d'interaction fluide

221 Pages·2017·2.53 MB·French

by  Paul Metier

Universit(cid:19)e Pierre et Marie Curie, Paris VI
E(cid:19)cole doctorale de Sciences Math(cid:19)ematiques de Paris Centre
UFR 921
Mod(cid:19)elisation, analyse math(cid:19)ematique
et applications num(cid:19)eriques
de probl(cid:18)emes
d’interaction (cid:13)uide-structure
instationnaires
(cid:18)
THESE
pr(cid:19)esent(cid:19)ee et soutenue publiquement le Lundi 24 Mars 2003
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit(cid:19)e Pierre et Marie Curie { Paris 6
(Sp(cid:19)ecialit(cid:19)e Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees)
par
(cid:19)
Paul METIER
Composition du jury
Pr(cid:19)esident : Olivier PIRONNEAU
Rapporteurs : Luca FORMAGGIA
Marius TUCSNAK
Examinateurs : Yves ACHDOU
Fr(cid:19)ed(cid:19)eric HECHT
Yvon MADAY Directeur de th(cid:18)ese
Bertrand MAURY
Laboratoire Jacques-Louis Lions | UMR 7598
Mis en page avec la classe thloria.
Remerciements
Mes premi(cid:18)eres pens(cid:19)ees se tournent vers mon directeur de th(cid:18)ese, Yvon Maday. Je lui adresse toute
ma gratitude pour ces quatre ann(cid:19)ees sous sa direction. Du stage de DEA jusqu’a(cid:18) la r(cid:19)ealisation de
ce m(cid:19)emoire, son encadrement a (cid:19)et(cid:19)e beaucoup plus qu’une formation par la recherche. Je le remercie
tout d’abord pour le temps qu’il a su m’accorder entre tous ses changements quotidiens de casquettes
professionnelles:directeurdeth(cid:18)eses,directeurdel’ASCI,directeurdulaboratoireJacques-LouisLions,
directeur de l’UFR, directeur de l’(cid:19)ecole Doctorale...Par ailleurs, je lui suis gr(cid:19)e de toutes les qualit(cid:19)es
p(cid:19)edagogiques,humainesetrelationnellesapprisesa(cid:18)soncontact.Jesouhaiteaussisoulignersapatience,
son soutien moral et son optimisme contagieux permanent. Je n’oublie pas bien su^r la formation a(cid:18) la
recherche qu’il a su me dispenser, les sujets passionants vers lesquels il m’a dirig(cid:19)e, et les personnes
qu’il m’a fait rencontrer. C’est avec sinc(cid:19)erit(cid:19)e et joint que je lui dis\Merci!".
Jesuisreconnaissantenversmesrapporteurs,MariusTucsnak1 etLucaFormaggia2 d’avoiraccept(cid:19)e
de rapporter cette th(cid:18)ese, et je les remercie du temps qu’ils ont consacr(cid:19)e a(cid:18) la lecture de ce travail. J’en
pro(cid:12)te pour adresser ma gratitude a(cid:18) Marius Tucsnak pour les discussions que nous avons (cid:19)echang(cid:19)ees
et les conseils qu’il m’a adress(cid:19)es.
Je remercie Olivier Pironneau pour sa con(cid:12)ance tout au long de ma th(cid:18)ese, et pour avoir accept(cid:19)e
d’^etre dans mon jury. J’adresse mes remerciements a(cid:18) Fr(cid:19)ed(cid:19)eric Hecht pour nos discussions, notamment
et encore plus pour FreeFem++; je lui suis par ailleurs gr(cid:19)e d’^etre dans mon jury.
Je remercie le Laboratoire Jacques-Louis Lions (anciennement Laboratoire d’Analyse Num(cid:19)erique)
pour son accueil en son sein. J’adresse en particulier ma gratitude au groupe de travail \M(cid:19)ethodes
Num(cid:19)eriques" a(cid:18) travers ses organisateurs : Yves Achdou, Christine Bernardi, Albert Cohen et Yvon
Maday. Jeles remerciepourla con(cid:12)ance qu’ilsm’ontaccord(cid:19)ee d’^etre pendanttrois anssecr(cid:19)etaire dece
groupe.J’aibeaucoupappr(cid:19)eci(cid:19)el’atmosph(cid:18)eredecess(cid:19)eancesdetravailquiontouvertmesconnaissances
vers de nombreux sujets. J’en pro(cid:12)te pour remercier tout particuli(cid:18)erement Yves Achdou pour avoir
accept(cid:19)e d’^etre membre de mon jury de th(cid:18)ese.
Je remercie vivement Bertrand Maury qui m’a initi(cid:19)e a(cid:18) la programmation. Il a par ailleurs su
aiguiser mon esprit critique pour le confronter pragmatiquement aux sujets de recherche. Je tiens a(cid:18)
lui adresser toute ma gratitude pour le temps qu’il a pris pour me transmettre, avec patience, de
nombreuses connaissances, tant th(cid:19)eoriques que d’applications, notamment lors du CEMRACS’99. Je
lui suis gr(cid:19)e aussi de ses r(cid:19)eponses d(cid:19)etaill(cid:19)ees a(cid:18) mes diverses questions.
Je remercie C(cid:19)eline Grandmont pour le temps qu’elle a pass(cid:19)e a(cid:18) me donner ses connaissances th(cid:19)eo-
riques,poursarigueur,sonexigence etpoursescoupsdecrayon(et depattes detigre) surmesfeuilles
de travail.
Viennent ensuite les remerciements (non moins sinc(cid:18)eres) a(cid:18) ceux qui ont partag(cid:19)e mon quotidien
de th(cid:19)esard au laboratoire. Je commence par St(cid:19)ephane GNU/Debian Delpinux qui m’a fait d(cid:19)ecouvrir
Linux et les logiciels libres, et m’a appris a(cid:18) m’en servir. Sans sa patience a(cid:18) chacune de mes (+)++
questions, je n’aurais pas autant avanc(cid:19)e...tant pratiquement qu’en autonomie (merci man delpinux).
Un grand merci aussi a(cid:18) Pascal Hydre HaveMPI qui a r(cid:19)epar(cid:19)e (+)++ fois mes scripts, mes (cid:12)lms et mes
boulettes : merci au galopin Pascal pour sa disponibilit(cid:19)e abusive et son incapacit(cid:19)e a(cid:18) dire non (dites
1Universit(cid:19)eHenriPoincar(cid:19)e -Nancy1
2MOX,Politecnico diMilano, Italie
i
pluto^t\Nan-gnan-gnan"en agitant en parall(cid:18)ele les poings serr(cid:19)es ferm(cid:19)es;-). Je remercie mes nombreux
compagnonsdebureaux(desg(cid:19)en(cid:19)erationsdeth(cid:19)esards,pensezdonc!):BasarabJpegMat(cid:19)e(cid:127)(cid:16) poursesdis-
cussions culturelles et ses caf(cid:19)es, et dans un d(cid:19)esordre alphab(cid:19)etique : Augusto philosophico Ponce, Karim
swimming Trabelsi, Louis H5=6ans(Fac) Dupaigne, Nicolas GNU/optimisation Di Cesare, Christophe Debian
Prud’homme (pour ses analyses pertinentes), Marwan structure-(cid:13)uide Moubachir (pour nos d(cid:19)eveloppe-
mentsetdiscussions),Daadsimulationnum(cid:19)eriqAbouSaleh,Martinth(cid:19)e-caf(cid:19)e-bonbon-chocolatCampos-Pinto,
Fr(cid:19)ed(cid:19)eric Ni-di(cid:11)usif-Ni-dissipatif Lagoutti(cid:18)ere (pour ses pr(cid:19)ecieuses relectures de cette th(cid:18)ese et ses regards
inquiets fiAlors...?(cid:24)ca va?fl :-), Mohammed GTMN E‘ Rhabi, Mourad Fat guy Ismail, Pascal Schr(cid:127)odinger
B(cid:19)egout, Nicolas fiJe peux utiliservotreMac?fl Bacaer, David Mdk Ramos, Simona tiramisu Mancini, Philippe
Nissa-gruik-gruik Hoche, Olivier Coque Pantz, Herv(cid:19)e cyclo Maillot, Siavash Stephan Vaziri, Vincent espan~ol
Millot, David /1630 Chiron, Gabriel chimiste Turinicci, C(cid:19)ecile Mac Dobrzynski, Marjolaine th(cid:19)e Puel, Igor
contraint(cid:19)e Ciril, Delphine simple et polie Salort, Luis-Manuel P Hernandez, Alexandra Immersed
Venezuela
Boundary (and sometimes crying) Franchitti (pour sa vivacit(cid:19)e joviale quotidienne et pour les d(cid:19)ebogages
partag(cid:19)es), J(cid:19)ero^me Boule-de-feu Coville, J(cid:19)ero^me contact Mbala, Francesca Maxwella Rappetti, Leonardo
Air/Fluid-structure Ba(cid:14)co, Julien quantique Salomon, Hamdi Cin(cid:19)ezorro Zorgati, Marcella g(cid:19)eo-@i(cid:11) Szopos,
Sever H^(cid:16)rstoaga, Sa(cid:127)(cid:16)ma functional Khenissy, Sara italiano Monsurro, Christinel et Sorin elastic brothers
Mardare,Dimitrios ,AnneAsymptotiqueRoquefort,(cid:19)ericSyst(cid:18)eme-DSorosina,MariusfiIlestla(cid:18)Basarab?flPaicu,
et les joyeux th(cid:19)esards; et les plus anciens : Georgiana
(selonlaformuleconsacr(cid:19)eer(cid:19)epanduedanslesth(cid:18)esesdesdoctorants)
evangelista Andreoiu, Valentina Busu(cid:127)(cid:16)oc, Julia Matos, Tahar Boulmezaoud, et Daniel Coutand.
Je remercie les di(cid:11)(cid:19)erents secr(cid:19)etariats : au laboratoire, Mesdames Boulic et Ruprecht, pour leur
convivialit(cid:19)e et leurs explications administratives simpli(cid:12)(cid:19)ees; et Monsieur Ortells; a(cid:18) la biblioth(cid:18)eque du
labo, Madame Legras; a(cid:18) l’(cid:19)ecole Doctorale et a(cid:18) la commission des th(cid:18)eses Madame Loriller pour son
attention particuli(cid:18)ere; au DEA, Madame Lacrampe et Mademoiselle Barbelenet; et aussi Madame
Guglielmetti, notamment pour le GdR\Fluides-structures en interaction". Je remercie Messieurs Le-
gendre et Port(cid:18)es pour l’administration du r(cid:19)eseau informatique.
J’adresse ma gratitude a(cid:18) Monsieur David pour ses accueils souriants, sa disponibilit(cid:19)e et sa ser-
viabilit(cid:19)e; je le remercie pour l’impression de cet ouvrage, pour le rayon fournitures et pour le rayon
\bricolage"pratique pour solutions rapides.
En(cid:12)n, et c’est parce qu’eux seuls auront eu la patience de lire tout c(cid:24)a jusqu’au bout, je remercie
mes amis hors-fac et leurs questions boulversi(cid:12)antes, leurs soutiens, leurs (cid:19)echanges et surtout leurs
bou(cid:11)(cid:19)ees d’air. Sans eux, impossible d’avancer. Un grand merci a(cid:18) la famille d’H(cid:19)el(cid:18)ene, et encore plus a(cid:18)
mon (cid:19)epouse, qui a su porter et supporter avec beaucoup d’amour son Paul. Merci en(cid:12)n pour tout a(cid:18)
Annie, et pour son impulsion jusqu’en th(cid:18)ese.
[v.20030527-1635]
ii
(cid:18)a Annie,
(cid:18)a H(cid:19)el(cid:18)ene,
iii
iv
Table des mati(cid:18)eres
Table des (cid:12)gures xi
Introduction g(cid:19)en(cid:19)erale. Motivation de la th(cid:18)ese 1
1 Mod(cid:19)elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Mod(cid:18)eles de (cid:13)uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Mod(cid:18)eles de structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Couplage d’un (cid:13)uide et d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Mod(cid:19)elisation d’un ventricule arti(cid:12)ciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Analyse math(cid:19)ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Bilan d’(cid:19)energie. D(cid:19)ecouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Sous-syst(cid:18)eme structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Sous-syst(cid:18)emes d(cid:19)ecoupl(cid:19)es. Syst(cid:18)eme coupl(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Applications num(cid:19)eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 M(cid:19)ethodes num(cid:19)eriques g(cid:19)en(cid:19)erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 M(cid:19)ethodes sp(cid:19)eci(cid:12)ques a(cid:18) l’interaction (cid:13)uide-structure et au contro^le . . . . . 14
4 Plan de la th(cid:18)ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Partie I Mod(cid:19)elisation et analyse d’un probl(cid:18)eme d’(cid:19)elasticit(cid:19)e en grands d(cid:19)eplace-
ments et petites d(cid:19)eformations 17
v
Table des mati(cid:18)eres
Introduction (cid:18)a la partie (cid:19)elasticit(cid:19)e 19
Chapitre 1
Mod(cid:19)elisation d’une structure (cid:19)elastique
en grands d(cid:19)eplacements et petites d(cid:19)eformations 21
1.0.1 Espace de Sobolev. Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1 D(cid:19)ecomposition de la d(cid:19)eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.1 Unicit(cid:19)e de la d(cid:19)ecomposition du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.2 Une autre d(cid:19)emarche pour la d(cid:19)ecomposition du mouvement . . . . . . . . . 24
1.1.3 Cadre fonctionnel. Mouvements in(cid:12)nit(cid:19)esimaux . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.4 Di(cid:11)(cid:19)erentielle de la d(cid:19)eformation suivant les composantes du mouvement . . 26
1.2 E(cid:19)quations du mouvement (formulation faible) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Estimations d’(cid:19)energie pour le probl(cid:18)eme continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Dynamique de la translation, de la rotation, de la perturbation . . . . . . . . . . . 32
1.5 Approximation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Chapitre 2
Existence et unicit(cid:19)e de la solution 37
2.1 R(cid:19)esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Existence d’une unique solution pour le probl(cid:18)eme en translation, rotation,
et perturbation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Existence d’une unique solution pour le probl(cid:18)eme en d(cid:19)eplacement . . . . . 38
2.2 Existence d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Existence de solution pour le probl(cid:18)eme en dimension (cid:12)nie . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Une estimation d’(cid:19)energie suppl(cid:19)ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Existence d’une solution pour le probl(cid:18)eme continu en translation, rotation
et perturbation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.4 Existence d’une solution pour le probl(cid:18)eme continu en d(cid:19)eplacement . . . . . 49
2.3 Unicit(cid:19)e de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 E(cid:19)tape 1. R(cid:19)e(cid:19)ecriture du syst(cid:18)eme d’(cid:19)equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 E(cid:19)tape 2. Estimations des termes de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
R
2.3.3 E(cid:19)tape 3. Estimations des termes li(cid:19)es aux forces ext(cid:19)erieures. . . . . . . . . . 55
2.3.4 E(cid:19)tape 4. Unicit(cid:19)e de la solution r(cid:19)eguli(cid:18)ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.5 E(cid:19)tape 5. Unicit(cid:19)e de la solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
vi
Chapitre 3
Approche num(cid:19)erique par m(cid:19)ethode modale 61
3.1 Rappel du mod(cid:18)ele continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Discr(cid:19)etisation spatiale du syst(cid:18)eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Condition d’inversibilit(cid:19)e du syst(cid:18)eme de dimension (cid:12)nie . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Choix d’une base d’approximation. Analyse modale . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.2 Exemples illustratifs de quelques modes propres . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Algorithme de mise en (cid:27)uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.1 Calculs pr(cid:19)eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5.2 Semi-discr(cid:19)etisation en temps : sch(cid:19)ema d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.3 Discr(cid:19)etisation spatiale par (cid:19)el(cid:19)ements (cid:12)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5.4 Algorithme g(cid:19)en(cid:19)eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Partie II Interaction (cid:13)uide-structure 77
Introduction (cid:18)a la partie de couplage (cid:13)uide-structure 79
Chapitre 1
Solution r(cid:19)eguli(cid:18)ere pour le couplage d’un (cid:13)uide et d’une structure (cid:19)elastique 81
1.1 Pr(cid:19)esentation du mod(cid:18)ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.1 Mod(cid:19)elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.1.2 Estimation d’(cid:19)energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1.3 E(cid:19)criture du syst(cid:18)eme (cid:13)uide en variables lagrangiennes . . . . . . . . . . . . 87
1.1.4 Condition de compatibilit(cid:19)e sur la perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.1.5 Approximation modale pour la perturbation de la d(cid:19)eformation structure . 89
1.2 R(cid:19)esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.3 Existence de solution au probl(cid:18)eme coupl(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.3.1 Strat(cid:19)egie de la d(cid:19)emonstration. Pr(cid:19)esentation des probl(cid:18)emes ( ) et ( ) . . . 91
F S
1.3.2 Existence de solution pour le probl(cid:18)eme ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
F
1.3.3 Existence de solution pour le probl(cid:18)eme ( ) sous contrainte . . . . . . . . . 96
S
1.3.4 Proc(cid:19)edure de recouplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
vii
Table des mati(cid:18)eres
Chapitre 2
Analyse et simulation de couplages de (cid:13)uides potentiels et d’une structure (cid:19)elas-
tique 115
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.1.1 Mod(cid:19)elisation 1 : ventricule arti(cid:12)ciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.1.2 Mod(cid:19)elisation 2 : couplage d’un (cid:13)uide potentiel et d’une structure (cid:19)elastique
en grands d(cid:19)eplacements et petites d(cid:19)eformations . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2 Mod(cid:19)elisation d’un ventricule d’un c(cid:27)ur arti(cid:12)ciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.2 Fluides potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.3 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.4 Synth(cid:18)ese des (cid:19)el(cid:19)ements de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.5 Autre mod(cid:19)elisation possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3 Estimations d’(cid:19)energie pour le syst(cid:18)eme du ventricule arti(cid:12)ciel . . . . . . . . . . . . 120
2.3.1 Estimations d’(cid:19)energie des syst(cid:18)emes d(cid:19)ecoupl(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3.2 Estimation d’(cid:19)energie du syst(cid:18)eme coupl(cid:19)e global a(cid:18) deux cavit(cid:19)es . . . . . . . . 121
2.4 Algorithme et r(cid:19)esultats num(cid:19)eriques de la simulation du ventricule arti(cid:12)ciel . . . . 123
2.4.1 Discr(cid:19)etisation des (cid:19)equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.4.2 R(cid:19)esultats num(cid:19)eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.5 Mod(cid:19)elisationducouplaged’un(cid:13)uidepotentieletd’unestructure(cid:19)elastiqueengrands
d(cid:19)eplacements et petites d(cid:19)eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Chapitre 3
Simulation du couplage (cid:13)uide-structure de (cid:13)uides visqueux et d’une structure
(cid:19)elastique 131
3.1 Mod(cid:19)elisation a(cid:18) l’aide de la m(cid:19)ethode de la fronti(cid:18)ere immerg(cid:19)ee . . . . . . . . . . . . 133
3.1.1 G(cid:19)en(cid:19)eralit(cid:19)es. Cadre h(cid:19)emodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1.2 M(cid:19)ethode de la fronti(cid:18)ere immerg(cid:19)ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.3 Choix de la fonction de forces structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.1.4 Approximations num(cid:19)eriques de la mesure de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1.5 Contrainte suppl(cid:19)ementaire de conservation de volume . . . . . . . . . . . . 142
3.2 Simulation Num(cid:19)erique Directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.2 Maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2.3 Param(cid:18)etres (cid:27) , (cid:27) et (cid:27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
b s c
viii