modelagem matemática da produção de etanol utilizando ajuste de curvas e o modelo de

12 Pages·2009·0.15 MB·Portuguese

Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação Matemática
Comunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS

MODELAGEM MATEMÁTICA DA PRODUÇÃO DE ETANOL
UTILIZANDO AJUSTE DE CURVAS E O MODELO DE
CRESCIMENTO LOGÍSTICO DE VERHULST.

GT 04 – Modelagem Matemática

Lucilaine Goin Abitante – FAHOR –[email protected]

Resumo: A modelagem matemática consiste em transformar problemas reais em problemas
matemáticos, oportunizando interpretar suas soluções, de modo a compreender o processo em estudo a
cerca de meios para agir sobre ele. Por isso, o presente trabalho apresenta o uso da programação em
MATLAB, como ferramenta suporte para análise de dados reais relacionados a crescimentos
populacionais, como é o caso do cultivo da levedura Saccharomyces cerevisiae, que em contato com o
caldo de cana de açúcar, faz a metabolização dos açúcares para seu desenvolvimento, excretando o
etanol (álcool etílico hidratado), processo conhecido como fermentação alcoólica. Com o intuito de
estudar o comportamento deste processo, foram obtidos na literatura [2] dados experimentais de um
processo de fermentação alcoólica em batelada para que pudessem ser aplicados os ajustes de curvas e
o modelo de crescimento logístico de Verhulst. Logo, foram desenvolvidos dois programas em
MATLAB, o primeiro para testar oito funções, dentre elas, modelos geométricos, exponenciais,
hiperbólicos, além do linear, onde o melhor modelo é escolhido através dos mínimos quadrados, ou
seja, pela menor diferença entre o valor real do problema e o valor estimado pela função. O segundo
trabalha o modelo de crescimento populacional de Verhulst, que a partir da determinação da
capacidade suporte, define os parâmetros do modelo que melhor se ajustam aos dados em estudo, de
modo a possibilitar previsões de crescimento populacional por períodos mais longos, onde a população
estudada nunca ultrapassará a capacidade suporte determinada.

Palavras-chave: tempo, bactérias, substrato, produto, ajuste de curvas, modelo de Verhulst.

Introdução
A cada ano a temperatura do planeta vem aumentando e mudanças climáticas
desordenadas têm provocado fenômenos naturais que até então eram inéditos. Por isso, toda
atenção se volta para questões ambientais inerentes à sobrevivência dos seres vivos em um
ambiente adequado a sua existência. Logo, todas as nações buscam medidas efetivas que
agreguem energias limpas em detrimento as energias fósseis prejudiciais ao aquecimento
global, sendo que uma destas medidas está na adesão por combustíveis oriundos de energias
renováveis, como o etanol. Porém, vale ressaltar que o etanol por si só, não é a solução para o
aquecimento global, mas sim parte integrante deste processo de desaquecimento do planeta.
Por isso, um processo de desenvolvimento consciente dos biocombustíveis pode colaborar no
ensejo desta redução almejada pelas nações.
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Sendo assim, a modelagem está associada a processos reais sujeitos a
experimentações, como é o caso da fermentação alcoólica, onde as informações obtidas
experimentalmente podem ser transportadas para modelos matemáticos. Por isso, a
modelagem faz a ligação entre os dados reais e o modelo, determinando seus parâmetros e
condições de fronteira.
Logo, o propósito da modelagem matemática utilizando a regressão linear ou ajuste de
curva é obter uma relação funcional que comporte em seus parâmetros, qualidades ou
significados inerentes ao fenômeno estudado [3]. Por isso, o ajuste do modelo aos dados é
feito pelo cálculo do melhor conjunto de parâmetros, que tornam mínima a diferença entre os
dados previstos pelo modelo e os dados experimentais de forma a prever um comportamento
funcional para estes dados.
Já o modelo de Verhulst propõe modelar a dinâmica das populações. Supondo que
uma população que vive em um determinado meio deverá crescer até um limite máximo
sustentável e depois vai tender a se estabilizar, não ultrapassando a capacidade suporte do
sistema.
Por isso, no presente trabalho será apresentado inicialmente um sucinto esclarecimento
sobre o processo de fermentação alcoólica, onde em seguida trata-se do estudo sobre a
regressão linear e o modelo de crescimento de Verhulst, com suas respectivas simulações.

Processo Fermentativo em Batelada
Num processo fermentativo estão envolvidos dois sistemas que interagem
continuamente: a fase biológica composta pela população microbiana, ou cultura de células, e
pela fase ambiental, ou meio de cultura que contém substrato e produtos do processo. As
células por sua vez, consomem nutrientes e convertem substratos do ambiente em produtos.
Por isso, o estudo do processo fermentativo consiste em analisar a evolução dos
valores de concentração dos componentes do sistema de cultivo em função do tempo de
fermentação. Estes componentes podem ser entendidos como o microrganismo
(Saccharomyces cerevisae), o produto do metabolismo (etanol) e o substrato (caldo de cana-
de-açúcar), e seus valores experimentais de concentração são X, P e S respectivamente, os
quais permitem que sejam traçadas curvas de ajuste que descrevam o melhor modelo para os
dados experimentais estudados.
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Regressão Linear
Uma regressão ou ajuste de curvas é um recurso formal para expressar alguma
tendência da variável dependente (cid:1877) quando relacionada com a variável independente (cid:1876)
(BASSANEZI, 2004, p.54).
Além da tendência citada por BASSANEZI, a regressão linear permite fazer previsões
futuras e estimativas além do intervalo pesquisado. Porém, se o modelo pesquisado for
dinâmico, deve-se levar em consideração o comportamento fenomenológico das variáveis,
pois muitas vezes um simples ajuste de curvas escolhido pode expressar bem a relação entre
as variáveis, mas pode não ter as condições mínimas exigidas para previsões do
relacionamento futuro destas variáveis. Então, neste caso, o ajuste de curva é simplesmente
uma curva que descreve uma tendência do intervalo pesquisado [3].
[4] O ajuste é linear na forma :

(cid:1877)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (cid:3404) (cid:1858)(cid:4666)(cid:1876);(cid:1853),(cid:1854)(cid:4667) (cid:3404) (cid:1853)(cid:1876) (cid:3397)(cid:1854) (equação de uma reta) (1)

Neste caso, encontram-se os parâmetros (cid:1853) e (cid:1854) que tornam mínimos os valores da soma
dos quadrados dos desvios:

(cid:1845) (cid:3404) ∑(cid:3041) (cid:4666)(cid:1854)(cid:3397)(cid:1853)(cid:1876)(cid:1191) (cid:3398)(cid:1877)(cid:3364) (cid:4667)(cid:2870) (2)
(cid:3036)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3036) (cid:3036)

Satisfazendo necessariamente as seguintes condições:

• (cid:3105)(cid:3020) (cid:3404) 0 (cid:1372) ∑(cid:3041) 2(cid:4666)(cid:1854)(cid:3397)(cid:1853)(cid:1876)(cid:1191) (cid:3398)(cid:1877)(cid:3364) (cid:4667) (cid:3404) 0 (3)
(cid:3036)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3036) (cid:3036)
(cid:3105)(cid:3029)

• (cid:3105)(cid:3020) (cid:3404) 0 (cid:1372) ∑(cid:3041) 2(cid:1876)(cid:1191) (cid:4666)(cid:1854)(cid:3397)(cid:1853)(cid:1876)(cid:1191) (cid:3398)(cid:1877)(cid:3364) (cid:4667) (cid:3404) 0 (4)
(cid:3036)(cid:2880)(cid:2869) (cid:3036) (cid:3036) (cid:3036)
(cid:3105)(cid:3028)

Desenvolvendo o sistema de equações, tem-se:

(cid:1854) (cid:3404) ∑(cid:3051)(cid:3284)(cid:3052)(cid:3364)(cid:3284)(cid:2879)(cid:3041)∑(cid:3051)(cid:3284)(cid:3052)(cid:3364)(cid:3284) (5)
(cid:4666)∑(cid:3051)(cid:1191)(cid:3284)(cid:4667)(cid:3118)(cid:2879)(cid:3041)∑(cid:3051)(cid:1191)(cid:3284)(cid:3118)

(cid:1853) (cid:3404) ∑(cid:3052)(cid:3364)(cid:3284)(cid:2879)(cid:3029)∑(cid:3051)(cid:3284) (6)
(cid:3041)

Na impossibilidade de fazer o ajuste linear diretamente para modelos dados por outras
funções, o método do ajuste linear é aplicável se for possível reescrever a função mediante
mudança de variável na forma linear:

(cid:1858)(cid:4666)(cid:2028)(cid:4667) (cid:3404) (cid:2009)(cid:2028)(cid:3397)(cid:2010) (7)
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Porém a regressão linear pode ser definida como um método para encontrar a melhor
solução aproximada para um sistema linear da forma:

(cid:1827)(cid:1876) (cid:3406) (cid:1877) (8)

onde (cid:1827) (cid:1488) (cid:1839) (cid:4666)(cid:1336)(cid:4667) com (cid:1865) (cid:3408) (cid:1866) , logo não é quadrada, por isso não possui determinante e
(cid:3040),(cid:3041)
não é possível a inversa; (cid:1870)(cid:4666)(cid:1827)(cid:4667) (cid:3404) (cid:1866), (cid:1876) (cid:1488) (cid:1336) e (cid:1877) (cid:1488) (cid:1336), onde a melhor solução minimiza o
funcional:

(cid:1836) (cid:3404) ∑(cid:3040) (cid:1313)(cid:1877)(cid:3398)(cid:1827)(cid:1876)(cid:1313)(cid:2870) (9)
(cid:3040)(cid:3036)(cid:3041) (cid:3036)(cid:2880)(cid:2869)

onde (cid:1876) (cid:1488) (cid:1336) é a melhor solução aproximada do sistema, pois são vetores que minimizam a
discrepância (cid:1313)(cid:1877)(cid:3398)(cid:1827)(cid:1876)(cid:1313)(cid:2870).

Reescrevendo (8) agora como uma igualdade, o sistema possui uma única e melhor
solução que pode ser encontrada por:

(cid:1827)(cid:1876) (cid:3404) (cid:1877) (10)

Multiplicando (cid:1827)(cid:3021) à esquerda de (3), tem-se:

(cid:1827)(cid:3021)(cid:1827)(cid:1876) (cid:3404) (cid:1827)(cid:3021)(cid:1877) (11)

Sendo (cid:1827)(cid:3021)(cid:1827) uma matriz quadrada, pode-se obter a melhor solução aproximada do
sistema por:
(cid:1876) (cid:3404) (cid:4666)(cid:1827)(cid:3021)(cid:1827)(cid:4667)(cid:2879)(cid:2869)(cid:1827)(cid:3021)(cid:1877) (12)

Sendo (cid:4666)(cid:1827)(cid:3021)(cid:1827)(cid:4667)(cid:2879)(cid:2869)(cid:1827)(cid:3021)(cid:1877) a pseudo-inversa da matriz (cid:1827).

Ajuste de Curvas do Processo de Fermentação Alcoólica em Batelada
Utilizando o cálculo da pseudo-inversa para determinar os parâmetros (cid:1853) e (cid:1854) necessários
ao ajuste linear, como também a mudança de variável para as funções não lineares, foi
desenvolvido um programa no aplicativo MATLAB para testar oito funções a seguir descritas,
dentre elas, modelos geométricos, exponenciais, hiperbólicos, além do linear, onde o melhor
ajuste é dado pelo somatório do quadrado dos erros entre o valor real do problema e o valor
estimado pela função.
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(cid:1877) (cid:3404) (cid:1853)(cid:1876) (cid:3397)(cid:1854) (13)
(cid:1877) (cid:3404) (cid:2869) (18)
(cid:1877) (cid:3404) (cid:1854).(cid:1857)(cid:3028)(cid:3051) (14) (cid:3028)(cid:3051)(cid:2878)(cid:3029)

(cid:2869)
(cid:1877) (cid:3404) (19)
(cid:1877) (cid:3404) (cid:1854)(cid:3397)(cid:1853).(cid:1864)(cid:1866)(cid:4666)(cid:1876)(cid:4667) (15)
(cid:3029)(cid:2878)(cid:3028).(cid:2922)(cid:2924) (cid:4666)(cid:3051)(cid:4667)

(cid:1877) (cid:3404) (cid:1854).(cid:1876)(cid:3028) (16) (cid:1877) (cid:3404) (cid:3051) (20)
(cid:3028)(cid:3051)(cid:2878)(cid:3029)

(cid:3028)
(cid:1877) (cid:3404) (cid:3397)(cid:1854) (17)
(cid:3051)

A seguir são apresentados os dados experimentais [2] do cultivo do microorganismo
Saccharomyces cerevisiae em calco de cana-de-açúcar, pelo processo de batelada, que
fornecem a concentração de células, de substrato e produto a cada hora do processo por um
período de 28 h.

Tempo (h) X (g/L) S (g/L) P(g/L)
0 0,89 106,9 0
1 0,89 106,9 0
2 0,89 106,9 0
3 0,91 106,3 0,04
4 0,97 105,6 0,68
5 1,07 104,6 1,59
6 1,19 103,1 2,76
7 1,35 101,1 4,17
8 1,52 98,6 5,8
9 1,73 95,6 7,65
10 1,95 91,9 9,68
11 2,20 87,7 11,9
12 2,46 82,9 14,2
13 2,73 77,6 16,7
14 3,01 71,9 19,2
15 3,31 65,7 21,8
16 3,6 59,2 24,4
17 3,89 52,5 27
18 4,18 45,7 29,6
19 4,45 38,9 32,1
20 4,71 32,2 34,4
21 4,95 25,9 36,6
22 5,17 20,0 38,6
23 5,35 14,8 40,3
24 5,49 10,5 41,7
25 5,57 7,4 42,7
26 5,57 7,0 42,8
27 5,57 7,0 42,8
28 5,57 7,0 42,8
Tabela 1: Dados experimentais do cultivo de Saccharomyces cerevisiae em caldo de cana [1].
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Simulação do Ajuste para os Dados Experimentais da Tabela 1
Cada uma das variáveis envolvidas no processo de fermentação alcoólica foi simulada
a fim de encontrar a melhor função de ajuste, ou seja, a função que torna-se mínime a
diferença entre a função escolhida e os dados experimentais. Inicialmente apresenta-se um
resumo gráfico da aplicação dos dados em cada função, onde pode-se observar o
comportamento de cada curva de ajuste em relação aos dados estudados. Na sequencia a
tabela com os respectivos erros do funcional quadrático, onde o menor valor de (cid:1836) minimiza a
discrepância entre a função de ajuste e os dados experimentais, sendo esta a função que
melhor descreve o comportamento dos dados simulados, apresentado-se em seguida, o gráfico
do melhor ajuste.

1.Simulação para a Concentração Celular
A Figura 1 apresenta o resumo da simulação da concentração celular.
Função (3.13) Função (3.14) Função (3.15) Função (3.16)
7 8 6 6
6 5
6 4
5
o o o o 4
ã ã ã ã
aç 4 aç aç aç
ntr ntr 4 ntr 2 ntr 3
nce 3 nce nce nce
Co 2 Co Co Co 2
2 0
1 1
0 0 -2 0
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
tempo h tempo h tempo h tempo (h)
Função (3.17) Função (3.18) Função (3.19) Função (3.20)
6 100 6 6
5 5 5
0
o 4 o o 4 o 4
açã açã -100 açã açã
ntr 3 ntr ntr 3 ntr 3
e e e e
nc nc -200 nc nc
Co 2 Co Co 2 Co 2
-300
1 1 1
0 -400 0 0
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
tempo (h) tempo h tempo h tempo h modelo
dados
Figura 1: Resumo da Simulação das oito Funções para a Concentração Celular

Tabela 2: Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para Células
J1(3.13) J2(3.14) J3(3.15) J4(3.16)
Erro 0.0895 0.4255 2.0626 1.8279
J5(3.17) J6(3.18) J7(3.19) J8(3.20)
Erro 2.9630 4.6747e+003 2.4774 0.1857
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ajuste de curva
7
6
g/l) 5
ar (
elul 4
C
o
ã
ntraç 3
e
nc
o
C 2
1
modelo
dados
0
0 5 10 15 20 25 30
tempo (h)

Figura 2: Ajuste de Curvas para o Crescimento de Células

O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os dados experimentais do
crescimento de bactérias foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:

(cid:1877) (cid:3404) 0,2089(cid:1876)(cid:3397)0,2174 (21)

2.Simulação para a Concentração de Substrato
A Figura 3 apresenta o resumo da simulação da concentração de substrato.
Função (3.13) Função (3.14) Função (3.15) Função (3.16)
150 250 200 400
200
150 300
ão 100 ão ão ão
ç ç 150 ç ç
a a a a
ntr ntr ntr 100 ntr 200
e e e e
c c 100 c c
on 50 on on on
C C C C
50 100
50
0 0 0 0
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
modelo tempo h tempo h tempo h tempo h
dados
Função (3.17) Função (3.18) Função (3.19) Função (3.20)
120 500 150 500
100
0 100 0
ão 80 ão ão ão
ç ç ç ç
a a a a
ntr 60 ntr -500 ntr 50 ntr -500
e e e e
c c c c
n n n n
o 40 o o o
C C C C
-1000 0 -1000
20
0 -1500 -50 -1500
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
tempo h tempo h tempo h tempo h

Figura 3: Resumo da Simulação das oito Funções para a Concentração de Substrato
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Tabela 3: Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para o Substrato
J1(3.13) J2(3.14) J3(3.15) J4(3.16)
Erro 64.9089 890.9138 993.4919 3.9768e+003
J5(3.17) J6(3.18) J7(3.19) J8(3.20)
Erro 1.3628e+003 6.335e+004 2.9491e+003 5.0743e+004

O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os dados experimentais do
consumo de substrato foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:

(cid:1877) (cid:3404) (cid:3398)4,4171(cid:1876)(cid:3397)125,8584
(22)

ajuste de curva
140
modelo
dados
120
g/l) 100
o (
at
bstr 80
u
S
e
d
ão 60
aç
ntr
e
nc 40
o
C
20
0
0 5 10 15 20 25 30
tempo (h)

Figura 4: Ajuste de Curvas para a Concentração de Substrato

3.Simulação para a Concentração de Produto
A Tabela 4 apresenta os respectivos erros do funcional quadrático para cada função
testada, e na sequencia é apresenta-se o resumo das simulações da formação de produto no
fermentador pela Figura 5.

Tabela 4: Relação dos erros (J) das Respectivas Funções Simuladas para o Substrato
J1(3.13) J2(3.14) J3(3.15) J4(3.16)
Erro 6.8769 1.4038e+004 169.6900 147.5058
J5(3.17) J6(3.18) J7(3.19) J8(3.20)
Erro 243.6794 674.5865 674.5283 675.5710
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Função (3.13) Função (3.14) Função (3.15) Função (3.16)
50 600 60 50
40 500
40 40
o 30 o 400 o o
çã çã çã 20 çã 30
a a a a
ntr 20 ntr 300 ntr ntr
e e e e
nc nc nc 0 nc 20
o 10 o 200 o o
C C C C
-20 10
0 100
-10 0 -40 0
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
modelo tempo h tempo h tempo h tempo h
dados
Função (3.17) Função (3.18) Função (3.19) Função (3.20)
50 50 50 50
40 40 40 40
o 30 o 30 o 30 o 30
ã ã ã ã
ç ç ç ç
a a a a
ntr 20 ntr 20 ntr 20 ntr 20
e e e e
c c c c
n n n n
o 10 o 10 o 10 o 10
C C C C
0 0 0 0
-10 -10 -10 -10
0 20 40 0 20 40 0 20 40 0 20 40
tempo h tempo h tempo h tempo h

Figura 5: Resumo da Simulação das oito Funções para a Concentração de Produto

O modelo que minimizou o erro entre a curva de ajuste e os dados experimentais do
consumo de substrato foi o modelo linear, com os parâmetros a seguir:

(cid:1877) (cid:3404) 1,8990(cid:1876)(cid:3398)6,1734 (23)

ajuste de curva
50
modelo
dados
40
g/l)
o ( 30
ut
d
o
Pr
de 20
o
ã
aç
ntr
e 10
nc
o
C
0
-10
0 5 10 15 20 25 30
tempo (h)

Figura 6: Ajuste de Curvas para a Formação de Produto
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Modelo de Verhulst Aplicado ao Crescimento da População de Células
O primeiro modelo que atende a variação da taxa de crescimento foi formulado pelo
matemático belga Pierre F. Verhurst em 1837. O modelo de Verhurst supõe que uma
população vivendo num determinado meio, deverá crescer até um limite máximo sustentável,
isto é, ela tende a se estabilizar [2].
Esta curva logística que foi proposta inicialmente para modelar a dinâmica das
populações tem características fundamentais como a tendência da variável independente (cid:1877) a
estabilidade na medida em que (cid:1876) cresce, onde o valor máximo sustentável é denominado
capacidade suporte (cid:4666)(cid:1863)(cid:4667).
[3] Seja a equação de Verhurst:

(cid:3031)(cid:3051) (cid:3051)
(cid:3404) (cid:1853)(cid:1876)(cid:4666)1(cid:3398) (cid:4667) (24)
(cid:3276)
(cid:3031)(cid:3047)
(cid:3277)

(cid:3028)
Onde (cid:1863) (cid:3404) , que é a capacidade suporte do crescimento. Resolvendo (24) por
(cid:3029)
integração, tem-se:
(cid:3051)
(cid:1864)(cid:1866)(cid:4678) (cid:4679) (cid:3404) (cid:1853)(cid:1872)(cid:3397)ln(cid:1829) (25)
(cid:3182)
(cid:4672)(cid:2869)(cid:2879) (cid:4673)
(cid:3169)

Denotando (cid:1877)(cid:3364) (cid:3404) (cid:1864)(cid:1866)(cid:4678) (cid:3051) (cid:4679), (cid:1853)(cid:3364) (cid:3404) (cid:1853), (cid:1854)(cid:3364) (cid:3404) ln(cid:1829) , chega-se a solução da equação
(cid:3182)
(cid:4672)(cid:2869)(cid:2879) (cid:4673)
(cid:3169)
diferencial (21) na forma linearizada:
(cid:1877)(cid:3364) (cid:3404) (cid:1853)(cid:3364)(cid:1876) (cid:3397)(cid:1854)(cid:3364) (26)

A partir dos dados reais obtém-se os parâmetros do modelo através dos mínimos
quadrados.
(cid:1836) (cid:3404) ∑||(cid:1877)(cid:3364)(cid:3398)(cid:1877)||(cid:2870) (27)

(cid:3038)(cid:3051) (cid:3004)(cid:3032)(cid:3276)(cid:3295)
Onde (cid:1877)(cid:3364) (cid:3404) (cid:1864)(cid:1866)(cid:4672) (cid:4673) (cid:1857) (cid:1877) (cid:3404) , logo tem-se a seguinte equação:
(cid:3038)(cid:2879)(cid:3051) (cid:3252)(cid:3280)(cid:3276)(cid:3295)
(cid:3436)(cid:2869)(cid:2878) (cid:3440)
(cid:3286)

(cid:3038)(cid:3004)(cid:3032)(cid:3276)(cid:3295)
(cid:1877) (cid:3404) (28)
(cid:3038)(cid:2878)(cid:3004)(cid:3032)(cid:3276)(cid:3295)