Model Predictive Control for Max-Plus-Linear and Piecewise Affine Systems

221 Pages·2012·1.64 MB·English

Model Predictive Control
for Max-Plus-Linear and Piecewise Af(cid:2)ne
Systems
Ion Necoara
.
Model Predictive Control
for Max-Plus-Linear and Piecewise Af(cid:2)ne
Systems
Proefschrift
terverkrijging vandegraadvandoctor
aandeTechnischeUniversiteitDelft,
opgezagvandeRectorMagni(cid:2)cusprof.dr.ir. J.T.Fokkema,
voorzitter vanhetCollegevoor Promoties,
inhetopenbaarteverdedigenopdinsdag17oktober2006om10:00uur
door
IonNECOARA
MasterofScienceinOptimization andStatistics
UniversityofBucharest
geborenteVrancea(Tulnici),Romania.
Ditproefschrift isgoedgekeurddoordepromotor:
Prof.dr.ir.J.Hellendoorn
Toegevoegdpromotor:
Dr.ir.B.DeSchutter
Samenstellingpromotiecommissie:
RectorMagni(cid:2)cus voorzitter
Prof.dr.ir.J.Hellendoorn TechnischeUniversiteitDelft,promotor
Dr.ir.B.De Schutter TechnischeUniversiteitDelft,toegevoegdpromotor
Prof. dr. J. Maciejowski University ofCambridge
Prof. dr. A. Rantzer LundUniversity
Prof. dr. ir. C. Roos TechnischeUniversiteitDelft
Prof. dr. ir. P.P.J. vandenBosch TechnischeUniversiteitEindhoven
Dr. ir. A.J.J. vandenBoom TechnischeUniversiteitDelft
Prof.dr.R.Babus(cid:16)ka,M.Sc. TechnischeUniversiteitDelft(reservelid)
ISBN-10: 90-9020993-X
ISBN-13: 978-90-9020993-7
Keywords: model predictive control, robust control, Lyapunov stability, hybrid systems, piece-
wiseaf(cid:2)nesystems,discreteeventsystems,max-plus-linear systems.
Copyright c 2006byIonNecoara
(cid:13)
Allrightsreserved. Nopartofthematerialprotectedbythiscopyrightnoticemaybereproduced
or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying,
recording or by any information storage and retrieval system, without written permission of the
author.
PrintedinTheNetherlands
to my parents Ion and Aurica

Contents
Acknowledgments 1
1 Introduction 3
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Aboutthisthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Contributions tothestateoftheart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Background 9
2.1 Hybridsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 PiecewiseAf(cid:2)ne(PWA)systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Max-Min-Plus-Scaling(MMPS)systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Discreteeventsystems(DES) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Max-Plus-Linear(MPL)systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 SwitchingMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Optimalcontrol andmodelpredictivecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Optimalcontrol: problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 ModelPredictiveControl (MPC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Robustnessagainstuncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Finite-horizonoptimalcontrolforconstrainedmax-plus-linearsystems 29
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Max-plusalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Constrainedmax-plus-linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Finite-horizon optimalcontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Problemformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Linearprogramming solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Timing: deterministic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.4 (cid:147)Time(cid:148)optimalcontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Just-in-time controlforunconstrainedMPLsystems . . . . . . . . . . . 40
3.3 Finite-horizon min-maxcontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 UncertainMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.2 Open-loopmin-max control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Disturbancefeedbackmin-max control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.4 Statefeedbackmin-max control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.5 Timing: disturbancecase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
vii
viii Contents
3.3.7 Robust(cid:147)time(cid:148)optimal control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Worst-casecomputations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 (cid:147)Deterministic(cid:148)min-maxcontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Modelpredictivecontrolformax-plus-linearsystems 65
4.1 AnalysisofMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 StabilityforMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 MPCforunconstrainedMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Problemformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 Feedbackcontrollers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.3 UnconstrainedMPC:closed-loop stability . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.4 Outputregulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 MPCforconstrainedMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.1 Problemformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3.2 Positivelyinvariant(PI)setsforMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3.3 ConstrainedMPC:closed-loop stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.4 Outputregulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.5 Example: production system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 RobustMPCforconstrainedMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4.1 Robustlypositivelyinvariant(RPI)setsforuncertainMPLsystems . . . 87
4.4.2 Min-maxMPCforMPLsystems: closed-loopstability . . . . . . . . . . 88
4.4.3 Example: production systemwithdisturbances . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5 MPCforswitchingMPLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.1 Suf(cid:2)cientconditions forstabilityofswitchingMPLsystems . . . . . . . 91
4.5.2 MPCforswitchingMPLsystems: closed-loopstability . . . . . . . . . . 93
4.5.3 Example: production systemwithconcurrency . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Modelpredictivecontrolforuncertainmax-min-plus-scalingsystems 97
5.1 MMPSsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 CanonicalformsofMMPSsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.2 MMPSsystemsandotherclassesofDES . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.3 Multi-parametric MMPSprogramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 RobustMPCforMMPSsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.1 Problemformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.2 Open-loopmin-max MPCforMMPSsystems . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.3 Solutionbasedonmulti-parametric MMPSprogramming . . . . . . . . . 105
5.2.4 Solutionbasedondualityforlinearprogramming . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.5 Disturbancefeedbackmin-max MPCforMMPSsystems . . . . . . . . . 108
5.3 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Example: temperaturecontrol systeminaroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Contents ix
6 Modelpredictivecontrolforpiecewiseaf(cid:2)nesystems 115
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.1 Lowerboundforthein(cid:2)nite-horizon quadraticcost . . . . . . . . . . . . 117
6.1.2 Upperboundforthein(cid:2)nite-horizon quadraticcost . . . . . . . . . . . . 120
6.2 MPCforPWAsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.1 Problemformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.2 MPCforPWAsystems: closed-loopstability . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.3 Enlargementoftheterminalset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2.4 Polyhedralterminal set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 RobustMPCforPWAsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 RPIsetsforuncertainPWLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Feedbackmin-max MPCforPWAsystems . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 RobustMPCforPWLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Semi-feedbackMPCforPWLsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.6 Example: adaptivecruisecontrollerforaSmart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.6.1 Cruisecontroller setupandsimulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.6.2 Simulationsusingdeterministic MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.3 Simulationsusingrobust MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.7 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Conclusionsandfutureresearch 157
7.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Directionsforfutureresearch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A StructuralpropertiesoftheHelbingtraf(cid:2)c(cid:3)owmodel 163
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.2 Helbingtraf(cid:2)c(cid:3)owmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
A.3 Hugoniot locusandshocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
A.4 Rarefactionwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A.5 Generalsolution oftheRiemannproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B Linearmatrixinequalities 179
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2 TheSchurcomplementformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.3 TheS-procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.4 Elimination lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.5 Bilinearmatrixinequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
C Lyapunovstability 183
C.1 Lyapunovstabilityforgeneralnonlinearsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Bibliography 187
Notation 199
x Contents
Summary 203
Samenvatting 207
CurriculumVitae 211