Model Kurma ve Analiz

18 Pages·2012·0.73 MB·Turkish

11. Ders
Model Kurma ve Analiz

Örnek:
Çerçeve: 2011/2012 Öğretim Yılında Đst 307 Regresyon Analizi dersini alan
öğrencilerin kümesi (kitle).
Amaç: Boy uzunluğu, kol uzunluğu, omuz çevresi, kalça çevresi, bacak
uzunluğu, cinsiyet değişkenlerine dayalı olarak ağırlığı açıklayan bir lineer model
kurmak.
Bağımlı (açıklanan, tepki) değişken: Y (kg) – ağırlık
Açıklayıcı (bağımsız) değişkenler: X - boy uzunluğu (cm)
1
X - kol uzunluğu (cm)
2
X - omuz çevresi (cm)
3
X - bel çevresi (cm)
4
X - kalça çevresi (cm)
5
X - cinsiyet(K-0,E-1)
6
Örnekleme:
Gözlemler:
x x x x x x y
1i 2i 3i 4i 5i 6i i

Model: Cinsiyet dışındaki değişkenlerin (bağımlı ve açıklayıcı) ortak
dağılımının çok değişkenli normal dağılım olduğu düşünülebilir. Çok değişkenli
normal dağılımlarda değişkenlerden bir tanesinin, diğerlerine göre koşullu
dağılımının beklenen değeri diğer değişkenlerin verilen değerlerinin lineer bir
fonksiyonudur, yani
E(Y )=b +b xb+ xb + bx +b x + x
/X1=x1,X2=x2,X3=x3,X4=x4,X5=x5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
dır. Cinsiyet değikeni X ‘nın aldığı x =0 ve x =1 değerleri için
6 6 6
E(Y )=b +b xb+ xb + bx +b x +b x + x
/X1=x1,X2=x2,X3=x3,X4=x4,X5=x5,X6=x6 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
yazılabilir. Buradaki b katsayısı, x =1 değerini aldığında koşullu beklenen
6 6
değerde ortaya çıkacak değişimi (x =0 değerine göre değişimi) göstermektedir.
6

Y =b +b x b+ xb + bx + b x +b x e+ x + , i =1,2,...,n
i 0 1 1i 2 2i 3 3i 4 4i 5 5i 6 6i i
e ∼ N(0s, 2) , i =1,2,...,n
Varsayımlar: i
e 'ler bağımsız
i
Analiz:

Sonuçlar ve Yorumlar:
Uyum Eksikliği (Lack of Fit) Testi

Açıklayıcı değişkenlerin belli değerlerinde bağımlı değişken için birden
çok gözlem olsun.

Model:
Yij =b1x1ij +b 2x2ij +...b+ pxkeij + ij , i =1,2,...,m , j =1,2,...,ni

e ∼ N(0,s 2) , i =1,2,...,n , j =1,2,...,n
Varsayımlar: ij e i
e 'ler bağımsız
ij

olmak üzere,

H :Lineer Modeluygundur (Lineer Model gözlemlerileuyumludur)
0
H :Lineer Modeluygun değildir (Uyum eksikliği (lack of fit) vardır)
1

hipotezleri a anlam düzeyinde test edilmek istendiğinde, bir test istatistiği,

n
i
∑
Y
ij
Y = j=1
i
n
i
∑n ∑ni (Y - Yˆ )2- ∑n ∑ni (Y- Y )2-/(n p)
 ij ij ij i 
F = i=1 j=1 i=1 j=1 
∑n ∑ni (Y - Y )2
ij i
i=1 j=1
n
∑n - n
i
i=1

olup, F > F olduğunda H reddedilir.
n 0
1- a ;-n p; ∑-n n
i
i=1
Örnek(Fizik):

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)

,

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

The seconds pendulum, a pendulum with a period of two seconds so each swing takes one
second
The seconds pendulum, a pendulum with a period of two seconds so each swing takes one
second, was widely used to measure gravity, because most precision clocks had seconds
pendulums. By the late 17th century, the length of the seconds pendulum became the
standard measure of the strength of gravitational acceleration at a location. By 1700 its length
had been measured with submillimeter accuracy at several cities in Europe. For a seconds
pendulum, g is proportional to its length:

Örnek: Bir deneyde, x(cid:2)C sıcaklıkta 100 gr su içinde çözülen bir maddenin
kütlesi (y) aşağıdaki gibi gözlenmiştir.
xoC 10 20 30 30 40 40 40 50 60 60
y(gr) 59 65 68 70 73 74 75 81 92 93
Bu gözlemlere dayanarak y ile x arasında bir bağıntı araştıralım.
Gözlemlerin xOy koordinat sistemindeki görüntüsü (serpilme diyagramı,
saçılım grafiği) aşağıdaki gibidir.

Belli bir x sıcaklığında 100 gr su içinde çözülen madde miktarı için farklı
farklı değerler gözlenebilmektedir. Bu sebeple çözülen madde miktarını bir Y
rasgele değişkenin aldığı değer olarak görebiliriz.
E(Y /x) = a+bx
varsayımı altında,
e
Y = a+bx + , i =1,2,...,10
i i i
e
regresyon denklemini (modelini) gözönüne alalım. Burada ‘ler bağımsız ve
i
aynı dağılımlı varsayılan rasgele değişkenlerdir (hata terimleridir). a ve b
10 [ ]
katsayılarını En Küçük Kareler Yöntemi ile, yani ∑ y - (a+bx ) 2 kareler
i i
i=1
toplamı minimum olacak şekilde tahmin ettiğimizde,
10
∑(x - x)(y - y)
i i
bˆ = i=1 =0.661
10
∑(x - x)2
i
i=1
aˆ = y- bˆx = 49.881
bulunur. Bu katsayıları, gözlem noktalarının arasından gözlemlere yakın olacak
şekilde çizilen doğrunun eğiminden ve ordinatı kestiği noktadan da yaklaşık
olarak bulabiliriz.
yˆ=aˆ+bˆx=49.881+0.661x
regresyon tahmin denklemi yardımıyla belli x sıcaklığında 100 gr su içinde
çözülen ortalama madde miktarını (µ =E(Y / x)) tahmin edebiliriz.
Y/x
Serpilme diyagramına bakıldığında,
E(Y /x) = c+dx+ex2
gibi bir bağıntı daha uygun görünmektedir. Bu varsayım altında,
e
Y =c+dx +ex2 + , i =1,2,...,10
i i i i
regresyon denkleminde c,d,e katsayıları En Küçük Kareler Yöntemi ile tahmin
edildiğinde,
yˆ=cˆ+dˆx+eˆx2 =58.584+0.0864x+0.0078x2
tahmin denklemi bulunur.
Yukarıdaki serpilme diyagramında (x ,y ) noktaları, z = x2 olmak üzere;
i i i i
(x ,z ) noktaları olarak zOy koordinat sisteminde yeniden işaretlense aşağıdaki
i i
gibi bir serpilme diyagramı ortaya çıkmaktadır.

Bu serpilme diyagramına bakıldığında,
E(Y /x) = f + gz = f + gx2
i i
gibi bir bağıntı uygun görünmektedir.
e
Y = f +gz + , i =1,2,...,10
i i i
olmak üzere katsayıların tahmin edilmesiyle,
yˆ= fˆ+gˆx2 =60+0.00893x2
elde edilir.
Böylece üç tane tahmin denklemi elde etmiş olduk.
yˆ=aˆ+bˆx=49.881+0.661x
yˆ=cˆ+dˆx+eˆx2 =58.584+0.0864x+0.0078x2
yˆ= fˆ+gˆx2 =60+0.00893x2
Hangisini kullanacağız? Regresyon denkleminin gözlemlere uyumunun bir
ölçütü olan,
10
∑(yˆ - y)2
i
R2 = i=1
10
∑(y - y)2
i
i=1
belirleyicilik katsayısı bu üç denklem için sırasıyla, %95.1, %98.8, %98.7
olarak hesaplanmıştır. Đkinci ve üçüncü denklemler birinciden daha iyi
görünmektedir.
e
Her üç durumda da ‘lerin normal dağılıma sahip olduğunu varsayıp,
i
bireysel parametreler ile ilgili, sıfıra eşit olup olmama hipotezleri için t-
değerleri, p-değerleri ve varyans analizi tabloları aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
e
Birinci model Y = a+bx + , i =1,2,...,10 için,
i i i
parametre tahmin t-değeri p-değeri
a 49.881 23.01 0.00
b 0.661 12.50 0.00
ve varyans analizi tablosu,
değişimin serbestlik kareler ort. kar. F-değeri p-değeri
kaynağı derecesi toplamı toplamı
regresyon 1 1031.2 1031.2 156.2 0.0
hata 8 52.8 6.6
toplam 9 1084.0
dır.
e
Đkinci model Y =c+dx +ex2 + , i =1,2,...,10 için,
i i i i
parametre tahmin t-değeri p-değeri
c 58.584 26.10 0.00
d 0.0864 0.67 0.53
e 0.0078 4.54 0.00
ve varyans analizi tablosu,
değişimin serbestl kareler topl. ort. F- p-
kaynağı ik kar. değeri değeri
dereces topl.
i
regresyon 2 1070.62 535.31 280.02 0.00
hata 7 13.38 1.91
toplam 9 1084.0
dır.
Üçüncü model,
e
Y = f + gx2 + , i =1,2,...,10
i i i
için
parametre tahmin t-değeri p-değeri
f 60 80.75 0.00
g 0.00893 24.52 0.00
ve varyans analizi tablosu,
değişimin serbestl kareler ort. F- p-
kaynağı ik topl. kar. değeri değeri
dereces topl.
i
regresyon 1 1069.8 1069.8 601.3 0.00
hata 8 14.2 1.8
toplam 9 1084.0
dır.
Bu üç modelden belirleyicilik katsayısına göre daha iyi görünen ikinci
modelde d katsayısı anlamsızdır. Bu katsayının bulunduğu terimin modelden
çıkarılmasıyla üçüncü model elde edilmektedir. Üçüncü modelde karar kılmış
olalım. Bunun en iyi model olduğunu iddia edemeyiz.
Regresyon denklemi,
E(Y / x)=β +β x+β x2+...+β xk (polinom, parametrelere göre lineer)
0 1 2 k
E(Y / x)=α+βxγ (parametrelere göre lineer olmayan)
E(Y / x)=α+βex (parametrelere göre lineer)
α
E(Y / x)=
β+δeγx
…
biçiminde olabilir.