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Rainer Kaenders Reinhard Schmidt Hrsg. Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn 2. Aufl age Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen ⋅ Rainer Kaenders Reinhard Schmidt Herausgeber Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen Beispiele für die Förderung eines tieferen Mathematikverständnisses aus dem GeoGebra Institut Köln/Bonn 2., erweiterte Auflage Herausgeber Rainer Kaenders ReinhardSchmidt Mathematisches Institut ZfsLfürLehrämteranSchulen Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Abt.Gymnasium/Gesamtschule Engelskirchen,Deutschland Bonn, Deutschland Autoren Horst Bennemann (Kapitel 10) Dr. Lucia Del Chicca (Kapitel 2) Prof. Dr. Markus Hohenwarter (Kapitel 2) Prof. Dr. Rainer Kaenders (Kapitel 1 und 11) Dr. Oliver Labs (Kapitel 6) Maria Nelles (Kapitel 9) Dr. Wolfgang Riemer (Kapitel 3 und 7) Reinhard Schmidt (Kapitel 1 und 5) Günter Seebach (Kapitel 7 und 8) Prof. Dr. Ysette Weiss-Pidstrygach (Kapitel 4) ISBN978-3-658-04221-9 ISBN978-3-658-04222-6(eBook) DOI10.1007/978-3-658-04222-6 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;de- tailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©SpringerFachmedienWiesbaden2011,2014 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtaus- drücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgilt insbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspei- cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer Science+BusinessMedia www.springer-spektrum.de Vorwort Ifyouwanttogofast,goalone.Ifyouwanttogofar,gotogether.(WarrenBuffet) Langsam aber sicher wird der Einsatz von Technologie zu einem wesentlichen Bestandteil desUnterrichts.WegenderzunehmendenVerfügbarkeitvongünstigenComputernwurdeschon in den 1980er und 90er Jahren vorausgesagt, dass sich diese neuen Technologien schnell im Mathematikunterrichtetablierenwürden.DochinderSchulwirklichkeitgingdieseIntegration sehrviellangsamervonstattenalsangenommen. Alsichvor10JahrendasGeoGebraProjektalsStudentstartete,standzunächstnurdieIdee, dynamischeGeometriesoftwareundComputeralgebrafürtypischeAnwendungeninderSchule näher zusammen zu bringen, im Vordergrund. An einen verbreiteten Einsatz der Software in Schulen war nicht gedacht, und so war es mehr oder weniger Zufall, dass 2005 mein Kollege Yves Kreis von der Uni Luxemburg vorschlug, den Quellcode von GeoGebra auf eine Open SourcePlattforminsInternetzustellen,damitereinfacheramProjektmitarbeitenkann.Wegen zahlreicherEmailanfragenhabeichetwazurselbenZeitauchdasGeoGebraNutzerforumund einWikieingerichtet,woLehrergemeinsamFragenbeantwortenundMaterialienaustauschen konnten. Die letzten Jahre haben gezeigt, dass eine große Zahl von Enthusiasten herkömmliche Ent- wicklungsmodelleundVorstellungenvonInnovationüberdenHaufenwerfenkönnen.DerEr- folgvonProjektenwieWikipedia,Linux,FirefoxundMoodlebeweisteindrucksvoll,dassZu- sammenarbeitundAustauschwertvolleResourcenfüreineVielzahlvonLebensbereichenher- vorbringenkönnen.MitGeoGebrascheintderzeitetwasÄhnlichesimBereichmathematischer Softwarezu passieren.Heute arbeitenbereitsmehrere hundertLeute,praktisch alleehrenamt- lich, an diesem Projekt in der Programmierung, Übersetzung und Dokumentation mit, sodass dieSoftwareinzwischenin56SprachenaufderganzenWelteingesetztwird. Um solche Technologien auch tatsächlich in die Klassenzimmer zu bringen, genügt es aber nicht, gute Software kostenlos ins Internet zu stellen. Entscheidend ist die Unterstützung an- gehender Nutzer, insbesondere durch gute Materialien und Anregungen - wie in diesem Buch geschehen-sowiedurchentsprechendeFortbildungsangebotefürLehrer.Demhatsichauchdas internationaleNetzwerkvonGeoGebraInstitutenverschrieben,wobeidiesesBucheinkonkre- tesProduktentsprechenderBemühungendesGeoGebraInstitutsvonKöln/Bonndarstellt. Gemeinsam können wir mehr erreichen, nicht nur in der Weiterentwicklung einer Softwa- re, sondern insbesondere auch beim Austausch von Unterrichtsideen und -materialien, so wie es auch die Autoren der verschiedenen Kapitel in diesem Buch tun. Neue Technologien wie GeoGebrabietenunsnichtnurdynamischeundinteraktiveMöglichkeitenzurBehandlungma- thematischerThemen,siemachenesunsauchleichter,unsereIdeenauszutauschenundzusam- menzuarbeiten. Ich wünsche allen Lesern viel Spaß beim Ausprobieren der hier zu findenden Anregungen imeigenenUnterricht,undhoffe,SiebaldalsaktivesMitgliedderGeoGebraNutzergemeinde begrüßenzudürfen. MarkusHohenwarter EntwicklervonGeoGebra VI Dankwort Die in 2011 erschienene 1. Auflage des Buches hat großen Anklang gefunden und wir freuen uns, nun eine 2., erweiterte Auflage herausbringen zu können. Wir danken für die zahlreichen undkonstruktivenHinweiseunsererLeserinnenundLeser,diewirbeiderNeuauflageberück- sichtigthaben. An der Entstehung dieses Buches haben neben den Autoren noch einige andere direkt oder indirekt mitgewirkt. Besonders danken möchten wir hier Stephan Berendonk, David Brendel, LeonvandenBroek(†),PeterFitting,AloisiusGörg,GilbertGreefrath,MaximilianKirchner, BärbelSchmidtundEmeseVargyas,AgnesVerweijsowieUlrikeKleinbeiderTextgestaltung undUlrikeSchmickler-HirzebruchundBarbaraGerlachvomSpringerSpektrumVerlag. Bonn/Hennef,Januar2014 RainerKaendersundReinhardSchmidt Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 ZueinemtieferenMathematikverständnis 1 1.1 MathematischePerspektivenaufStangenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 VonBeispielenlernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 PortfolioselektionmitGeoGebra-inwelcheAktiensollichinvestieren? 13 2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Trend-Volatilitäts-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 KombinationvonAktien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 KombinationvonmehrerenAktien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 KombinationvonAktienundeinemSparbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ErziehenimMathematikunterricht 33 3.1 ProbierenversusKonstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Konstruktionenbeschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 ErziehenzusauberemZeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Resümee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 UmfänglichesundDiametrales 41 4.1 VariationundErhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 KonstruktionundalgebraischeBerechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 MathematischesObjektundProblemlösemethode . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5 AufEntdeckungsreisezudenNullstellenquadratischerFunktionen 63 5.1 NullstellenquadratischerFunktionenmitGeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 DerKreisvonCaptainLill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 LillsMethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 ÜberNullstellenhinaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5 Resümee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 DiskriminanteundNullstellenvonPolynomen 79 6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 NullstellenvonzufälligenquadratischenPolynomen . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 PolynomehöherenGrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4 ResümeeundAusblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7 Bleistiftrollen-BeurteilendeStatistikimFedermäppchen 91 7.1 MitBleistiften„würfeln“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 VIII Inhaltsverzeichnis 7.2 Erstsimulieren–Erwartungshaltungaufbauen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.3 Dannexperimentieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.4 VisualisiereninGeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.5 VertiefendeAufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.6 Resümee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.7 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8 AbleitungsregelnmitGeoGebraselbstentdecken–nichtnurfürPolynome 107 8.1 TangentenundihreSteigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2 DieTangentensteigunganderStellex=0bzw.x=abeiPolynomfunktionen . 111 8.3 Faktor-,Summen-undProduktregelfürPolynomeanderStellex=0 . . . . . 115 8.4 DieallgemeineAbleitungsregelfürPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.5 DieQuotientenregelfürPolynomquotientenselbstständigentdecken . . . . . . 117 8.6 VerallgemeinerungaufalleFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.7 DieZahlewirdentdeckt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.8 DieallgemeineExponentialfunktionundihreTangentensteigungsfunktion . . . 120 8.9 DieAbleitungderUmkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.10 Resümee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9 DieEulerscheZahl 125 9.1 WegederBegriffsgenesemitGeoGebradurchschauen. . . . . . . . . . . . . . 125 9.2 ZurGeschichtederEulerschenZahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.3 EmpirischerZugangzurEulerschenZahlüberdiestetigeVerzinsung . . . . . . 126 9.4 ZugangüberdenFlächeninhaltunterderHyperbel . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.5 GraphischeUmkehrungdernatürlichenLogarithmusfunktionundAbleitungder Umkehrfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.6 VertiefendeEinsichtenindenStandardwegmitGeoGebra . . . . . . . . . . . 131 10 Iteration:EinWegzuOrdnung&Chaos 133 10.1 Relevanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.2 LineareIteration–Rekursion–Verkettung–Rückkopplung . . . . . . . . . . 135 10.3 QuadratischeIteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.4 HatdasChaosStruktur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.5 KannmanChaosmessen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.6 ...undwasgibtesnoch? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.7 Anhang:ExperimenteundÜbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11 Funktionenkannmannichtsehen 169 11.1 Nomogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.2 Gratwanderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Sachverzeichnis 189 Autorenverzeichnis 193 1 Zu einem tieferen Mathematikverständnis RainerKaendersundReinhardSchmidt Ein buntes Spielzeugauto mit echten Motor- und Sirenengeräuschen und batteriebetriebenem AntriebverlierttrotzanfänglicherFaszinationfürKinderhäufigschnellseinenReiz.Vielmehr fürdieEntwicklungleisteteinBaukastensystem,woKindermitganzunperfekteneigenenFahr- zeugkreationenspielen,immerneueMöglichkeitenderErweiterungentdeckenundihrerPhan- tasiefreienLauflassenkönnen. BeiGeoGebrahandeltessichumeineDynamischeMathematiksoftware,dieGeometrie,Ta- bellenkalkulation und Algebra vereint und dadurch für den Mathematikunterricht reichhaltige Möglichkeitenbietet.NebendeninhaltlichenVorteilen,dieindiesemBuchanBeispielennäher beschrieben werden, bietet das Programm drei wesentliche Vorteile: Es ist für den Mathema- tikunterrichtentwickeltundanseinespezifischenAnforderungenangepasstworden.Außerdem ist es für den privaten Benutzer (also insbesondere für Schülerinnen und Schüler) kostenlos.1 ZudemhandeltessichumeinOpen-Source-Programm,dasvonvielenMenschenweltweitwei- terentwickeltwird. FürdasMathematiklernenkannGeoGebrasowohleinbuntesfertigesSpielzeugautoalsauch ein Baukastensystem mit Raum für eigene Gestaltung und Erforschung sein. In diesem Buch interessierenwirunsfürdieMöglichkeiten,dasProgrammzurVertiefungdesMathematikver- ständnissesvonSchülerinnen,SchülernoderanderenMathematiklernenden2 einzusetzen.Geo- GebrakannzurVisualisierungmathematischerSachverhalteeingesetztwerden,kannaberauch als Katalysator mathematischen Verständnisses dienen. Genau das streben wir an: GeoGebra kanndazubeitragen,SchülerzurReflexionüberMathematikanzuregen,verschiedenePerspek- tivenvonbestimmtenStandpunktenaufeinenmathematischenGegenstandzuermöglichenund schließlichauchPerspektivwechsel,wiebeispielsweisezwischenGeometrieundAlgebra,vor- zunehmenundzuveranschaulichen. AusdiesemAnspruchfolgt,dassdiesesBuchkeinBenutzerhandbuchseinmöchte.Vielmehr soll an ausgewählten Beispielen deutlich gemacht werden, wie sinnvoller GeoGebra-Einsatz aussehen kann und wie man mit Hilfe von GeoGebra mehr Mathematik im Mathematikunter- richtstattfindenlassenkann.Wirwollenzeigen,dassGeoGebrahierfüreinenwichtigenBeitrag leisten kann, dass es bei aller Begeisterung für die neuen Möglichkeiten manchmal aber auch sinnvollseinkann,einfachdenComputerauszuschaltenundaufalthergebrachteMethodenund HilfsmitteldesUnterrichtszurückzugreifen. 1Downloadunter[Hoh11],http://www.geogebra.org/cms/de/download 2InderFolgesprechenwirkurzvondemSchüler,demLeser,demLernendenundmeinendamitauchdiejeweils weiblicheForm. R. Kaenders, R. Schmidt (Hrsg.), Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen, DOI 10.1007/978-3-658-04222-6_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014 2 1 ZueinemtieferenMathematikverständnis 1.1 Mathematische Perspektiven auf Stangenvierecke IndiesemeinleitendenKapitelwollenwiranhanddesBeispielsderStangenvierecke(d.h.Kon- gruenzklassen von Vierecken, bei denen vier Seitenlängen vorgegeben, die Winkel zwischen denSeitenabervariabelsind)verschiedenemathematischePerspektivenvorstellen,dieteilwei- sedurchGeoGebravermitteltundzumTeildavonunabhängigsind. AnStangenviereckengibtesvielzuentdecken(siehezumBeispielzuAspektenderMathema- tik[BM56],derIngenieurwissenschaft[Hal61]undderMathematikdidaktik[Eng71],[Kae06] und[Kae09]).ZunächsteinmalgibteskeinenGrund,hierbeidenComputereinzusetzen.Viele bemerkenswertePhänomenekönnenundsolltenaneinem„realen“,ausHolz,MetalloderPappe gefertigtenStangenviereckerkundetwerden.DasExperimentierenmitdemRealmodellhatden Vorteil haptischer und räumlicher Wahrnehmung eines Stangenvierecks und seiner möglichen Bewegungen.ÄnderungderLängenderSeitenunddasVerständnisvonZusammenhängen,die nurbeibestimmtenKonstellationenderLängenauftretenkönnen,setzeneinengewissenVorrat anSeitenlängenunddieMöglichkeitdervariablenVerschraubungvoraus,z.B.wiebeiMärklin bzw.MeccanoBaukästen,wiesiefrüherpopulärwaren.Experimentiertmanmitverschiedenen Längen,sokannmanz.B.feststellen,dassessogenanntedurchschlagendeStangenviereckegibt –dassindStangenvierecke,beidenenmanalleStangenaufeineLiniebringenkann.Wennnicht einederStangensolangist,wiediedreirestlichenzusammen,danngibtesvondieserPosition ausvierunterschiedlicheRichtungen,indiemandasStangenviereckbewegenkann,usw.Und darüberhinausgibtesStangenviereckemitPositionen,dienichtdurcheineBewegungdesStan- genvierecks in der Ebene ineinander überführbar sind. Schon hier werden spannende Fragen aufgeworfen. DochhabendiesemechanischenModelleihreBegrenzungen.Esistimmernurmöglich,ei- nige wenige Varianten von Stangenvierecken zu untersuchen. Manche Überkreuzbewegungen scheiternanüberstehendenStangenoderanderFrage,obeineStangevonobenodervonunten mitihrerNachbarstangezusammengeschraubtwurde. Dies ist der Zeitpunkt, GeoGebra zur Fortsetzung der experimentellen Untersuchungen von Stangenviereckenzunutzen.DieskanndurchdieVorgabeeinesAppletsoderdurchdieeigen- ständige,dynamischeKonstruktioneinesStangenvierecksdurchdenSchülererfolgen.Dieselb- ständige Konstruktion eines Stangenvierecks mit den positiven Längen a, b, c und d erfordert einÜbersetzenderZusammenhängedesRealmodellsingeometrischeZusammenhängeundge- schieht schrittweise: Man zeichnet in GeoGebra eine Strecke der Länge a, den so genannten Steg, und zwei Kreise mit Radien d und b, deren Mittelpunkte auf den Endpunkten A und B derStreckemitLängealiegen.AufdenKreismitRadiusdsetztmaneinenbeweglichenPunkt D, um den man einen dritten Kreis mit Radius c schlägt, den man dann mit dem freien Kreis schneidet.EinerderhierentstandenenSchnittpunkteformtmitdembeweglichenPunktaufdem KreisunddenbeidenEndpunktenderStreckeeinStangenviereckmitdenLängena,b,cundd. ZiehtmannunandemPunktD,dannbewegtsichdasStangenviereck.Ziehtmanjedochzu weit,dannverschwindetdieStangederLängec,diesogenannteKoppelstange,daeinesolche PositiondesStangenvierecksnichtmehrmöglichist.DieGeoGebraKonstruktionverhältsich alsoganzandersalsdasmechanischeStangenviereck,dasmanjanichtauseinanderziehenkann. Die Frage, wie man diese mechanische Situation stabil auch in GeoGebra herstellen kann, führtzueinemtieferenVerständnisvonStangenvierecken–zumindest,wennmaneinedergeo- metrischenSituationangepasstenatürlicheKonstruktionsucht.Dazumussmansichallgemein Gedankendarübermachen,welchePositioneneinStangenviereckeinzunehmeninderLageist.
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