Minkowski Uzay-Zaman Geometrisinde Noktaların Üreteç İnvaryantları Sistemi ve Yörüngeleri

14 Pages·2010·0.23 MB·Turkish

MNKOWSK UZAYZAMAN GEOMETRSNDE NOKTALARIN
ÜRETEÇ NVARYANTLARI SSTEM VE YÖRÜNGELER

dris ÖREN
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 61080, Trabzon

[email protected]

Özet
M, Minkowski uzayzamanı olmak üzere, M’de keyfi m-tane nokta için O(3,1) pseudo-ortogonal ve
SO(3,1) özel pseudo-ortogonal grubunun invaryant polinomlar halkasının üreteç invaryantlar sistemi
bulundu. Bu sistem bulunurken, polarizasyon operatörü, Capelli denklikleri ve invaryant teorisinin
yöntemleri kullanıldı.Ayrıca O(3,1) grubunun yörünge problemi çözüldü.

Anahtar Sözcükler : Uzayzaman, invaryant, pseudo-ortogonal, grup, yörünge.
MSC(2000) : 13A50; 15A63; 51M10; 83A05

1. Giri
Minkowski Uzayzaman geometrisinin doum yılı 1905 olarak alınabilir. Hermann
Minkowski(1864-1909) Öklid geometrisinden farklı olarak, yeni bir metrik tanımlayarak,
adına “Minkowski Uzayzaman Geometri” denilecek olan bu geometrik yapıyı
oluturmutur. Bu yapının Öklid geometrisinden farkı, uzaysal boyuta zaman boyutunun
eklenmesi ile uzay-zamanın kaynaık bir yapı olarak ele alınmasıdır. Böylece dört boyutlu
Minkowski Uzayzaman geometrisi ortaya çıkmıtır.
1872’de F.Klein “Erlanger Programı” olarak bilinen konumasında geometrilerin grup
etkisi altında incelenebileceini ifade etmitir. Bu balamda Öklid geometrisi, Öklid
grubu; Afin geometrisi, Afin grubu altında; nokta, eri ve yüzeylerin ortogonal ve afin
dönüümler altında korunan özeliklerinin-invaryantlarının- aratırılabileceini ve önemini
belirtmitir.
Bu durum F.Klein’in ifade ettii anlamda, Minkowski uzayzaman geometrisini ortaya
çıkaran grup etkisi altında nokta, eri ve yüzeylerin invaryantlarını bulma problemi ortaya
çıkmıtır. Dier taraftan bu geometri için matematiksel ve fiziksel yapılara ait çalımalar
yapılmıtır.
Bu bildiride O(3,1) olarak incelediimiz ortogonal grup, Minkowski Uzayzaman
Geometrisini etkileyen grup anlamında alınmıtır. Bu grup G.L. Naber [16] kitabında
Genel Lorentz Grubu(L ) olarak adlandırılmıtır.
GH
nvaryantlar teorisi ile ilgili çalımalara ise 1850-1870 yılları arasında balanmıtır.
nvaryantlar teorisinde G bir grup olmak üzere ℜ[x ,...,x ]G nin üreteçleri, bu üreteçler
1 m
arasındaki baıntılar ve denklik problemi üzerinde durulmutur.
1850’den 1960’a kadar ℜ[x ,...,x ]Ghalkasının cebirsel özelikleri incelenmitir. 1890
1 m
yılında Hilbert, invaryantlar teorisi ile ilgili temel çalımalar yapmıtır.
nvaryantlara ait bazı çalımalar J.A.Dieudonne [8], D.Hilbert [12], D.Khadjiev [13],
T.A.Springer [20], H.Weyl [22] eserlerinde yer almaktadır.
1946 yılında H.Weyl [22,syf.66], kitabında E.Study [21]’in 1897 yılında yaptıı
çalımalar yardımıyla O(n)grubu veSO(n) altgrubuna ait noktaların üreteçler problemini
incelemi ve Lorentz grubuna ait problemin çözümünü açık bırakmıtır.
1988 yılında D.Khadjiev [13] kitabında ve R.Aripov’un makalelerinde Öklid grubu
için noktaların üreteçleri yardımıyla denklik problemi ve yörünge problemini incelemitir.
1999 yılında R.Höfer [11], Gram matrisi yardımıyla Minkowski uzayında m tane
noktanın yörüngelerini incelemitir.
2001 yılında F.P.Washek [16], Lorentz grubundaki dönüümlerin özelikleri, iaret
fonksiyonu dilinde incelenmitir.
2004 yılında .Ören [17], iki boyutlu Minkowski uzayzamanında, O(1,1), SO(1,1) ve
L-Lorentz grubu için noktaların üreteçlerini ve üreteçleri arasındaki ilikileri incelemitir.
2003 ve 2004 yıllarında W.Benz [2,3], iç çarpım dilinde uzaklıı koruyan Lorentz
dönüümleri ve metrik doruları incelemitir.
2. Önbilgiler
Tanım 1. V, n≥1 boyutlu keyfi reel vektör uzayında bilineer, simetrik ve bozulmamı
özeliklerine sahip g:V ×V →ℜ dönüümüne iç çarpım denir ve g(u,v)= u,v ile
gösterilir.
Teorem 1. V, n≥1 boyutlu keyfi reel vektör uzayı, g:V ×V →ℜ genelletirilmi iç
çarpım olsun.Bu takdirde, V’de e,e =±1,i=1,2,…,n ve e,e =0,i ≠ j, i,j=1,2,…,n
i i i j
olan {e} i=1,2,…,n eklinde bir taban vardır.
i
spat: : [16,p.8] 
Tanım 2. V, n≥1 boyutlu reel vektör uzayı ve g:V ×V →ℜ bir genelletirilmi iç
çarpım olsun.g(e,e )= e−,e = 1 olan g-genelletirilmi iç çarpımın keyfi ortonormal
i i i i
tabanındaki e ’lerin sayısına g’nin indeksi denir. [16,p.9]
i
Tanım 3. M, 4-boyutlu reel vektör uzayında bilineer, simetrik, bozulmamı ve indeksi
1 olan g:M ×M →ℜ ile tanımlı uzaya Minkowski uzayzamanı denir. [16,p.9]
g:M ×M →,g(v,w)=v.w +v .w +−v .w v .w eklindeki genelletirilmi iç
1 1 2 2 3 3 4 4
çarpıma Lorentz iç çarpımı adı verilir.
Not .Burada M =ℜ3+1 olarak 4-boyutlu reel uzay anlamında olup 3+1’in “1” kısmı
indeksi ifade etmektedir.
Tanım 4. g:M ×M →ℜ Lorentz iç çarpımı olmak üzere,
(i) 0≠v∈M için g(v,v)= v,v =0 ise v-vektörüne ıık vektör denir.
(ii) v∈M için g(v,v)= v,v <0 ise v-vektörüne zamansal vektör denir.
(iii) v∈M için g(v,v)= v,v >0 ise v-vektörüne uzaysal vektör denir.
3. Keyfi m tane Noktanın nvaryant Polinomlar Halkasının Üreteç nvaryantları
Sistemi
x ,...,x noktaları(vektörleri) M ’nin elemanları olmak üzere, p(x ,...,x ) ile
1 m 1 m
x ,...,x ’lerin polinomunu tanımlayalım ve bu polinomu kısaca p(x) ile gösterelim.
1 m
x ,...,x ’lerin tüm polinomlar kümesini ℜ[x ,...,x ] ile tanımlayalım ve bunu kısaca
1 m 1 m
ℜ[x] ile gösterelim.
Önerme 1 : ℜ[x], bir ℜ-cebirdir.
spat: [17] 
O(3,1)={F :M →=M : Fx,Fy x,y } ile Lorentz iç çarpımını koruyan tüm pseudo-
ortogonal dönüümlerin grubunu gösterelim. Benzer ekilde Lorentz iç çarpımını koruyan
tüm özel pseudo-ortogonal dönüümlerin grubunu ise SO(3,1) ile gösterelim.
G ile O(3,1)’in bir altgrubunu gösterelim.
Tanım 5: G bir grup ve p(x) bir polinom olmak üzere, keyfi g∈G için p(gx)= p(x)
ise p(x) polinomuna G-invaryant polinom denir.
Tüm G-invaryant polinomlar kümesini ℜ[x ,...,x ]G ile tanımlayalım ve bunu kısaca
1 m
ℜ[x]G ile gösterelim.
Önerme 2: ℜ[x]G, bir ℜ-cebirdir.
spat: [17] 
Tanım 6: p(x)∈ℜ[x]O(3,1) olmak üzere, ∀g∈O(3,1) için p(gx)=λ(g)p(x) olacak
ekilde bir λ(g) fonksiyonu mevcut ise p(x) polinomuna O(3,1)-nispi invaryant polinom
denir.
Tanım 7 : Yukarıdaki λ(g) fonksiyonuna aırlık fonksiyonu denir.
Aırlık fonksiyonu aaıdaki özelliklere sahiptir: ∀g, g , g ∈O(3,1) için;
1 2
1) λ(g g )=λ(g )λ(g )
1 2 1 2
2) λ(g)= ±1’dir.
Tanım 8: p(x)∈ℜ[x]O(3,1) polinomu O(3,1)-nispi invaryant polinom olmak üzere,
∀g∈O(3,1) için λ(g)=1 ise p(x)’e çift invaryant polinom denir.
Tanım 9: p(x)∈ℜ[x]O(3,1) polinomu O(3,1)-nisi invaryant polinom olmak üzere,
∀g∈SO(3,1) için λ(g)=1 ve g∈O(3,1) için λ(g)=−1ise p(x)’e tek invaryant
polinom denir.
Önerme 3 : p(x) polinomu, SO(3,1)-invaryant polinom olsun. Bu takdirde,
p(x)= p (x)+ p (x) eklinde p (x) çift ve p (x) tek SO(3,1)-invaryant polinomların
1 2 1 2
toplamı eklinde tek türlü yazılabilir.
spat: f(x)=(x(1), x(2), ..., x(m)), keyfi SO(3,1)-invaryant polinom olsun.
−1 0 0  0 
 
0 1 0  0
 
h=     olacak ekilde h∈O(3,1) alalım. Burada deth=−1 ve
 
    
 
 
 0 0 0  1 
1 1
h−1 =h’dir. Bu takdirde, ϕ(x)= ( f(x)+ f(hx))çift polinom,ψ(x)=− ( f(x) f(hx))tek
2 2
polinomdur. Gerçekten; g∈O(3,1) ve detg =−1 için, g = g h=hg
1 2
olacak ekilde g , g ∈SO(3,1) mevcuttur ve g = gh−1, g =h−1g’dir. Buradan;
1 2 1 2
1 1
g∈SO(3,1) ise,ϕ(gx)= ( f(gx)+ f(hgx))= ( f(x)+ f(hgh−1hx)’dır.
2 2
Burada; hgh−1∈SO(3,1) ve f , SO(3,1)-invaryant olduundan,
1
ϕ(gx)= ( f(x)+ f(hx))=ϕ(x)olur.
2
1
g∈O(3,1) ve detg =−1 ise,ϕ(gx)= ( f(gx)+ f(hgx))’dir.
2
Burada; g = g h olacak ekilde g ∈SO(3,1) mevcuttur.
1 1
1
ϕ(gx)= ( f(g hx)+ f(hgx))yazarız. Burada f ’nin SO(3,1)-invaryant ve hg∈SO(3,1)
2 1
olduu kullanılarak,
1 1
ϕ(gx)= ( f(hx)+ f(x))=ϕ(x)elde edilir. Dolayısıyla ϕ(x)= ( f(x)+ f(hx)),
2 2
O(3,1)-invaryant’tır. Yani çifttir.
1
imdi ψ(x)=− ( f(x) f(hx))’in tek invaryant olduunu gösterelim: Bunun için önce
2
bunun SO(3,1)-invaryant olduunu gösterelim.
1 1
g∈SO(3,1) ise, ψ(gx)=−=−( f(gx) f(hgx)) ( f(x) f(hgh−1x))’dir.
2 2
1
hgh−1∈SO(3,1) ve f , SO(3,1)-invaryant olduundan, ψ(gx)=−=( f(x) f(hx)) ψ(x)
2
elde edilir.g∈O(3,1) ve detg =−1 ise,
1 1
ψ(gx)=−=(−f(gx) f(hgx)) ( f(g hx) f(hgx))
2 2 1
yazarız. Burada hg∈SO(3,1) ve f ’nin SO(3,1)-invaryant olduu kullanılarak,
1 1
−ψ(gx)==− ( f(hx) f(x)) ψ(x) elde edilir. Dolayısıyla ψ(x)=− ( f(x) f(hx)) tek
2 2
invaryanttır. 
Teorem 2:
i) Keyfi çift invaryant polinom, x,x ,i, j =1,2,...,m’lerin polinomu olarak ifade
i j
edilebilir.
ii) Keyfi tek invaryant polinom , ϕ(x ,x ,...,x ) çift invaryant polinom olmak üzere
1 2 m
x x x x ϕ(x ,x ,...,x ),i <i <...<i ; i ,...,i =1,...,m’lerin polinomu eklinde
 i i i i  1 2 m 1 2 4 1 4
1 2 3 4
ifade edilebilir.
spat : T m ile (3+1)-boyutlu uzayda m-tane vektöre balı önermeyi gösterelim.
3+1
m>4 durumunda Capelli denkliklerinin 1. kısmı kullanılarak, teorem, T m →T 4
3+1 3+1
durumuna indirilir [22].
Bu taktirde T 4 durumunu inceleyelim.
3+1
m=4 durumunda Capelli denkliklerinin 2.kısmı kullanılarak, teorem, T 3 durumunun
3+1
incelenmesine indirilir[22].
Capelli denkliinin m=4 olan durumunu f ’ye kullanalım:
1
f = P.f*+x Ωx x x . f ’dir. (1)
 i i i i 
ρ 1 2 3 4
f - çift olsun.S ’deki sıraya göre P.f polinomu f ’den küçüktür ve keyfi P.f* polinomu
r
çifttir. (P.f*’ler D ...D f* eklindedir.)
α(i)β(i) α(1)β(1)
x x x x .Ωf terimini inceleyelim:
 i i i i 
1 2 3 4
Ωf ’nin derecesi r−4 olduundan Ωf için T4 dorudur.
3+1
f , çift ise, Ωf tektir. Ωf için T4 doru olduundan, Ωf= x x x x .ϕ
3+1  i1 i2 i3 i4 
eklinde ifade edilebilir. Burada ϕ, çifttir. Dolayısıyla,
x , x  x , x
i i i i
1 1 1 4
x x x x .Ωf= x x x x .x x x x .ϕ=    .ϕ
 i i i i   i i i i   i i i i 
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
x , x  x , x
i i i i
4 1 4 4
eklinde yazılabilir. Burada ϕ, çift ve S ’deki sırası f ’den küçük (derecesi küçük)
r
olduundan ϕ polinomu x, x ’ler cinsinden ifade ediliyor. Bundan dolayı f ’nin çift
i j
olduu durumda f için T4 dorudur.
3+1
imdi f , tek olsun. Bu takdirde (1) eitliindeki P.f*’ler de tektir. P.f*’lerin S ’deki
r
sırası f ’den küçüktür. Buna göre P.f*’ler için T4 dorudur.
3+1
imdi x x x x .Ωf terimini inceleyelim:
 i i i i 
1 2 3 4
f , tek olduundan Ωf çifttir. Dolayısıyla f polinomu x x x x .Ωf polinomlarının
 i i i i 
1 2 3 4
toplamı eklindedir. Burada ϕ, çifttir. Sonuçta f için T4 dorudur.
3+1
imdi T 3 durumunu inceleyelim. Burada ispat iki kısma ayrılır:
3+1
1) Çift invaryant polinomların incelenmesi. (Bunu T 3C ile göstereceiz.)
3+1
2) Tek invaryant polinomların incelenmesi. (Bunu T 3T ile göstereceiz.)
3+1
imdi ;
1) T 3C kısmını ispatlayalım.Bunun anlamı (3+1)-boyutlu uzayda 3 tane vektöre balı
3+1
çift invaryant polinomlara ait önermedir.Burada,
f (x ,x ,x ), O(3,1)-çift invaryant polinom olsun. Burada x ,x ,x ∈ℜ3+1 lineer baımsız
1 2 3 1 2 3
vektörleri x =(x ,x ,x ,x ),x =(x ,x ,x ,x ),x =(x ,x ,x ,x ) ile gösterelim.
1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34
( )
Bunların Gram matrisini G(x ,x ,x )= x,x ve Gram determiantını
1 2 3 i j
i,j=1,2,3
detG(x ,x ,x ) ile gösterelim.
1 2 3
detG(x ,x ,x )≠0 olsun. Bu takdirde F∈O(3,1) ile Fx = y =(y ,y ,0,y ),i =1,2,3
1 2 3 i i i1 i2 i3
ekline getirilebilir. Böylece detG(y ,y ,y )≠0’dır. Bu takdirde,
1 2 3
f (y=,y ,y )=≤ϕ( y ,y ),i j 1,2,3 eklinde ifade edilebilir. Ayrıca burada
1 2 3 i j
{y},i =1,2,3’ler ℜ2+1’in elemanlarıdır. Dier taraftan,
i
F∈O(3,1)
ϕ( y ,y )=ϕ( Fx,Fx ) = ϕ( x,x )’dir. O zaman f (x ,x ,x )=ϕ( x ,x )
i j i j i j 1 2 3 i j
eklinde ifade edilebilir.
Varsayalım detG(x ,x ,x )=0 olsun. Bu takdirde, H.Weyl [22,syf.4,Lemma1.1.A]’dan
1 2 3
cebirsel eitsizliklerin önemli olmadıı prensibine göre, bir polinom kökleri dıında sıfır
ise her yerde sıfırdır.Yani, çözüm salanır.
Dier taraftan, f (y ,y ,y ) polinomu, ℜ2+1’de {y},i =1,2,3’lerin O(2,1)-invaryant
1 2 3 i
polinomudur.Yani üç tane vektörün çift polinomudur. Böylece durum T 3C →T3C’ü
3+1 2+1
incelemeye iner.
Burada m=3 durumunda Capelli denkliklerinin 2. kısmı kullanılarak, teorem
T 3C →T 2C durumuna indirilir [22].
2+1 2+1
Böylece ispatımız T 2C durumunu incelemeye iner. Ancak yukarıdaki kısımdaki gibi
2+1
ispat yapılırsa T 2C →T2C durumuna indirilir. T2C durumu [17]’de ispatlanmıtır.
2+1 1+1 1+1
2) T 3T kısmını ispatlayalım.
3+1
f (x ,x ,x ), O(3,1)-tek invaryant polinom olsun. Burada x ,x ,x ∈M lineer baımsız
1 2 3 1 2 3
vektörleri x =(x ,x ,x ,x ),x =(x ,x ,x ,x ),x =(x ,x ,x ,x ) ile gösterelim.
1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34
Bu takdirde F∈O(3,1) ile Fx = y =(y ,y ,0,y ),i =1,2,3 ekline getirilebilir.
i i i1 i2 i3
f (x ,x ,x ), O(3,1)-tek invaryant polinom ve F∈O(3,1)olduundan
1 2 3
f (x ,x ,x )= f (F(x ),F(x ),F(x ))=detF.f (y ,y ,y ) olur. F∈O(3,1) olduundan
1 2 3 1 2 3 1 2 3
F−1 mevcut ve F−1∈O(3,1)’dir. F(x )= y ,i =1,2,3 ifadesinden F−1(y )= x,i =1,2,3
i i i i
yazabiliriz. f (x ,x ,x ), O(3,1)-tek invaryant polinom olduundan
1 2 3
f (x ,x ,x )= f (F−1(y ),F−1(y ),F−1(y ))=detF−1.f (y ,y ,y ) elde edilir.
1 2 3 1 2 3 1 2 3
z  1 0 0 0
1
   
z 0 1 0 0
imdi z =∈ℜ2 3+1 ve δ= ,detδ=−1 olan δ∈O(3,1) alalım.Buradan
z  0 0 −1 0
 3  
z  0 0 0 1
4
1 0 0 0z   z 
1 1
    
0 1 0 0 z z
δz =  2= 2 olur.Bu δ∈O(3,1)’i {y ,y ,y }’e kullanırsak
0 0 −1 0z  −z  1 2 3
  3  3
0 0 0 1z   z 
4 4
δy = y ,i =1,2,3 elde edilir.Buradan
i i
f (y ,y ,y )= f (δ(y ),δ(y ),δ(y −))=detδ.f (y ,y ,y )= f (y ,y ,y ) olduundan
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
−1
f (y ,y ,y )=0 elde edilir. Böylece f (x ,x ,x )=0 olur.O halde f (x ,x ,x ), O(3,1)-tek
1 2 3 1 2 3 1 2 3
invaryant polinom sıfırdır.
Sonuç olarak, T 3 durumunda keyfi invaryant polinom x,x ,i, j =1,2,3’lerin polinomu
3+1 i j
olarak ifade edilebiliyor. Bu T 4’de doru olduundan T m’de keyfi çift invaryant
3+1 3+1
polinom x,x ,i, j =1,2,...,m’lerin polinomu olarak ; keyfi tek invaryant polinom , ϕ-
i j
çift olmak üzere x x x x .ϕ eklinde tek invaryant polinomların toplamı olarak ifade
 i i i i 
1 2 3 4
edilebilir. 
Teorem 3: x , x , ..., x ’ler M ’de bilinmeyen vektörler olsun. Bu takdirde;
1 2 m
x, x , i, j =≤1,2,...,m; i j sistemi, ℜ[x , x , ..., x ]O(3,1) ℜ-cebir’inin üreteç
i j 1 2 m
sistemidir.
spat: Bu aslında Teorem 2 ’nin 1. kısmıdır. 
Teorem 4 : x , x , ..., x ’ler M ’de bilinmeyen vektörler olsun. Bu takdirde,
1 2 m
x, x , i, j =≤1,2,...,m; i j ve x x≤... ≤x ≤; 1 ≤i ≤i ... i m sistemi,
i j  i i i  1 2 4
1 2 4
ℜ[x , x , ..., x ]SO(3,1) ℜ-cebir’inin üreteç sistemidir.
1 2 m
spat: Bu teorem, Teorem2 ’in ve Önerme3’ün bir sonucudur. 
4. O(3,1) Grubunun Yörüngeleri
B 0
Önerme 4: A=∈ ,B O(3,0) olacak ekilde A∈O(3,1) ortogonal dönüüm
0 1
mevcuttur.
B 0
spat : A∈GL(4,) için A=∈ ,B O(3,0) olsun. A∈O(3,1) olduunu
0 1
göstermek için ATηA=η olduunu ispatlayalım.
B 0T I 0 B 0 BT 0 B 0 BTB 0  I 0 
ATηA=    =  = = =η
0 1 0 −10 1  0 −10 1  0 −1 0 −1
I∈O(3,0), I-birim matris olduundan A∈O(3,1)’dir.
Verilen k∈ℜ için,
Y ={x=(x ,x ,x ,∈x ) M :=x≠,x k,x 0} kümesini gösterelim.
k 1 2 3 4

Önerme 5: O(3,1) ortogonal grup olmak üzere,
i) k ≠0 için Y , k =0 için Y ve {0} kümeleri O(3,1) grubunun yörüngeleridir.
k 0
ii) O(3,1) grubunun bunlardan baka yörüngesi yoktur.
spat :
i)
i.1) k ≠0 için Y kümesini alalım.Burada x∈Y için x,x =k denklemini
k k
inceleyelim.

i.1.1) k >0 ve x=∈(x ,...,x ) M olsun. Bu takdirde,
1 4
x,x =k  x2 +x2 +−x=2 x2 k  x2 +x2 +x2 =k+x2 elde edilir. Burada k+≠x2 0’dır.
1 2 3 4 1 2 3 4 4
O zaman k+x2 = s2 ile gösterelim. Buradan x2 +x2 +x2 = s2,s >0 olduundan, bu ℜ3’te
4 1 2 3
s-yarıçaplı küre denklemini verir. Bunu küresel koordinatlar dilinde,
x =scosαsinβ,x =ssinαsinβ,x = scosβ eklinde ifade edebiliriz. imdi, öyle
1 2 3
cosαsinβ sinαsinβ cosβ 0
 
−sinα cosα 0 0
F =∈  O(3,1) alalım. Bunu x’e kullanırsak,
1 cosαcosβ sinαcosβ −sinβ 0
 
 0 0 0 1
Fx=(s,0,0,x )= x elde edilir. x≠ y olan y∈Y alalım. Tanımdan y,y =k >0’dır. Bu
1 4 k
y vektörü yukarıdaki gibi incelenirse, bir F ∈O(3,1) için F y =(p,0,0,y )= y elde
2 2 4
a 0 0 b
 
0 1 0 0
edilir. Burada F =  alalım. Eer Fx = y olacak ekilde a2 −=b2 1 artını
0 0 1 0
 
b 0 0 a
salayan a,b∈’ler mevcut ise, [17,syf.60]’daki Önerme 31’den F∈O(3,1) olup ispat
biter. imdi bunu gösterelim.
as+bx = p  ps−x y sy − px
Fx = y ’den 4  elde edilir. Bu sistem çözülürse, a = 4 4 ,b= 4 4
ax +bs = y  s2 −x2 s2 −x2
4 4 4 4
elde edilir.Burada s2 −x2 ≠0’dır.Eer s2 −=x2 0 olsaydı, x,x =0 olurdu ki bu ise
4 4