Métodos y esquemas numéricos: Un análisis computacional

530 Pages·2005·3.008 MB·Spanish

by  Yuri Skiba

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Métodos y Esquemas Numéricos: Un Análisis Computacional
Book · February 2005
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Yuri Skiba
Universidad Nacional Autónoma de México
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Prólogo

En las últimas décadas, la aparición y desarrollo de las computadoras, así como el uso de la
modelación matemática en áreas científicas y técnicas provocó una revolución en el campo de los
métodos numéricos que ahora se aplican en campos donde antes nadie ni siquiera imaginaba. A
menudo, los métodos numéricos son la única posibilidad de resolver problemas complejos cuando es
difícil o imposible aplicar los métodos analíticos, estadísticos o experimentales. Los métodos de
diferencias finitas, de elementos finitos, de Galërkin, etc. permiten aproximar varios problemas
continuos de física, química, matemática, biología, inmunología, etc., y reducirlos a sistemas
discretos de ecuaciones. Luego, estos sistemas se resuelvan por un método exacto basado en la
factorización de la matriz, o por un método iterativo. Evidentemente, los cálculos tienen sentido sólo
si la solución numérica está cerca de la solución exacta del problema original. En el lenguaje
matemático este ocurre si hay la convergencia de la solución numérica hacia la solución exacta.
Dicha convergencia tiene lugar sólo si el problema discreto aproxima el problema continuo original,
y los cálculos se realizan mediante algoritmos numéricos estables. Así pues, la aproximación, la
estabilidad y la convergencia son los tres conceptos básicos de los métodos numéricos.
Es preciso mencionar que la evolución de los métodos numéricos es lenta si se compara con
el ritmo de desarrollo de las computadoras. A pesar de que aparecen nuevas ideas, los métodos
básicos se mantienen como hace muchos años. Por ejemplo, el método de eliminación de Gauss
continua siendo uno de los mejores métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mientras
que el método de Runge-Kutta sigue siendo uno de los mejores para hallar la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias. Sin embargo, los métodos numéricos, como una rama independiente e
importante de las matemáticas, están evolucionando permanentemente para aprovechar las enormes
posibilidades de las computadoras modernas.
i
El libro presente se destina básicamente a los estudiantes de nivel licenciatura y posgrado, o
para autoeducación. Está basado en los cursos que el autor ha impartido durante últimos nueve años
en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias y en los programas de posgrado de Ciencias
del Mar y Limnología, Ciencia e Ingeniería de Materiales y Ciencias de la Tierra de la UNAM. Mi
objetivo ha sido escribir un libro accesible fásilmente sobre los métodos y esquemas numéricos que
es simple y sin detalles especiales, pero es bastante completo para dar a conocer los métodos y
algoritmos numéricos y sus principales características (error de aproximación, estabilidad, y
convergencia de la solución numérica hacia la solución exacta), así como ofrecer criterios para
escoger un método (o un esquema) apropiado y económico para cada problema. El libro contiene
ejemplos, ejercicios y problemas que ayuden consolidar los conocimientos.
Aprovecho la ocasión para expresar mi profundo agradecimiento, en primer lugar a mi
esposa Galina V. Strelkova por su atención y ayuda en el proceso de preparación de este libro, lo
mismo que a mi colega Dr. David Parra-Guevara que me ayudó con mi trabajo. Quisiera reconocer
el apoyo prestado por CONACyT a través del proyecto 32247-T, así como el recibido del Sistema
Nacional de Investigadores de México a partir de 1992, y el prestado a mi grupo “Modelación
matemática de procesos atmosféricos” mediante los proyectos de PAPIIT, DGAPA, UNAM
(IN122098 y IN122401) y de UNAM-Silicon Graphics (Super Cómputo-UNAM). Especialmente
agradesco a PAPIIT, UNAM, por el apoyo financiero a través del Proyecto IN122401, para la
edición de este libro. Agradecería cualquier sugerencia que lectores pueden mandarme.

Yuri N. Skiba
Centro de Ciencias de la Atmósfera
Universidad Nacional Autónoma de México

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Contenido

Página

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Los errores y la calidad de los cálculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Elementos de la teoría de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Espacios y normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Propiedades básicas de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Problema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5. Número de condición de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6. Estimación del número de condición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. Método de las potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8. Estimaciones de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9. Problemas al capitulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3. Métodos exactos para ecuaciones algebraicas lineales . . . . . . . . . 89
3.1. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2. Eliminación de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3. Factorización QR. Ortogonalización de Gram-Schmidt
Transformaciones de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4. Factorización QR. Transformaciones de Householder . . . . . . . 112
3.5. Solución de un sistema de ecuaciones tripuntuales . . . . . . . . . 117
3.6. Método de disparo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.7. Factorización de un problema elíptico con las condiciones
periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.8. Método de cuarados mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.9. Problemas al capitulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4. Métodos iterativos para ecuaciones algebraicas lineales. . . . . . . . 143
4.1. Sobre la convergencia de iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3. Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4. Métodos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5. Métodos de minimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6. Problemas al capitulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5. Métodos iterativos para problemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1. Método iterativo para una ecuación no lineal unidimensional . 192
5.2. Método iterativo para un sistema de ecuaciones no lineales . . . 200
5.3. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.4. Cálculo de las raices de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
i
5.5. Método de bisección. Método de las secantes.
Iteraciones de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.6. Problemas al capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6. Métodos de aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1. Fórmulas de discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2. Sistemas de funciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3. Discretización del operador de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.4. Aproximación de condiciones fronterizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.5. Interpolación polinomial y sus errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.6. Un método de minimización del error de interpolación . . . . . . . 278
6.7. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.8. Aproximación de una función por un polinomio generalizado . . . 298
6.9. Splines cuadráticos y cúbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.10. Cálculo de splines cúbicos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.11. Problemas al capitulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

7. Estabilidad de un algoritmo y convergencia de
la solución numérica hacia la solución exacta . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.1. Estabilidad de una solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.2. Análisis de la estabilidad de esquemas simples . . . . . . . . . . . . . 331
7.3. Estabilidad espectral de un esquema explícito . . . . . . . . . . . . . . 336
7.4. Estabilidad espectral de esquemas implícitos . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.5. Estabilidad de un esquema en una norma vectorial . . . . . . . . . . 348
7.6. Dispersión numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.7. Aproximación, viscosidad numérica, representación falsa
de ondas en una malla y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7.8. Convergencia. Teorema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.9. Problemas al capitulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 381

8. Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . . . . . . . . . . 386
8.1. Métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.2. Métodos de multipasos de Adams-Bashforth y Adams-Moulton 392
8.3. Esquema ”leap-frog”. Modo físico y modo numérico . . . . . . . . 398
8.4. Método de estabilización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.5. Método de predicción-corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.6. Mètodos de Yanenko y Marchuk para problemas homogenios . . 422
8.7. Método de Marchuk para problemas no homogenios . . . . . . . . . 429
8.8. Aplicaciones del método de Marchuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
8.9. Problemas al capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

9. Solución de ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . 449
9.1. Método de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
ii
9.2. Método de colocación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
9.3. Métodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.4. Método de Galërkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
9.5. Método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
9.6. Método espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
9.7. Transformada rápida de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
9.8. Problemas al capítulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Indice Analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

Signos convencionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

iii
1. Introducción

En la práctica, en la mayoría de los casos no se logra hallar una solución exacta del problema
matemático planteado. Esto ocurre principalmente porque la solución no se expresa en funciones
elementales o en otras funciones conocidas. Por eso adquirieron gran importancia los métodos
numéricos. Los métodos numéricos reducen el procedimiento de la solución de un problema a
operaciones aritméticas y lógicas sobre los números, que pueden ser realizadas por una computadora.
Según el grado de complejidad del problema, la exactitud establecida, el método aplicado, etc., puede
ser necesario cumplir desde varias decenas hasta muchos miles de millones de operaciones.

1.1. Los errores y la calidad de los cálculos
La solución obtenida por un método numérico es aproximada, es decir, hay cierta diferencia no nula
entre la solución exacta y la solución numérica. Las causas principales de la diferencia son las
siguientes:
1. Falta de correspondencia entre el problema (modelo) matemático y el fenómeno físico real;
2. Errores en los datos iniciales (parámetros de entrada);
3. Errores de un método numérico usado para resolver el problema;
4. Errores de redondeo en las operaciones aritméticas.
Los errores de redondeo son inevitables y se producen cuando se usan números que tienen un límite
de cifras significativas para representar números exactos. Su nivel depende de la precisión de cada
concreta computadora. Los errores de redondeo se consideran detalladamente por Taylor (1982)
(véase también Chapra y Canale (2002)). Para los errores de los tipos 2 y 4, la relación entre el
resultado exacto r y el aproximado r está dado por r (cid:32)r (cid:14)(cid:72), donde (cid:72) es un error. Una manera
e a e a
de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error
1