Métodos Numéricos en Fenómenos de Transporte.

332 Pages·2008·3.08 MB·Spanish

M´etodos Num´ericos en Fen´omenos de Transporte.
Norberto Nigro <[email protected]>
Mario Storti <[email protected]>
www: http://www.cimec.org.ar/cfd
Centro Internacional de M´etodos Computacionales en Ingenier´ıa
http://www.cimec.org.ar
(Document version: curso-cfd-0.0.2 ’clean)
(Date: Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300)
´
Indice general
1. Modelos fis´ıcos y matem´aticos 10
1.1. Conceptos introductorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Postulado del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3. La soluci´on a los problemas de mec´anica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5. Propiedades de los fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Cinem´atica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1. El volu´men material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2. El principio de conservaci´on de la cantidad de movimiento lineal . . . . . . . . 16
1.3. TP.I.- Trabajo Pr´actico #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Niveles din´amicos de aproximaci´on 41
2.0.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. Las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.1. Modelo de fluido incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2. Las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3. Aproximaci´on ”Thin shear layer” (TSL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.4. Aproximaci´on Navier-Stokes parabolizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.5. Aproximaci´on de capa l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2. Modelo de flujo inv´ıscido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1. Propiedades de las soluciones discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. Aproximaci´on de pequen˜as pertubaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2. Flujo potencial linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Naturaleza matem´atica de las ecuaciones 53
3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Superficies caracter´ısticas. Soluciones del tipo ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo ´orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Definici´on general de superficie caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5. Dominio de dependencia - zona de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Condiciones de contorno e iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
3.6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2. MatLab como software de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. M´etodo de diferencias finitas 74
4.1. Diferencias finitas en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1. Desarrollo en Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2. Aproximaciones de mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3. Aproximaci´on de derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.4. Nu´mero de puntos requeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.5. Soluci´on de la ecuaci´on diferencial por el m´etodo de diferencias finitas . . . . . 77
4.1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.7. An´alisis de error. Teorema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.8. Condiciones de contorno tipo Neumann (“flujo impuesto”) . . . . . . . . . . . . 81
4.2. Problemas no-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2. M´etodo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.3. M´etodo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3. Precisi´on y nu´mero de puntos en el esquema de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . 91
4.4. M´etodo de diferencias finitas en m´as de una dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5. Aproximaci´on en diferencias finitas para derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.1. Stencil del operador discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6. Resoluci´on del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6.1. Estructura banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6.2. Requerimientos de memoria y tiempo de procesamiento para matrices banda . 98
4.6.3. Ancho de banda y numeraci´on de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7. Dominios de forma irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.7.1. Inmersi´on del dominio irregular en una malla homog´enea . . . . . . . . . . . . 102
4.7.2. Mapeo del dominio de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7.3. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.7.5. Mallas generadas por transformaci´on conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.8. La ecuaci´on de convecci´on-reacci´on-difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8.1. Interpretaci´on de los diferentes t´erminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8.2. Discretizaci´on de la ecuaci´on de advecci´on-difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.8.3. Desacoplamiento de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8.4. Esquemas de diferencias contracorriente (upwinded) . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8.5. El caso 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.8.6. Resoluci´on de las ecuaciones temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9. Conducci´on del calor con generaci´on en un cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5. T´ecnicas de discretizaci´on 126
5.1. M´etodo de los residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.1.2. Aproximaci´on por residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
5.1.3. Residuos ponderados para la resoluci´on de ecuaciones diferenciales . . . . . . . 131
5.1.4. Condiciones de contorno naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.1.5. M´etodos de soluci´on del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.6. Sistema de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.7. Problemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.1.9. TP.chapV– Trabajo Pr´actico #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6. M´etodo de los elementos finitos 150
6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2. Funciones de forma locales de soporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3. Aproximaci´on a soluciones de ecuaciones diferenciales. Requisitos sobre la continuidad
de las funciones de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.4. Formulaci´on d´ebil y el m´etodo de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5. Aspectos computacionales del m´etodo de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.6. Interpolaci´on de mayor orden en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.6.1. Grado de las funciones de prueba y velocidad de convergencia . . . . . . . . . 166
6.6.2. Funciones de forma de alto orden standard de la clase C0 . . . . . . . . . . . 167
6.7. Problemas con advecci´on dominante - M´etodo de Petrov-Galerkin . . . . . . . . . . . 168
6.8. El caso multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8.2. Elemento triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.8.3. Elemento cuadrangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.4. Transformaci´on de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.8.5. Integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9. Problemas dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.9.1. Discretizaci´on parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.9.2. Discretizaci´on espacio-temporal por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . 184
6.10. El m´etodo de los elementos finitos aplicado a las leyes de conservaci´on . . . . . . . . . 188
6.11.TP.VI- Trabajo Pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7. M´etodo de los volu´menes finitos 195
7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2. Formulaci´on del m´etodo de los volu´menes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.1. Mallas y volu´menes de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.3. El m´etodo de los volu´menes finitos en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.1. Evaluaci´on de los flujos convectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.2. F´ormulas generales de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.4. El m´etodo de los volu´menes finitos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.1. Evaluaci´on del area de las caras de la celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4.2. Evaluaci´on del volu´men de la celda de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
7.5. TP.VII.- Trabajo Pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8. An´alisis de esquemas num´ericos 213
8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2. Definiciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.3. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5. El m´etodo de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.5.1. Factor de amplificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5.2. Extensi´on al caso de sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.5.3. An´alisis espectral del error num´erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.5.4. Extensi´on a esquemas de tres niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.5.5. El concepto de velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.5.6. An´alisis de Von Neumann multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.6. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.7. TP. Trabajo Pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9. M´etodos iterativos para la resoluci´on de ecuaciones lineales 238
9.1. Conceptos b´asicos de m´etodos iterativos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.1.1. Notaci´on y repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.1.2. El lema de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.1.3. Radio espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.1.4. Saturaci´on del error debido a los errores de redondeo. . . . . . . . . . . . . . . 248
9.1.5. M´etodos iterativos estacionarios cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.2. M´etodo de Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2.1. M´etodos de Krylov y propiedad de minimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.2.2. Consecuencias de la propiedad de minimizacio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.2.3. Criterio de detenci´on del proceso iterativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.2.4. Implementaci´on de gradientes conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.2.5. Los “verdaderos residuos”.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.2.6. M´etodos CGNR y CGNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.3. El m´etodo GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.3.1. La propiedad de minimizaci´on para GMRES y consecuencias . . . . . . . . . . 272
9.3.2. Criterio de detenci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.3.3. Precondicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.4. Implementaci´on b´asica de GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3.5. Implementaci´on en una base ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.3.6. El algoritmo de Gram-Schmidt modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3.7. Implementaci´on eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.3.8. Estrategias de reortogonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.3.9. Restart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.10. Otros m´etodos para matrices no-sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.3.11. Gu´ıa Nro 3. GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4. Descomposici´on de dominios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
9.4.1. Condicionamiento del problema de interfase. An´alisis de Fourier. . . . . . . . . 287
9.5. Gu´ıa de Trabajos Pr´acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.Flujo incompresible 295
10.1.Definici´on de flujo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.2.Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.3.Formulaci´on vorticidad-funci´on de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.4.Caracter´ısticas particulares acerca de la discretizaci´on de las ecuaciones de Navier-
Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4.1. Discretizaci´on de los t´erminos convectivos y viscosos . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.4.2. Discretizaci´on de los t´erminos de presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.4.3. Propiedades de conservaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.5.Discretizaci´on en variables primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.6.Uso de mallas staggered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.6.1. Uso de mallas staggered en el contexto de volu´menes finitos . . . . . . . . . . . 305
10.6.2. Resoluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes sobre grillas staggered . . . . . . 306
10.7.Ecuaci´on para el c´alculo de la presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.7.1. Tratamiento expl´ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.7.2. Tratamiento impl´ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.7.3. M´etodos impl´ıcitos basados en una correcci´on de la presi´on . . . . . . . . . . . 308
10.8.M´etodos de paso fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.9.M´etodos de compresibilidad artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.9.1. Ultimos comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.10.Discretizaci´on por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.11.El test de la parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
.
.
10.12.La condici´on de Brezzi-Bab.uska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.13.M´etodos FEM estabilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
11.Turbulencia y su modelizaci´on 316
11.1.Introducci´on a la f´ısica de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.1.1. Transici´on de flujo laminar a flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
11.1.2. Flujo jet: un ejemplo de perfil con un punto de inflexi´on . . . . . . . . . . . . . 318
11.1.3. Capa l´ımite sobre una placa plana: un ejemplo de perfil sin un punto de inflexi´on318
11.1.4. Transici´on en ductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.1.5. Conclusiones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.2.Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.2.1. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.2.2. Clausura del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.3.Caracter´ısticas de flujos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.3.1. Flujo en ductos y capa l´ımite en placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
11.4.Modelos de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.4.1. Hip´otesis de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.4.2. Modelo de longitud de mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.4.3. Modelo kappa-epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
11.4.4. Flujo a altos Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
11.4.5. Flujo a bajos Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
Introducci´on. Contenidos del curso
Este curso b´asico sobre CFD siguiendo los lineamientos del libro de C. Hirsch [Hirsch] se divide en
2 partes:
1. Fundamentos y t´ecnicas generales aplicables a los feno´menos de transporte en general y al flujo
de calor y de fluidos en particular
a) MODELOS FISICOS Y MATEMATICOS EN CFD
b) APROXIMACIONES DINAMICAS
c) NATURALEZA MATEMATICA DE LAS ECUACIONES
d) TECNICAS DE DISCRETIZACION GLOBAL
e) METODOS ESPECTRALES
f) TECNICAS DE DISCRETIZACION LOCAL
g) METODOS DE ELEMENTOS FINITOS
h) TECNICAS DE DISCRETIZACION LOCAL
i) METODOS DE VOLUMENES FINITOS
j) ANALISIS NUMERICO DE ESQUEMAS DISCRETOS
k) RESOLUCION DE ECUACIONES DISCRETIZADAS
l) APLICACIONES
2. T´ecnicas espec´ıficas aplicables a problemas de mec´anica de fluidos y transferencia de calor.
a) FLUJO INVISCIDO COMPRESIBLE
b) FLUJO VISCOSO COMPRESIBLE
c) FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
d) TOPICOS ESPECIALES
La primera parte del curso consiste en presentar los principios generales sobre los que se apoyan
los modelos f´ısicos que interpretan muchas de las situaciones experimentales en mec´anica de fluidos y
transferencia de calor. Mediante una visi´on del material propia de la mec´anica del continuo se obtiene
posteriormente un modelo matem´atico que en general consiste de un conjunto de ecuaciones a deriva-
das parciales con o sin restricciones y con sus respectivos valores de contorno e iniciales que completan
7
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
sudefinici´on.Dadalacomplejidadmatem´aticadeestosmodelos,salvoensituacionesmuyparticulares
en las cuales se pueden obtener soluciones anal´ıticas, requieren de su resoluci´on num´erica con lo cual
se hace necesario presentar las diferentes t´ecnicas de discretizaci´on habitualmente empleadas en pro-
blemas de transporte de calor y momento. Debido al diferente car´acter de las ecuaciones diferenciales,
tanto en su visi´on continua como en su contraparte discreta y a la presencia de ecuaciones adicionales
en los contornos, tambien discretizadas, se requiere un minucioso an´alisis de los esquemas num´ericos
empleados previo a su resoluci´on, con el fin de poder interpretar las t´ecnicas num´ericas desde el punto
de vista de la precisi´on, la convergencia, la consistencia y la estabilidad. A continuaci´on se aborda el
tema de la resoluci´on num´erica delsistema algebraico/diferencial de ecuaciones que surge de la discre-
tizaci´on empleada. Este t´opico tiene alta incidencia en la factibilidad de resolver problemas num´ericos
ya que de acuerdo al problema en mano y a los recursos computacionales disponibles muestra las
diferentes alternativas para su resoluci´on. Esta primera parte finaliza con una serie de aplicaciones de
los conceptos adquiridos a la resoluci´on de las ecuaciones de convecci´on difusi´on tanto en su version
estacionaria como transiente, desde el simple caso unidimensional al multidimensional, considerando
el caso lineal como el no lineal representado por la ecuaci´on de Bu¨rgers. Este modelo sencillo tiene
especial inter´es dada la similitud que presenta con la estructura de las ecuaciones que conforman la
mayoriadelosmodelosmatem´aticosmasfrecuentementeusadosenmec´anicadefluidosytransferencia
de calor. En esta primera parte del curso se introducir´an en forma de trabajos pr´acticos y cuando la
explicaci´on te´orica lo requiera algunos ejemplos a resolver tanto anal´ıtica como num´ericamente. dado
que esta parte es introductoria se ver´an modelos simplificados de aquellos comu´nmente empleados
en CFD pero que contienen muchas de las caracter´ısticas matem´atico/num´ericas propias de aquellos
y que lo hacen atractivos en pos de ir incorporando conceptos, necesarios para abordar la segunda
parte, en forma gradual. Paralelamente con el curso te´orico se desarrollar´an talleres sobre los aspectos
pr´acticos a cubrir en esta primera parte. Debido a que el enfoque del curso est´a orientado hacia los
fundamentos y el aprendizaje de las t´ecnicas que est´an impl´ıcitas en todo c´odigo computacional se
hace necesario programar por uno mismo algunas aplicaciones vistas en la secci´on te´orica. Ya que esto
dif´ıcilmente se encuentra en un paquete comercial y dado que el grado de avance que actualmente
existe en el area de software educativo est´a bastante lejos de poder contar con herramientas aptas
para la ensen˜anza se hace necesario elegir algu´n entorno que sea ameno para el usuario y potente para
el ambicioso plan de aprender m´etodos num´ericos desde cero. En este sentido consideramos que el uso
de MatLab puede ser muy beneficioso por varias razones, a saber:
1. cuenta con muchas rutinas de alto nivel y otras de bajo nivel que permite ubicarse muchas veces
en diferentes niveles o jerarquias con lo cual cada uno puede optar por el rol que mas le gusta,
2. es un lenguaje de programaci´on, por lo tanto crear rutinas muy espec´ıficas,
3. gran y eficiente interacci´on entre c´alculo y gr´aficos,
4. posibilidad de debugear aplicaciones en forma interactiva.
No obstante, por razones de eficiencia y para cuando la necesidad lo requiera es necesario contar
con conocimientos de lenguajes de programaci´on m´as orientados a simulaciones de gran escala, como
por ejemplo el Fortran y el C o C++. Sin entrar en detalles acerca de la programaci´on el curso incluye
elmanejodeunprogramadeelementosfinitosparalaresoluci´ondealgunosdelosproblemasincluidos
8
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))
´INDICE GENERAL
´INDICE GENERAL
en la primera parte del curso. Este software ser´a utilizado en la segunda parte del curso para resolver
problemas de flujos compresibles e incompresibles que requieren mucha mayor potencia de c´alculo.
La segunda parte del curso trata acerca de las t´ecnicas espec´ıficas empleadas en la resoluci´on de
problemasdemec´anicadefluidos.B´asicamentesetomar´aenprimerainstanciaelcasodeflujoinv´ıscido
compresible representado por el modelo de las ecuaciones de Euler y posteriormente se tratar´a el caso
viscoso tanto compresible como incompresible modelado por las ecuaciones de Navier-Stokes. En cada
uno de estos cap´ıtulos se volcar´an los conceptos aprendidos en la primera parte del curso para disen˜ar
y analizar esquemas num´ericos que permitan resolver estos casos particulares. Dada la complejidad
del problema surgen naturalmente restricciones muy severas en cuanto a la resoluci´on num´erica de las
ecuaciones lo cual hace necesario explorar t´ecnicas iterativas espec´ıficasa tal fin. Como las soluciones
num´ericasenlosproblemasdeflujosdefluidossonaltamentedependientedelamallasehacenecesario
introducir nociones b´asicas sobre generaci´on de mallas en CFD . Este tema forma parte del grupo de
t´opicos especiales. Otro de los temas especiales a tratar es el modelado de la turbulencia. Es bien
sabido que la mayor´ıa de los problemas de inter´es son gobernados por condiciones de flujo turbulento.
Se ver´a a modo de introducci´on algunos modelos algebraicos t´ıpicos en los casos de flujos internos y
externos asi como algunos modelos basados en ecuaciones a derivadas parciales como el caso del bien
popular m´etodo κ−(cid:15). Finalmente cierra esta secci´on de t´opicos especiales el tratamiento de problemas
con dominios variables en el tiempo.
9
((docver curso-cfd-0.0.2 ’clean) (docdate Sat Aug 18 10:08:51 2007 -0300) (proc-date Sat Aug 18 10:11:18 2007 -0300))