Metodos Matematicos para la Fisica Vol 2

279 Pages·1.518 MB·Spanish

by  Rogan, Muñoz

Apuntes de un curso de
´ ´ ´
METODOS DE LA FISICA MATEMATICA II
Departamento de F´ısica
Facultad de Ciencias
Universidad de Chile
V´ıctor Mun˜oz G.
Jos´e Rogan C.

´
Indice
1. Espacio de funciones 1
1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Integrales impropias (valor principal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Convergencia segu´n Ces`aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Series de Fourier 19
3. Transformada de Fourier 35
3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Convoluci´on 47
4.1. Espacio S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Producto de convolucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. El espacio S como anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Distribuciones temperadas 55
5.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Sucesio´n de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3. Producto de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4. Distribuciones y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5. Convergencia d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6. Distribuciones y transformada de Fourier 83
7. Convoluci´on de distribuciones 93
7.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2. Propiedades de la convoluci´on de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3. Uso de convolucio´n en F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4. Funci´on de Green de un operador diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iii
iv ´INDICE
8. La funcio´n Gamma 101
8.1. La funci´on factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2. La funci´on Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.3. Funci´on Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.4. Notacio´n doble factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.5. Fo´rmula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.6. Otras funciones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9. Transformada de Laplace 113
9.1. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2. Inversi´on de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.4. Lista de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.Aplicaciones de la transformada de Laplace 125
10.1.Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 126
10.2.Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.3.Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.4.Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.Polinomios ortogonales 135
11.1.Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11.2.Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.3.Relaci´on de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.Polinomios de Hermite 139
12.1.Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.2.Funcio´n generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.3.Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.4.Algunos resultados interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.5.Soluci´on por serie de la ecuaci´on de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.Polinomios de Laguerre 145
13.1.Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.2.Funcio´n generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.3.Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.4.Ecuaci´on de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.5.Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.6.Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.El problema de Sturm-Liouville 151
14.1.Operadores diferenciales autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2.Operadores autoherm´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3.Problema de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.4.Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
´INDICE v
15.Ecuaciones diferenciales con singularidades 159
15.1.Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.2.Soluci´on por serie: m´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
15.3.Limitaciones del m´etodo. Teorema de Fuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.4.Una segunda solucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
16.Ecuaciones diferenciales del tipo... 169
16.1.Soluciones en puntos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
16.2.Soluciones en la vecindad de puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
16.3.Singularidades en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
16.4.Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.5.Ecuaciones con n ≤ 3 singularidades Fuchsianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
17.Funciones hipergeom´etricas 191
17.1.La ecuaci´on hipergeom´etrica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17.2.Ecuaci´on indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
17.3.Ecuaci´on diferencial de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
17.4.La serie hipergeom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
17.5.Ecuaci´on hipergeom´etrica confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
18.Polinomios de Legendre 201
18.1.Funcio´n generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
18.2.Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
18.3.Coeficientes del polinomio P (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
n
18.4.F´ormula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
18.5.Ecuaci´on diferencial de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
18.6.Lugares nulos de P (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
n
18.7.Relaci´on de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
18.8.Expresiones integrales para P (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
n
18.9.Serie de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
18.10.Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
18.11.Problema de Sturm-Liouville asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
18.12.Armo´nicos esf´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
18.13.Segunda solucio´n de la ecuacio´n de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
19.La ecuaci´on diferencial de Bessel 225
19.1.La ecuaci´on diferencial de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
19.2.Funciones de Bessel de´ındice no entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
19.3.Funciones de Bessel de´ındice entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
19.4.Comportamiento asinto´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
19.5.Funcio´n generatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
19.6.F´ormulas de adicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
19.7.Representaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
19.8.Relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
19.9.Relaciones de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
19.10.Problema de Sturm-Liouville asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
vi ´INDICE
20.Diversos tipos de funciones cil´ındricas 239
20.1.Segunda soluci´on de la ecuacio´n de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
20.2.Funciones de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
21.Aplicaciones 245
21.1.Coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
21.2.Coordenadas polares, dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
21.3.Ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
21.4.Ecuaci´on de Laplace en coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
21.5.Otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
21.6.Ecuaci´on de difusi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
21.7.Difusi´on con creaci´on de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Cap´ıtulo 1
Espacio de funciones
versio´n17agosto2009
1.1. Definiciones
Definicio´n 1.1 Denotemos por C [a,b] al conjunto de funciones complejas continuas de una
0
variable real t ∈ [a,b]. Adem´as, escojamos que:
∀f ∈ C [a,b], f(a) = f(b). (1.1)
0
Notemos que claramente se cumple
Si f,g ∈ C [a,b] =⇒ f +g ∈ C [a,b] (1.2a)
0 0
y
si f ∈ C [a,b] y λ ∈ C =⇒ λf ∈ C [a,b] . (1.2b)
0 0
Definicio´n 1.2 Denotemos por C[a,b] al conjunto de funciones complejas seccionalmente
continuas, acotadas (o sea, con discontinuidades “mansas” o de primera especie), de una
variable real t ∈ [a,b].
f ∈ C[a,b]
(cid:115)
(cid:45)
t
a t b
0
Si t es un punto de discontinuidad, la funci´on f debe estar dada, en ese punto, por
0
1
f(t ) = (cid:2)f(t+)+f(t−)(cid:3). (1.3)
0 2 0 0
Podemos afirmar que los conjuntos C [a,b] y C[a,b] forman espacios vectoriales sobre el
0
cuerpo de los complejos. Adem´as, C [a,b] ⊂ C[a,b].
0
1
2 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE FUNCIONES
Definicio´n 1.3 Consideremos dos funciones f, g ∈ C[a,b]. Definimos su producto escalar
como
(cid:90) b
(f |g) = f∗(t)g(t) dt (1.4)
a
Propiedades del producto escalar. Sean f, g, h ∈ C[a,b] y λ ∈ C.
(f |g) = (g|f )∗ (1.5a)
(f |g +h) = (f |g)+(f |h)
(f +g|h) = (f |h)+(g|h) (1.5b)
(λf |g) = λ∗(f |g)
(f |λg) = λ(f |g) (1.5c)
Si f (cid:54)≡ 0 =⇒ (f |f ) > 0. (1.5d)
Definicio´n 1.4 Un espacio vectorial complejo dotado de un producto escalar con las pro-
piedades anteriores, ecuaciones (1.5), se conoce como espacio pre-Hilbert.
Definicio´n 1.5 Sea f ∈ C[a,b]. Definimos su norma:
(cid:112)
(cid:107)f (cid:107) = (f |f ) ∈ R. (1.6)
Propiedades de la norma. Sean f,g ∈ C[a,b] y λ ∈ C.
(cid:107)f (cid:107) ≥ 0 (1.7a)
(cid:107)λf (cid:107) = |λ|(cid:107)f (cid:107) (1.7b)
|(f |g)| ≤ (cid:107)f (cid:107)·(cid:107)g(cid:107) Desigualdad de Cauchy-Schwartz (1.7c)
(cid:107)f ±g(cid:107) ≤ (cid:107)f (cid:107)+(cid:107)g(cid:107) Desigualdad Triangular (1.7d)
Si f(z) (cid:54)≡ 0 =⇒ (cid:107)f (cid:107) > 0. (1.7e)
Demostracio´n Desigualdad de Cauchy-Schwartz, ecuaci´on (1.7c). Sea λ ∈ C arbitrario.
0 ≤ (cid:107)λf +g(cid:107)2 = (λf +g|λf +g) = λλ∗(cid:107)f (cid:107)2 +λ∗(f |g)+λ(g|f )+(cid:107)g(cid:107)2.
Siendo λ arbitrario, tom´emoslo entonces como:
(f |g) (g|f )
λ = − =⇒ λ∗ = − .
(cid:107)f (cid:107)2 (cid:107)f (cid:107)2
(Observar que esta elecci´on corresponde a un extremo del lado derecho de la relaci´on anterior
con respecto a λ. Es decir, simplemente estamos diciendo que, si el lado derecho es siempre
positivo, en particular lo es su valor ma´ximo o m´ınimo.) Luego
|(f |g)|2 |(f |g)|2 |(f |g)|2
0 ≤ (cid:107)f (cid:107)2 −2 +(cid:107)g(cid:107)2 = − +(cid:107)g(cid:107)2
(cid:107)f (cid:107)4 (cid:107)f (cid:107)2 (cid:107)f (cid:107)2
1.2. SUCESIONES DE FUNCIONES 3
|(f |g)|2 ≤ (cid:107)f (cid:107)2 ·(cid:107)g(cid:107)2
|(f |g)| ≤ (cid:107)f (cid:107)·(cid:107)g(cid:107).
q.e.d.
Demostracio´n Desigualdad triangular, ecuaci´on (1.7d). De la definicio´n de norma
(cid:107)f ±g(cid:107)2 = (f ±g|f ±g) = (f ±g|f )±(f ±g|g) ∈ R,
(cid:107)f ±g(cid:107)2 = Re[(f ±g|f )±(f ±g|g)],
(cid:113)
y como ±Re[z] ≤ |z| = (Re[z])2 +(Im[z])2 , entonces:
(cid:107)f ±g(cid:107)2 ≤ |(f ±g|f )|+|(f ±g|g)|.
Usando Cauchy-Schwartz,
(cid:107)f ±g(cid:107)2 ≤ (cid:107)f ±g(cid:107)·(cid:107)f (cid:107)+(cid:107)f ±g(cid:107)·(cid:107)g(cid:107),
(cid:107)f ±g(cid:107) ≤ (cid:107)f (cid:107)+(cid:107)g(cid:107).
q.e.d.
1.2. Sucesiones de funciones
Definicio´n 1.6 Sea f (t) con n = 0,1,2,..., una sucesio´n de funciones. Si ∀ t ∈ [a,b] fijo, y
n
∀ (cid:15) > 0 ∃ N tal que
|f (t)−F(t)| < (cid:15) para n > N, (1.8)
n
para una cierta funcio´n F(t), entonces decimos que f (t) converge puntualmente a F(t) en
n
[a,b], y se escribe f (t) −−−→ F(t). Observemos que N depende posiblemente de t.
n
n→∞
Definicio´n 1.7 Una sucesi´on de funciones f (t) con n = 0,1,2,..., converge uniformemente
n
a F(t) si ∀ (cid:15) > 0 ∃ N tal que
|f (t)−F(t)| < (cid:15) para n > N y ∀ t ∈ [a,b]. (1.9)
n
Escribiremos en tal caso f (t) −−un−i→f F(t).
n
n→∞
4 CAP´ITULO 1. ESPACIO DE FUNCIONES
Definicio´n 1.8 La distancia entre dos funciones f, g ∈ C[a,b] se define por
(cid:115)
(cid:90) b
(cid:107)f −g(cid:107) = (f −g)∗(f −g). (1.10)
a
A partir de la definici´on y las propiedades de la norma, se tiene
(cid:107)f −g(cid:107) = 0 ⇐⇒ f(t) = g(t) ∀ t ∈ [a,b].
Definicio´n 1.9 Una sucesi´on de funciones f (t) con n = 0,1,2,..., converge en la norma a
n
F(t) si ∀ (cid:15) > 0 ∃ N tal que
(cid:107)f −F (cid:107) < (cid:15) para n > N. (1.11)
n
Escribiremos en tal caso f −→N F o bien l´ım (cid:107)f −F (cid:107) = 0.
n n
n→∞
Para ilustrar las diferencias entre los distintos tipos de convergencia anteriores, conside-
remos algunos ejemplos.
Ilustraciones
1) En el intervalo [0,1] consideremos la funcio´n
√n si t ∈ (cid:0) 1 , 1(cid:1)
 √ 2n n
f (t) = 1 n si t = 1 , 1
n 2 2n n
0 en otro caso.
(cid:54)
√
n
1√
(cid:115) (cid:115)
n
2
(cid:45)
1 1 1 t
2n n
Notemos que f(t) desarrolla un gran peak cerca de t = 0 cuando n → ∞. Mostraremos
que esta funci´on converge puntualmente a cero, pero no converge uniformemente a cero (y,
de hecho, no converge a ninguna funcio´n uniformemente), y tampoco converge en la norma
a cero (aunque s´ı converge en la norma a otra funcio´n.)
a) f −−−→ 0.
n
n→∞
En efecto, notamos primero que, si t = 0, entonces f (t) = 0, ∀ n.
n