métodos de algunas transformadas integrales para determinar las soluciones de ecuaciones

73 Pages·2015·0.37 MB·Spanish

Universidad Tecnolo´gica de pereira
Facultad de Ciencias Ba´sicas
me´todos de algunas
transformadas integrales para
determinar las soluciones de
ecuaciones diferenciales
ordinarias y parciales
Monograf´ıa como trabajo de grado presentada por:
jhon fredy gonza´lez
para optar al grado de:
licenciado en matema´ticas y f´ısica
Trabajo de grado dirigido por:
Fernando Mesa Ms.C
Profesor t´ıtular, Departamento de Matema´ticas
Facultad de Ciencias B´asicas
Universidad Tecnol´ogica de Pereira
Pereira 9 de diciembre de 2015
Programa de Licenciatura en Matema´ticas y F´ısica
2
´
Indice general
1. Introduccio´n 9
2. Objetivos 13
2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Objetivos espec´ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. La transformada de Fourier 15
3.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Serie compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Integral de Fourier compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Propiedades y aplicaciones de la transformada de Fourier . . . . . . . . 35
3.5.1. Transformada de Fourier de una derivada . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.2. Diferenciaci´on respecto a la variable de frecuencia . . . . . . . . 36
3.5.3. La transformada de Fourier de una integral . . . . . . . . . . . . 37
3.5.4. Convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.5. La transformada de Fourier ventaneada . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6. Tabla de transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. La transformada de Laplace 43
4.1. Transformada de Laplace y su relacio´n con la transformada de Fourier . 43
4.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Aplicacio´n de las transformadas para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias y parciales 49
5.1. Ecuaci´on de calor en un dominio infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3
´
4 Indice general
5.2. La ecuaci´on de difusio´n no-homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Problemas en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Aplicacio´n a problemas de difusio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. Conclusiones 71
7. Bibliograf´ıa 73
´
Indice de figuras
3.1. Representaci´on trigonom´etrica de nu´mero complejo. . . . . . . . . . . . 19
3.2. Significado geom´etrico de la convergencia en media. . . . . . . . . . . . 22
3.3. Discontinuidad de la convergencia en media. . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Funcio´n pulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5. Espectro de amplitud de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6. Representaci´on gra´fica corrimiento del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7. Gra´fica de f(t) ejemplo (3.4.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1. Barra met´alica de longitud infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Gra´fica de f(x) = e x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
−
5.3. Barra met´alica de longitud finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Difusi´on un´ıdimensional en una columna finita. . . . . . . . . . . . . . 61
5.5. Grafica de c(x,t) sobre un intervalo infinitamente pequen˜o. . . . . . . . 62
5.6. Difusi´on a lo largo de una columna finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7. Gra´fica del problema (5.4.3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5
´
6 Indice de figuras
´
Indice de cuadros
3.1. Tabla de Transformadas de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7
´
8 Indice de cuadros
1
Introduccio´n
Este problema se origino inicialmente en el campo de la astronom´ıa, de hecho Neu-
gebauer (1952) descubrio´ que en Babilonia se utilizaba una forma primitiva de las series
de Fourier en la prediccio´n de ciertos eventos celestiales. En nuestra historia moderna
sobre el uso de las series de Fourier se origin´o con Dalembert en (1774) con su trabajo
′
sobre las oscilaciones en las cuerdas del viol´ın. El desplazamiento u = u(t,x) de una
cuerda de viol´ın, como una funcio´n del para´metro temporal t y de la posici´on x, es la
solucio´n de la ecuaci´on diferencial parcial unidimensional:
∂2u = c2∂2u, t > 0, 0 < x < l,
∂t2 ∂x2
utilizando las condiciones iniciales u(t,0) = u(t,l) = 0 para t 0, ∂u(0,x) = 0 para
≥ ∂t
0 < x < l. Este problema tiene como solucio´n la superposici´on de dos ondas viajando
en direcciones opuestas a velocidad c, como lo expresa la formula de Dalembert:
′
u(t,x) = 1f(x+ct)+ 1f(x ct),
2 2 −
con lo cual f es una funcio´n impar de periodo l que se anula en los puntos x = nπ,
l
donde n es un nu´mero natural.
Euler en (1748) postulo´ que tal solucio´n podr´ıa ser identificada como una serie de la
forma:
f(x) = ∞ fˆ(n)sin(nπx),
n=1 l
P
y como consecuencia:
u(t,x) = ∞ fˆ(n)cos(nπt)sin(nπx).
n=1 l l
P
9
10 1. Introducci´on
Esta manera de interpretar estos fen´omenos fueron tambi´en adoptadas por D.Bernoulli
(1753) y Lagrange(1759).
La expresi´on:
fˆ(n) = 2 lf(x)sin(nπx)dx,
l 0 l
R
para calcular los coeficientes de la serie fue descrita por primera vez en un art´ıculo
escrito por Euler en (1777).
El aporte realizado por Fourier empezo´ en (1807) con sus estudios del problema del
flujo de calor donde:
∂u = 1∂2u,
∂t 2∂x2
sustentado ante la Academie Des Sciences en (1811) y publicado en gran parte como
Theorie Analytique de la Chaleur en (1822). Fourier realizo´ intentos muy serios para
concluir la demostraci´on, que cualquier funcio´n que posea derivada puede ser expresada
en una serie trigonom´etrica.
Un ensayo positivo de esta teor´ıa fue dada por Dirichlet en (1829). Riemann por su
parte tambi´en hizo grandes aportes para solucionar este problema.
Actualmente el an´alisis de Fourier ha sido catapultado por matema´ticos de la talla de
Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
Por otro lado para estudiar la transformada de Laplace se tienen en cuenta algunos
apartes de su historia; la transformada de Laplace posee su nombre en menci´on a Pierre
Sim´on Laplace (1749-1827) astr´onomo y matema´tico franc´es popular en su tiempo y se
le conoc´ıa como el Newton de Francia. Las principales materias de su inter´es fueron la
mec´anica celeste o movimiento planetario, la teor´ıa de probabilidades. Algunos de sus
aportes son:
M´ecanique C´eleste gran tratado sobre cuestiones de gravitaci´on publicado en cin-
co volu´menes entre los an˜os de (1799) y (1825). La principal herencia de esta
publicacio´n se resume en el desarrollo de la teor´ıa de potencial, con implicaciones
de largo alcance en ramas derivadas de la f´ısica que van desde la gravitaci´on, la
mec´anica de flu´ıdos, el magnetismo y la f´ısica ato´mica.