Método Dos Elementos Finitos Em Análise De Estruturas

284 Pages·2011·6.9 MB·Portuguese

by  Luiz Eloy (Auth.)

MÉTODO
DOS ELEMENTOS FINITOS
EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Preencha a ficha de cadastro no final deste livro
e receba gratuitamente informações
sobre os lançamentos e as promoções da
Editora Campus/Elsevier.
Consulte também nosso catálogo
completo e últimos lançamentos em
www.elsevier.com.br
Luiz Eloy Vaz
MÉTODO
DOS ELEMENTOS FINITOS
EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS
© 2011, Elsevier Editora Ltda.
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/02/1998.
Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam
(cid:84)(cid:88)(cid:68)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:76)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:80)(cid:83)(cid:85)(cid:72)(cid:74)(cid:68)(cid:71)(cid:82)(cid:86)(cid:29)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:123)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:82)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:70)(cid:107)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:82)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:105)(cid:192)(cid:70)(cid:82)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:111)(cid:109)(cid:82)(cid:3)(cid:82)(cid:88)(cid:3)(cid:84)(cid:88)(cid:68)(cid:76)(cid:86)(cid:84)(cid:88)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:82)(cid:88)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:86)(cid:17)
Copidesque e revisão: Globaltec Editora Ltda.
Editoração Eletrônica: Globaltec Editora Ltda.
Elsevier Editora Ltda.
Conhecimento sem Fronteiras
Rua Sete de Setembro, 111 – 16º andar
20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil
Rua Quintana, 753 – 8º andar
04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP
Serviço de Atendimento ao Cliente
0800-0265340
[email protected]
ISBN 978-85-352-3929-4
Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação,
impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendi-
mento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão.
Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens,
originados do uso desta publicação.
CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte
Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ
V495m Vaz, Luiz Eloy
(cid:3) (cid:48)(cid:3) (cid:112)(cid:87)(cid:82)(cid:71)(cid:82)(cid:3)(cid:71)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:192)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:80)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:105)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:72)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:87)(cid:88)(cid:85)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:18)(cid:3)
Luiz Eloy Vaz. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2011.
(cid:44)(cid:81)(cid:70)(cid:79)(cid:88)(cid:76)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:192)(cid:68)
ISBN 978-85-352-3929-4
(cid:20)(cid:17)(cid:3)(cid:48)(cid:112)(cid:87)(cid:82)(cid:71)(cid:82)(cid:3)(cid:71)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:82)(cid:86)(cid:3)(cid:192)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:82)(cid:86)(cid:17)(cid:3)
2. Teoria das estruturas.
10-5751 CDD: 620.0015
CDU: 62
Agradecimentos
Aos meus pais, Milton e Alice, pelo amor e carinho. A eles, o meu reconhecimento
pelo exemplo, pela firme orientação e por não terem poupado esforços para me propor-
cionar uma boa formação.
À minha esposa Regina, engenheira como eu, que em importantes momentos da
minha vida profissional não hesitou em sacrificar temporariamente seus estudos e sua
carreira para me acompanhar no doutorado na Alemanha e no pós-doutorado no País de
Gales. Sem sua generosidade e apoio este livro não existiria. A ela, minha gratidão e amor.
Aos meus mestres da graduação e pós-graduação. Na graduação da UFRJ, mestres
como os professores José Luiz Cardoso, Ignacio de Loyola Benedicto Ottoni e Benjamin
Ernani Dias despertaram meu interesse pela análise e pelo projeto de estruturas. No mes-
trado da Coppe/UFRJ, os professores Fernando Luis Lobo Carneiro e Fernando Venâncio
Filho aguçaram meu interesse pela pesquisa. Meu agradecimento especial ao professor
Venâncio que me iniciou no Método dos Elementos Finitos e abriu meus olhos para a
sua enorme potencialidade. Aos professores José Oliveira Pedro, John Argyris e Ernest
Hinton, que me receberam, respectivamente, para um estágio no Laboratório Nacional de
Engenharia Civil de Lisboa, para o doutorado na Universidade de Stuttgart e para o pós-
-doutorado na Universidade de Wales em Swansea, minha profunda gratidão. Eles foram
fundamentais para o meu amadurecimento acadêmico. Um especial carinho eu guardo
pelo professor Kaspar Willam, da Universidade de Stuttgart, pela dedicada orientação e
apoio durante a minha tese de doutorado. Hoje, o professor Kaspar Willam é professor na
Universidade de Boulder, no Colorado.
Aos meus colegas e parceiros em co-orientações e projetos de pesquisa. Devido à
variedade dos temas de meu interesse e por ter trabalhado em três importantes univer-
sidades, como a PUC-RJ, a UFRJ e a UFF, eles são numerosos e de perfil diversificado.
Não posso deixar de citar os professores Eurípedes do Amaral Vargas Jr., Luiz Fernando
vi Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas
Martha, Marta de Sousa Lima Velasco e Giuseppe Guimarães Barbosa, da PUC-Rio, os
professores Sergio Hampshire, Claudia Eboli e José Herskovits, da UFRJ, a professora
Silvana Maria Bastos Afonso, da UFPE, e, mais recentemente, o Professor Emil Sanches,
da UFF. Eles ajudaram a ampliar meus horizontes ao despertar meu interesse por novos
temas de pesquisa.
Ao Ivan Menezes, coordenador de projetos do Tecgraf PUC-Rio e meu ex-orientando
de mestrado. Sua cuidadosa leitura dos manuscritos e valiosas sugestões o tornam prati-
camente um coautor do livro.
Ao Paul Antezana, pela competente colaboração na edição do texto.
Aos meus alunos de graduação e pós-graduação e meus orientandos de mestrado e
doutorado. Eles foram o grande incentivo para meu contínuo aprendizado e crescimento
acadêmico. Suas dúvidas e questionamentos me forçaram a compreender os conceitos
com mais profundidade e clareza e a procurar um aperfeiçoamento didático.
A todos os referidos e a muitos outros que não foram citados, meu sincero “muito
obrigado”. Espero que este livro esteja à altura da valiosa contribuição de todos.
À editora Elsevier, especialmente a André Gerhard Wolff e Vanessa Vilas Bôas Hugue-
nin, pela confiança depositada no meu trabalho e pela oportunidade de publicar esta obra.
Prefácio
Este livro surgiu das notas de aulas que preparei para a disciplina Método dos Elemen-
tos Finitos que vem sendo ministrada por mim há cerca de 10 anos para alunos de gradu-
ação da especialidade de estruturas do curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica
da UFRJ.
Ao ser indicado para lecionar a disciplina me deparei com a dificuldade de escolher
um livro-texto. Os materiais disponíveis propunham-se a ser uma excelente fonte de con-
sulta para quem já conhecia o método, mas não uma ferramenta para iniciar um aluno de
Engenharia que se interessasse pelo tema. Algumas vezes, eles usavam conhecimentos
matemáticos que não eram do domínio dos alunos de graduação — como cálculo varia-
cional — para apresentar o tema; outras vezes, por serem muito extensos e detalhados,
dificultavam a compreensão da essência do método.
Esta obra tem a intenção de fornecer ao leitor, seja ele um aluno de graduação, de
pós-graduação ou um engenheiro em um primeiro contato com o assunto, um texto com-
preensível para aqueles que tiveram uma formação básica na área de análise de estrutu-
ras. Por formação básica nessa área considero conhecimentos em análise de estruturas
hiperestáticas, resistência dos materiais e fundamentos da teoria da elasticidade. Alguns
conhecimentos matemáticos que são tratados nos cursos básicos de Engenharia, mas, em
geral, não com a profundidade necessária ao estudo do método, como integração numé-
rica, são revistos no início do livro.
Estou convencido de que a vasta difusão do uso de computadores nos projetos de
Engenharia e a grande disponibilidade de programas comerciais para análise de estrutu-
ras pelo Método dos Elementos Finitos tornam o ensino do método nos cursos de graduação
indispensável. Este livro pretende ser uma estrada menos sinuosa e íngreme para todos
aqueles que pretendam entrar no universo dos elementos finitos.
1
C A P Í T U L O
Introdução
O Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise de estruturas ganhou projeção
internacional a partir de meados dos anos cinquenta do século XX com os trabalhos in-
dependentes e quase simultâneos do professor John Argyris, que trabalhava no Imperial
College em Londres, e de um grupo de engenheiros da Boeing liderados pelo professor
Ray W. Clough.
No entanto, um trabalho sobre o problema de torção de Saint-Venant do matemático
alemão Richard Courant, publicado em 1943, é considerado até hoje o pioneiro do méto-
do. Na época em que foi publicado, esse trabalho não teve, todavia, grande repercussão.
Talvez esse fato possa ser atribuído ao pouco apelo dos métodos numéricos em um mo-
mento em que a indústria de computadores estava em fase embrionária.
Não se pode, contudo, falar do desenvolvimento e da divulgação do método sem citar
o prof. O. C. Zienkiewicz que trabalhou desde 1961 no campus de Swansea da Universidade
do País de Gales, no Reino Unido. Seu livro publicado em 1967, intitulado “ The Fini te Ele-
ment Methods for Engineering” ficou conhecido no meio acadêmico como “The Book”. O
livro criou uma legião de seguidores do método em todo o mundo.
No Brasil, a primeira tese sobre o MEF foi defendida na Coppe-UFRJ, em 1970. Ela
foi apresentada pelo engenheiro Alcebíades Vasconcelos e foi desenvolvida em parte no
Laboratório de Engenharia Civil de Lisboa. Alcebíades desenvolveu um programa para
a análise de estruturas de estado plano com o uso do elemento triangular CST, resolveu
alguns problemas a cuja solução se chega por meio da Teoria da Elasticidade e comparou
os resultados obtidos pelo programa com os fornecidos pela Teoria da Elasticidade. O
primeiro curso sobre o método foi ministrado também na Coppe-UFRJ pelo professor
Fernando Venâncio Filho em 1971.
O MEF foi um desenvolvimento natural da formulação em deslocamentos da análise
matricial de estruturas reticuladas impulsionado pelo crescimento do uso de computa-
2 Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas
dores nas universidades, centros de pesquisa e na grande indústria. A semelhança entre
os dois métodos consiste no uso comum dos conceitos de matriz de rigidez de elemento,
montagem (assembly, em inglês) da matriz de rigidez da estrutura a partir da contribui-
ção das matrizes de rigidez dos elementos e do conceito de cargas equivalentes nodais.
O MEF distingue-se do seu precursor pela sua maior generalidade e por suas raízes nos
métodos de energia e nos métodos aproximados. A análise matricial de estruturas re-
ticuladas sistematizou o método clássico dos deslocamentos e unificou a metodologia
para a análise de diferentes tipos de estruturas reticuladas, tais como treliças planas e
espaciais, vigas e grelhas e pórticos planos e espaciais. O MEF, porém, foi bem mais além,
ele pode ser usado para se formular tanto problemas de análise de estruturas reticuladas,
como também de estruturas contínuas bi e tridimensionais. Sua generalidade não parou
por aí, sua aplicação, que se iniciou em análise estática de estruturas de comportamento
linear elástico, foi estendida à análise estática de estruturas com não linearidade física e
geométrica e à análise dinâmica de estruturas. Ele também saiu da esfera da análise de
estruturas e penetrou em outras áreas, como a engenharia geotécnica, a interação fluido-
-mecânica e as análises de fluxo térmico e hidráulico.
Na área de análise de estruturas, a formulação do MEF pode ser feita a partir do
Princípio da Mínima Energia Potencial Total, do Método de Resíduos Ponderados ou
do Princípio dos Deslocamentos Virtuais. Ele usa os conceitos de “discretização” do
contínuo e de “matriz de interpolação” que fornece os deslocamentos em um ponto no
interior do elemento em função de seus deslocamentos nodais. O termo discretização se
refere a um modelo com um número finito (discrete, em inglês) de incógnitas (desloca-
mentos nos nós do modelo) para a análise de meios contínuos em contraposição a uma
análise com um número infinito de variáveis como as feitas pela Teoria da Elasticidade
que usam funções contínuas, ou seja, com infinitas incógnitas como solução.
Hoje em dia, existem inúmeros programas comerciais altamente sofisticados que fa-
zem os mais diversos tipos de análise pelo Método dos Elementos Finitos, tais como o
SAP, o Ansys, o Abaqus, o Nastran etc. No Departamento de Mecânica Aplicada e Estru-
turas da Escola Politécnica da UFRJ, está em desenvolvimento o sistema Salt sob a coor-
denação do professor Silvio de Souza Lima. O programa tem sido largamente utilizado
na elaboração de diversos trabalhos de fim de curso de alunos do departamento. No
Tecgraf, na PUC-Rio, há o sistema Mtool com gerador automático de malhas.
Em minha opinião, a difusão do uso do MEF nas empresas e universidades tornou
obrigatória a introdução de um curso sobre o método nas disciplinas de graduação em
engenharias civil, mecânica, naval e aeronáutica.
Este livro tem como objetivo servir de base para a disciplina “Introdução ao Método
dos Elementos Finitos” que seria ministrada em um curso de graduação em Engenharia
Civil na ênfase de Estruturas. O material é adequado para um curso de 16 semanas com
3 horas semanais.
O Capítulo 2 faz uma revisão aprofundada de alguns fundamentos matemáticos já vis-
tos no ciclo básico de Engenharia necessários ao longo do curso, como integração numérica.
O Capítulo 3 mostra a evolução do Método dos Deslocamentos, desde as formulações
clássicas para estruturas reticuladas até o MEF, visto como uma evolução do Método de
Rayleigh-Ritz.
Capítulo 1 Introdução 3
O Capítulo 4 trata das formulações do método para a análise de estruturas planas,
apresentando as formulações do elemento CST, de elementos das famílias Serendipity e
de Lagrange.
O Capítulo 5 apresenta formulações do método para análise de sólidos axissimétricos
ou sólidos de revolução, mostrando as formulações de alguns elementos, como o Trian-
gular de três nós e elementos da família Serendipity.
O Capítulo 6 aborda formulações do método para análise de sólidos tridimensionais,
desenvolvendo as formulações de alguns elementos, como o elemento tetraedro e o he-
xaedro.
No Capítulo 7, são estudados elementos para a análise de placas à flexão, como o
elemento retangular, baseado na Teoria de Kirchhoff, próprio para a análise de placas del-
gadas e os elementos da família Serendipity, baseados na Teoria de Mindlin e apropriados
à análise de placas espessas.
O Capítulo 8 trata do problema do cálculo do fator de carga crítica em estruturas. For-
mulações da matriz de rigidez geométrica são apresentadas para estruturas de pórticos
planos e de placas, assim como exemplos numéricos.
O Capítulo 9 contempla o estudo de análise dinâmica em estruturas. É apresentada a
formulação para se obter as frequências e os modos próprios de estruturas em vibrações
livres a partir da matriz de rigidez e da matriz de massa consistente para alguns elemen-
tos finitos. A obtenção da matriz de amortecimento também é tratada. Finalmente, são
estudadas a análise modal e a análise por algoritmo de integração direta de Newmark
de estruturas submetidas a vibrações forçadas. Exemplos referentes a todos os itens são
apresentados.
O Capítulo 10 aborda a análise de estruturas com comportamento não linear do ma-
terial. O conceito de matriz de rigidez tangente é apresentado e um exemplo é resolvido
com o uso do Método de Newton-Raphson.
Espero com esse texto facilitar o aprendizado desse apaixonante e revolucionário
tema que é o Método dos Elementos Finitos.
Prof. Luiz Eloy Vaz
Professor titular em Análise de Estruturas pela UFRJ até 2008
Professor adjunto da UFF a partir de 2009