Método dos elementos finitos aplicado à análise de sólidos

183 Pages·2013·4.63 MB·Portuguese

Método dos elementos finitos aplicado à análise de sólidos:
concepção e implementação
Rui Miguel da Costa Alves Maciel
Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: FernandoManuelFernandesSimões
Orientador: CarlosManuelTiagoTavaresFernandes
Vogais: ManueldaCunhaRitto Corrêa
Maio de 2013

Agradecimentos
Ao ProfessorJosé PauloBaptistaMoitinhode Almeidapeladisponibilidadee apoiodadoao longodo
trabalho,semoqualnãoteriasidopossívelrealizarumapartesignificativa.
Aomeuorientador,ProfessorCarlosTiagoFernandes,pelodesempenhoverdadeiramenteexemplare
dedicaçãoímpar,pelaamizadeepordemonstrarqueexcelênciaacadémicaepedagógicapodemcoexistir.
Àminhafamília,portodooapoioeforçaquetemdadoesemoqualnadateriasidopossívelouvalido
apena.
Por último,mas sempreemprimeirolugar,à minhacara-metade,Daniela,portero domde, indepen-
dentedaquantidadedenuvenseneblina,mostrarqueocéuestásempreazul.
iii

Resumo
Nestetrabalhoéapresentadaumaaplicaçãocompletadesoftwareque, apartirdeumaimplemen-
tação do método dos elementos finitos, permite a obtenção de soluções aproximadas do problema de
valoresdefronteiradateoriadeelasticidadetridimensionalcomutilidadepráticanocampodaanálisede
sólidosedeestruturas.
Ométododoselementosfinitos,conformeabordadonestetrabalho,édesenvolvidoapartirdaaplica-
çãodométododeBubnov-Galerkinaoproblemanavaloresdefronteiraassociadoàteoriadeelasticidade
lineartridimensional. Oconceitodeelementoisoparamétricoétambémapresentado,sendousadocomo
baseparaadefiniçãodosoitotiposdeelementosfinitosempreguesnaanálisedeproblemastridimensio-
nais:oselementosfinitoshexaédricosLagrangeanosde8e27nós,hexaédricoSerendipianode20nós,
tetraédricos de4e10nós,eprismáticosde6, 15e18nós. Éaindadiscutidooproblemaassociadoà
integraçãodaformulaçãofracaresultante.
Ométodo éimplementado comoumprograma deanálisenumérica, comsuportepara pré- epós-
processamento. Ageraçãodemalhas,nãoestandoincluídanoâmbitodestetrabalho,foirealizadame-
diante o uso de programas desenvolvidos por terceiros. O programa é desenvolvido na linguagem de
programaçãoC++,concebidocombasenousodepadrõesdedesenvolvimentodesoftwareeseguindo
o paradigma de programação orientada por objectos. O interface gráfico, desenvolvido em Qt 4.7, em
conjunto com o componente de visualização, desenvolvido em OpenGL 2.1, permite atribuir materiais,
condiçõesdefronteira,eregrasdeintegração,bemcomovisualizarocampodedeslocamentos,tensões,
deformações,edirecçõesprincipaisdetensoresdastensões.
É também apresentado um conjunto de exemplos de aplicação do programa, usados para validar
osresultadosdaimplementaçãoedemonstrarpropriedades intrínsecasdestemétodo,taiscomoataxa
de convergência associada a cada tipo de elemento finito, o número de operações exigido e o tempo
de processamento associado ao seu uso. São ainda realizados exemplos destinados a comparar os
resultadosproduzidospeloprogramacomaquelesresultantesdeteoriasestruturaisdebarraselajes.
Palavras-chave
métododeBubnov-Galerkin
métododoselementosfinitos
teoriadaelasticidadetridimensional
visualização

Abstract
Thisworkpresentsacompletesoftwareapplicationthat,throughanimplementationofthefiniteele-
mentmethod, canbeusedtoobtainapproximate solutionsoftheboundary valueproblemofthethree-
dimensionaltheoryofelasticity,withpracticalapplicationsinthefieldofsolidandstructuralanalysis.
The finite element method, as covered in this work, is presented as the Bubnov-Galerkin method
applied to the three dimensional linear elasticity boundary value problem. The isoparametric element
conceptisalsopresented,whichisusedasabasisforthedefinitionofeightfiniteelementtypesemployed
intheanalysisofthree-dimensionalproblems:theLagrangean8and27-nodehexahedricalelements,the
20-node Serendipian hexahedrical element, the 4 and 10-node tetrahedral element, and the 6, 15 and
18-nodetriangularprismelements.Theintegrationoftheweakformproblemisalsodiscussed.
The method is implemented as a numerical analysis software program, with support for pre- and
post-processing. Mesh generation, being beyond the scope of this work, was performed by third-party
programs. ThesoftwarewasdevelopedintheC++programminglanguage,basedontheuseofsoftware
design patterns and followingthe object-oriented programming paradigm. The graphical user interface,
developed withQt, pairedwiththevisualizationcomponent, developed usingOpenGL 2.1, letstheuser
assignmaterialproperties,boundaryconditions,configurethenumericalintegrationrules,aswellasvisu-
alizethedisplacementsfield,stresses,strains,andprincipaldirectionsofstresstensors.
Asetofexamplesisalsopresented,usedtovalidatetheimplementation’sresultsandtodemonstrate
intrinsicpropertiesofthismethod,suchastheconvergenceratesassociatedwitheachfiniteelementtype,
thenumberofoperationsrequiredandtheprocessingtimeassociatedwiththeiruse. Examplesarealso
performedtocomparetheresultsobtainedfromthesoftwareapplicationwiththosefrombeamandplate
structuraltheories.
Keywords
Bubnov-Galerkinmethod
finiteelementmethod
three-dimensionalelasticitytheory
visualization

Índice
Agradecimentos iii
Índice i
ListadeFiguras v
ListadeTabelas xi
Notação xiii
1 Introdução 1
1.1 Enquadramentogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estruturadotrabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Oproblemadeelasticidadetridimensional 5
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Domíniodoproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relaçõesdeequilíbrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Relaçõesdecompatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Relaçõesconstitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Aelasticidadetridimensionalcomoumproblemadevaloresdefronteira . . . . . . . . . . . 8
3 Obtençãodesoluçõesparaproblemasdaelasticidadetridimensional 11
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Métododosresíduosponderados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 MétododeBubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 FormulaçãofracadométododeBubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Métododoselementosfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Princípiodostrabalhosvirtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Recuperaçãodegrandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
i
ii Índice
3.8 Erroeconvergênciadesoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Elementosfinitoseregrasdequadratura 35
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Oconceitodeelementofinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Conceitodeelementoisoparamétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Elementossuportadospeloprograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Quadrilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.3 Tetraédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.4 Hexaédricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.5 Prismáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Erroeconvergênciadassoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Desenvolvimentodeumprogramadecálculo 59
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Tecnologiasempregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Funcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Estruturadedados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.2 Importaçãodemodelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.3 Cálculodamatrizderigidezglobal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.4 Cálculodovectordeforçasnodaisequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.5 Elementossuportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.6 Integraçãonumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.7 Interfacegráficodeutilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.8 Representaçãográficadosmodelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.9 Álgebramatricialeresoluçãodesistemasdeequações . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Utilização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.1 Criaçãodemodelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.5.2 Prescriçãodecondiçõesdefronteiraeforçasvolúmicas . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5.3 Execuçãodeanálises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5.4 Representaçãodosresultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.5 Configuraçãodoprograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 Exemplosdeaplicação 87
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87