Metodi matematici della meccanica classica PDF
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Nuova biblioteca di cultura 204 Collana diretta da Ignazio Ambtogio Serie scienfifica .a cura di Carlo Bernardini Vladimir IgoreviE Arnold Metodi matematici della meccanica classica Edito~iR iuniti Edizioni Mir a 63-3n3-x ISBN 88-359-3573-3 Prima parte MECCANICA NEWTONIANA I. Fatti sperimentali - 9 I. Princi i di relativita e di dctern~inismo, p.- 1 1 9 2. I1 gruppo di 8alilei e le equazioni di Newton, p. I? 93. Ermpi di sistenli meccanici, p. 10. 11. Studio delle equazioni del moto . 3 4. Sirtemi a un grado di liberti, :?2 - 9 5. Sistemi a due gradi di liberti. p. 27- 5 L Carnpo di krze cooservativo, p. 33- 9 7. I1 moraento della qualltit5 tli moto, p. 35- 8. Anallsi del,moto in un canlpo centrale, p. 38 - fr 9. bloto di un punto in uno spazio tridimensionale, p. 46 - cj 10. Bloto cii un sistema di n - punti, p. 48 9 11. Co~~sitleraziodnii similitudine, p. 54. Seconda parte hlECCAKICA LAGHANCIASX 111. I1 principio vi~rii~zionale 9 12. Calcolo dellc variazionI. p. 58 - 5 13. L'e uazione di Lagrange. p. 62 - 9 II. La trasiorrnazione di ~egen%e,~6:5 - 9 15. Le equaz~onid i Hamilton, p. 68- 16. I1 teorema I L~ou- ville, p. 51. IV. hieccanica lagrangiana su varietl 9 17. Vincoli olonomi, p. 7;- 5 18. Varieti differenziabili, p. 59 - 9 19. Sistemi dinamici lagrangiani, p. 85 - f 20. 11 teorema di E. Xoether. p. 90-$21. I1 principio di D'Alembert, p. 93. V. Oscillazioni 9 22. Linearizzazione. p. 100 - 9 23. Piccole oscillazioni, p. 105 - 9 24. Sul cornportalnento delle frequenze proprie, p. 111 - 9 25. Risonanza pararnetrica p. 115. VI. Corpi rigidi - f 26. Moto in un sistema mobile di coord-in ateb : ,124 $21. Form -dV ine.rzia.F orm di Coriolis, 129 $ Corpi riedl, 133 Q 29. Eq-ua zioni di Eulero.%escririone del mob- ro ondo Ainsot, p. 143 5 30. ~mttolad i Lagrange, p. 148 Q 3i. Trottola addormentata e trottola veloce, p. 153. Tena parte MECCANICA HAMILTONIANA VII. Forme differenziali - Q 3342.. FFoormrmee d eifsfteemrnnez, iapl. i,1 6p1. 171 $- 33 f. 3P5.r oIndotetgto~ aezstieornneod ,e 8 .e 1fo67rm -e - diffemnziali, p. 178 § 36. Differenziazione esterna, p. 485. VIII. Varieti simplettiche - 37. Struttura simplettica su una varietk, p. 198 38. Flussi - di fase hamiltoniani e loro invarianti integrali, h..2 00 839. - Algebra di Lie dei campi vettoriali, p. 2-05 ( Algebra di Lie delle funzioni di Hamilton, p. 211 541. Geometria aim- - plettica, p. 216 § 42. Risonanza parametrica in sistemi a molti gradi di ,libertl, p. 222 - 8 43. Atlante simplettico p. 226. IX. Formalismo canonico - - 44. Invariante integrale di Poincad Cartan, d;; 230 f 4-5. Comllario del teorema dell'inrariante integrale P o i n d - Cartan, p. 236- 46. Princi io di Huygens, .245 f 47. Me- - todo di iacmbi Hamilton Qlintegrarione del?e equazioni uno- niche di Hamilton, p. 254 - f 48. Funzioni generatrici, p. 263. X. Introduzione alla teoria delle perturbazioni - Q 49. Sistemi integrabili, p. 267 Q 50. Variabili azione-angolo, - - p. 274 f 51. Media, p. 28L 52. Media delle perturbazioni, p. 2%. Appendice 1. Curvatura riemanniana Appendice 2. Geodetiche delle metriche invarianti a si- nistra su dei gruppi di Lie e idrodinamica del fluido perfetto Appendice 3. Struttura simplettica su varieti algebriche Appendice 4. Strutture di contatto Appendice 5. Sistemi dinamici dotati di simmetria Appendice 6. Forme normali delle hamiltoniane qua- dratiche Appendice 7. Forme normali di sistemi hamiltoniani nell'intorno di punti fissi e di traiettorie chiuse Appendice 8. Teoria delle perturbazioni dei moti quasi periodici e teorema di Kolmogorov Appendice 9. Teorema geometric0 di Poincar6, sue generalizzazioni e applicazioni 429 Appendice 10. Moltepliciti delle frequenze caratteristich~ ed ellissoidi dipendenti dai parametri 439 Appendice 11. Asintotiche ad onde corte 453 Appendice 12. Singolarith lagrangiane 463 - Appendice 13. Equazione di Korteweg de Vriea 471 Indice analitico 475 In mecEanica classica si utilizzano metodi e concetti matematici molto diversi: equazioni differenziali e flussi di fase, applicazioni regolari e varietit, gruppi ed algebre di Lie, geometria simp lettica e teoria ergodica. Molte delle moderne teorie matematiche hanno avuto la loro origine in problemi di meccanica .e solo in seguito hunno assunto quella forma astratta ed assiomatica che ne ren& cosi diffi- cile lo studio. In questo libro l'apparato matematico della meccanica classica viene costruito sin dall'inizio, in modo tale che non si richiedono at lettore conoscenze preliminari, diverse da quelle che si ottengono nei corsi normali di analisi (derivata, integrale, equazioni differenzia- li), di geometria (spazio lineare, vettori) e di algebra lineare (opera- tori lineari, forme quadratiche). Per mezzo di tale apparato matematico vengono esaminate tutte le questioni fondamentali relative ai sistemi dinamici, compresa la teoria delle oscillazioni, la teoria del noto del corpo rigido e il formalismo hamiltoniano. L'autore hu cercato ovunque di mostrare l'aspetto geometric0 e qualitativo dei fenomeni. In questo senso il libro 2 piii vicino a1 corso di meccanica teorica per fisici teorici che ai corsi tradizionali di meccanica teorica usati dai matematici. Una parte significativa del libro 2 dedicata ai principi variazio- nali e alla dinamica analitica. F. Klein caratterizzb la dinamica analitica, nelle sue Lezioni sullo sviluppo della matematic? nel diciannovesimo secolo, nel mod0 seguente: u I fisici possono ricavare da questa teoria solo una piccola parte di informazioni per i loro problemi, e gli ingegneri nessccna i.L o sviluppo della scienza negli ultimi anni ha decisamente conf utato questa osservazione. I1 forma- lismo hamiltoniano 2 alla base della meccanica quantistica e rap- presenta attualmente uno degli strumenti piii frequentemente usati fra i metodi matematici della fisica. Dopo che fu riconosciuto il valore della struttura simplettica e del principio di Huygens per tutti i possibili probhi di ottimizzazione, le equazioni di Hamilton sono state costantemente usate nei calcoli ingegneristici in questo campo. D'altra parte, b sviluppo modern0 della meccanica celeste,
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