Metodi matematici della Fisica

266 Pages·2015·2.17 MB·Italian

by  Giampaolo Cicogna (auth.)

UNITEXT for Physics
Giampaolo Cicogna
Metodi
matematici
della Fisica
Second Edition
UNITEXT for Physics
Series editors
Michele Cini, Roma, Italy
Attilio Ferrari, Torino, Italy
Stefano Forte, Milano, Italy
Massimo Inguscio, Firenze, Italy
G. Montagna, Pavia, Italy
Oreste Nicrosini, Pavia, Italy
Luca Peliti, Napoli, Italy
Alberto Rotondi, Pavia, Italy
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Giampaolo Cicogna
Metodi matematici
della Fisica
Second Edition
123
Giampaolo Cicogna
Dipartimentodi Fisica‘‘E.Fermi’’
Università degli StudidiPisae I.N.F.N.,
Sez.diPisa
Pisa
Italy
ISSN 2198-7882 ISSN 2198-7890 (electronic)
ISBN 978-88-470-5683-1 ISBN 978-88-470-5684-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-88-470-5684-8
Springer MilanHeidelberg New YorkDordrecht London
(cid:2)Springer-VerlagItalia2008,secondaedizione2015
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Prefazione
DallaprefazionedellaPrimaEdizione:
QuestolibrotraelasuaoriginedagliappuntipreparatiperlelezionidiMetodiMa-
tematici della Fisica tenute al Dipartimento di Fisica dell’Universita` di Pisa, e via
viasistemati,raffinatieaggiornatinelcorsodimoltiannidiinsegnamento.Tuttavia,
questiappuntisarebberorimastinellaloroprimitivastesurasenzal’aiutodiEmilio
d’Emilio (a cui desidero rivolgere un caloroso e amichevole ringraziamento) che
havolutotrascriveregranpartedelmanoscrittooriginale,perconferirgliunaveste
tipograficapresentabile.
Un ringraziamento anche a tutti gli studenti che mi hanno segnalato sviste e
imprecisionineiprecedentimanoscritti.
Grazie anche all’incoraggiamento di Giuseppe Gaeta, questo libro e` infine ap-
prodatoallaCasaEditriceSpringerItalia.Ringraziolasig.aMarinaForlizziperla
suaassistenzanellapreparazionedeltestoinconformita` aglistandarddiSpringer.
L’intento generale e` di fornire una presentazione per quanto possibile semplice
e diretta dei metodi matematici basilari e rilevanti per la Fisica. Anche allo scopo
dimantenereiltestoentroilimitidiunmanualedidimensionicontenuteediage-
voleconsultazione,sonostatispessosacrificatiidettaglitecnicidelledimostrazioni
matematiche(oanziledimostrazioniperintero–conl’eccezionediqualchedimo-
strazioneparticolarmentesignificativaedistruttivadescrittaindettaglio).Sonostati
anchetralasciatiiformalismieccessivichetendonoanasconderelaveranaturadei
problemi;alcontrario,sie` cercatodievidenziareilpiu` possibileleideesottostanti
e le motivazioni che conducono ai diversi procedimenti e concetti, introducendoli
sempreinmodograduale,anchemedianteapplicazioniimmediateedirette.
L’obiettivoprincipalee` quellodimettereincondizionechihalettoquestolibro
diacquisireglistrumentiadattieleconoscenzedibasecheglipossanopermettere
diaffrontaresenzadifficolta` anchetestiavanzatieimpegnativi.
Pisa,Aprile2008
vi Prefazione
PrefazioneallaSecondaEdizione
Questa nuova Edizione conserva la stessa struttura generale, gli orientamenti e gli
obiettividellaprimaEdizionesopradescritti,mae` sensibilmentearricchitadall’in-
serimentodinumerosiesempi(econtroesempi),conmoltenuoveosservazioni,chia-
rimentiediscussionisututtigliargomentiproposti.Particolarmentearricchitaeam-
pliatae` lapartededicataallateoriadellesimmetrie,unargomentodifondamentale
rilevanza nella Fisica, che era confinato in una Appendice nella vecchia Edizione
(oraCapitolo6).
Laprimapartedellibroe` dedicataallestrutturevettorialinellaFisica.Dopoun
breve richiamo, con vari esempi, agli spazi vettoriali a dimensione finita (Capito-
lo1),ilCapitolo2e`dedicatoaglispazidiHilbert:dalleseriediFourier(trigonome-
tricae“astratta”),aglioperatorilineariconlelorodiverseimportanticaratteristiche
eproprieta`.IlCapitolo3riguardalefunzionidivariabilecomplessa,conleapplica-
zioniallevarietecnichediintegrazione(enonsolo).IdueCapitolisuccessivisono
dedicati alle trasformate di Fourier (con un richiamo alle trasformate di Hilbert e
alle relazioni di dispersione) e di Laplace. Alcune proprieta` della delta di Dirac e
dellafunzionediGreensonoanticipatepercomodita` nelCapitolo4,peresserepoi
ripreseconunapprocciorigorosonell’ambitodelledistribuzioninelCapitolo5.In
tutti i Capitoli, tranne che nel Capitolo 1, c’e` spazio per le applicazioni dei vari
metodi allo studio di equazioni differenziali alle derivate parziali di interesse fisi-
co:l’equazionedid’Alembert,l’equazionedelcaloreel’equazionediLaplaceperi
problemidipotenziale.
Infine,ilCapitolo6e`interamentededicatoapresentare,partendorealmentedalle
definizionidibase,lenozionifondamentalidellateoriadeigruppi(discretiediLie)
e delle proprieta` di simmetria in vista delle loro applicazioni alla Fisica. Le varie
ideesonoillustratedamoltiesempisuggeritidallaFisica:lesimmetriediscrete,il
momento angolare e lo spin, il gruppo di Lorentz, il gruppo SU , e le simmetrie,
3
particolarmentesignificative,dell’atomodiidrogenoedell’oscillatorearmonicoin
meccanicaquantistica.
Concludo con un vivo ringraziamento a mia moglie, che ha riletto con grande
attenzioneanchequestanuovaversione,perlesueosservazioniesuggerimenti.
Pisa,Maggio2014 GiampaoloCicogna
Indice
1 Spaziadimensionefinita........................................ 1
1.1 Primiesempidistrutturevettoriali ............................ 1
1.2 Spazivettoriali(adimensionefinita)........................... 3
1.3 Matricicometrasformazionilineari ........................... 5
1.4 Cambiamentidibaseematriciunitarie......................... 7
1.5 Autovalorieautovettoridiunamatrice......................... 8
1.6 Diagonalizzazionediunamatricehermitiana.................... 10
1.7 Problemiagliautovalori:esempi.Evoluzionetemporaledisistemi
dinamicilineari ............................................ 13
1.8 Proiettoriedecomposizionespettralediunamatrice ............. 19
1.9 Considerazionigeometricheelementarisulletrasformazionidel
pianoreale ................................................ 20
1.10 Gruppidisimmetrieegruppidimatrici ........................ 22
1.11 Strutturevettorialieprincipiodisovrapposizione................ 24
2 SpazidiHilbert ................................................ 27
2.1 Equazionedid’Alembert.Ondestazionarie..................... 28
2.2 Primiproblemiconcernentiglispaziadimensioneinfinita ........ 31
2.3 LaseriediFouriertrigonometrica:lesueprimeproprieta` edifficolta` 32
2.4 Evoluzionetemporalediun’ondaelastica ...................... 36
2.5 L’equazionedelcalore ...................................... 38
2.6 Prodottoscalareenorma:definizionegenerale .................. 39
2.7 Ilconcettodinormacome“distanza” .......................... 41
2.8 Alcuneosservazionisullaintegrazionedellefunzioni............. 44
2.9 LospazioL2(I) ............................................ 46
2.10 LospaziodiHilbert:definizionegenerale.TeoremadiFourierinL2 48
2.11 Sistemiindipendentieortonormali ............................ 49
2.12 SeriediFourier“astratta”.................................... 50
2.13 Proprieta` deisistemicompleti ................................ 52
2.14 Spaziseparabilielospazio(cid:2)2 ................................ 55
2.15 Proprieta` edapplicazionidelleseriediFourier .................. 59
viii Indice
2.16 Trasformazionilineari....................................... 62
2.17 Continuita`,limitatezzaenormadiunoperatore.Estensioneper
continuita` ................................................. 63
2.18 Unaapplicazioneconcernenteilproblemadellacordaelastica. .... 67
2.19 Operatoreaggiunto.Operatoriunitari.Proiettori................. 68
2.20 Autovaloriedautovettori.Spettrodiunoperatore................ 73
2.21 ProblemadiSturm-Liouville ................................. 77
2.22 L’equazionedid’Alembertinduedimensioni ................... 79
2.23 EquazionediSturm-Liouvilleconpuntisingolari.
Alcunefunzionispeciali..................................... 81
2.24 EquazionediLaplaceefunzioniarmoniche.ProblemidiDirichlet
ediNeumann.............................................. 84
2.25 Equazioniallederivateparziali.Ilmetododid’Alembert ......... 87
2.26 Funzionali.TeoremadiRiesz................................. 89
2.27 Operatoreaggiunto ......................................... 90
2.28 Operatorichiusi............................................ 91
2.29 Varienozionidiconvergenzapersuccessionidivettorieoperatori.. 94
2.30 Operatoricompatti ......................................... 96
3 Funzionidiunavariabilecomplessa.............................. 97
3.1 Primedefinizioni.Condizionidiolomorfia ..................... 97
3.2 Seriedipotenze............................................100
3.3 Integrazionedellefunzionidivariabilecomplessa ...............102
3.4 TeoremidiCauchy.Esistenzadituttelederivate.................103
3.5 SviluppiinseriediTaylor-Laurent ............................105
3.6 Proprieta` deglizeridellefunzioniolomorfe.....................107
3.7 Singolarita` removibili.......................................110
3.8 Puntisingolariisolati .......................................111
3.9 Calcolodeiresidui.Primeapplicazionialcalcolodiintegralidefiniti112
3.10 Puntoall’infinito ...........................................117
3.11 Residuoall’infinito .........................................119
3.12 Puntididiramazione.Tagli.Integrazionelungotagli .............120
3.13 IllemmadiJordan..........................................126
3.14 Funzioniarmonicheetrasformazioniconformi.
Ilpotenzialecomplesso......................................130
4 TrasformatediFouriereLaplace ................................137
4.1 Le serie di Fourier come “analisi in frequenza”. Dalla serie
all’integralediFourier ......................................138
4.2 L’analisiinfrequenzaeil“principiodiindeterminazione” ........139
4.3 LatrasformatadiFourierinL1(R) ............................144
4.4 Continuita` dellatrasformatadiFourier.........................145
4.5 DerivazioneetrasformatadiFourier...........................147
4.6 TrasformatadiFourierinL2(R) ..............................149
4.7 InversionedellatrasformatadiFourier .........................152
Indice ix
4.8 Proprieta` della trasformata di Fourier. La trasformata come
operatoreunitario ..........................................154
4.9 L’“impedenza”deicircuitielettricielatrasformatadiFourier .....157
4.10 Proprieta` dellafunzionediGreen .............................159
4.11 Primeproprieta` delladeltadiDirac............................161
4.12 Relazionididispersione:introduzione .........................164
4.13 TeoremadiTitchmarsh.TrasformatediHilbert..................166
4.14 RelazionididispersionediKramerseKronig ...................168
4.15 Presenzadisingolarita` nella χ(ω).Mezziconduttori ............170
4.16 Modellodell’elettronelegatoelasticamente.....................171
4.17 TrasformatadiLaplace:primeproprieta`........................172
4.18 OlomorfiadellatrasformatadiLaplace.........................175
4.19 InversionedellatrasformatadiLaplace ........................177
4.20 AlcuneosservazionisullatrasformatadiLaplace ................178
4.21 LafunzioneΓ diEuleroedaltretrasformatediLaplace. ..........181
4.22 Applicazionialleequazioniallederivateparziali ................182
5 Elementiditeoriadelledistribuzioni .............................187
5.1 Distribuzionitemperate .....................................187
5.2 Convergenza“debole”fradistribuzioni ........................189
5.3 Derivatadelledistribuzioni ..................................191
5.4 TrasformatadiFourierdelledistribuzionitemperate..............192
5.5 Distribuzione“parteprincipale”P(1/x).......................195
5.6 DistribuzionidiSchwartzedistribuzioniasupportocompatto .....198
5.7 Proprieta` eapplicazionidelledistribuzioni......................200
5.8 Prodottoeconvoluzionefradistribuzioni.......................204
5.9 FunzionidiGreen.Ilpotenzialecoulombiano ...................207
5.10 FunzionidiGreenconcondizionialcontorno ...................208
5.11 FunzionediGreenperilpotenzialenelsemipiano ...............211
6 Introduzioneallateoriadeigruppiealleproprieta` disimmetria.....213
6.1 Alcunedefinizionigenerali ..................................213
6.2 Omomorfismitragruppi.Gruppiquoziente .....................215
6.3 Rappresentazionidiungruppo ...............................218
6.4 Rappresentazionideigruppifiniti.Caratteri.....................220
6.5 LemmadiSchur.Lesimmetrienellafisica......................223
6.6 Livellivibrazionalidisistemiconsimmetria ....................225
6.7 GruppidiLie.Definizioniedesempigenerali ...................227
6.8 AlgebrediLie .............................................229
6.9 GruppiealgebrediLieelororappresentazioni..................233
6.10 Rappresentazionidifferenziali.Gruppidelletraslazioniedelle
rotazioni ..................................................234
6.11 GruppodellerotazioniedSU ................................238
2
6.12 Alcuneproprieta` generalidellealgebre ........................241
6.13 Rappresentazionitensorialielorodecomposizione.IlgruppoSU ..242
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