Metodi di Analisi Matematica per l’ingegneria

526 Pages·2017·250.783 MB·Italian

by  Marco Bramanti

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ll con lurudotto int.m'n0 107
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2
44..44..11.. CC1o11rIn1]p1ll0e1t'.eWz:zz.na d(11e11l .s=i1sistliee1r1n11a1 tI-r1i‘iggoo1n1oo1mr1eett.1r*iic<:o0 ee sseerriiee ddii FFoouurriieerr iinn LL2 112244
4~l..~4l.'..'22.. bSverlr-1ie* d1'11i FF1o.1u\1r1i'iee1r' iinn ppiiùll v1-a'1r1iraiab|.i)lilii 1l22?7
44..55.. UU1n1 ev..s=.e".¢m.*1p11|i>oio d<11i "“ww:~a1vwe‘*lleottss"":: llaa blmassoe ddii HHaaaarr 112299
4-1..66.. II1l mn1:e*~ttou1d'1o0 d1.11i ssev-p|)a:1rraazziioo1n1ee ddeellllee vvaa1r'ii1a1bbii1lii ee ggllii ssvviilluuppppii ddii FFoouurriieerr ccl:l-a15s5s1i1c1i1 113322
4.6.1. La corda vibrante fissata agli estremi 133
~1.b'.1. 1.1.1 1_*1.11'11:-1. \*ibr1-1111.0 fi5sa.1".a agli 1_==stre111i 133
138
4,6.2. L'equazione di Laplace sul cerchio
4.6.2. L'1'-qlla-wi11111~ cli Laplam su] cc-rc11io 138
44..66..33.. LL‘:'-eLq-qullaazzzizoionlelv drlii dcliifffflulssiioonnee ssuull sseegg1m11ee1n1tt.oo 115522
4~1..7T.. PP1r‘oubblcl~e1m11ii drlii SS1t.ul.lr1m'lll--LL10ioI.l‘uVv11il1lGe ee ppoolliinnoommii oorrttooggoonnaallii 11.5566
156
4-1..7T..11.. PPrroobhlloemmii cdlii SStt.u11rmr1n-L-Liioouuvvi]li1l;l-e. r1'eeggoo11l1a1r"ii 156
44..T7..‘22.. PPrroolmblrl.e-nl1l1lii ddii SStt-u11rm1"1-1L1i-oLiuov1wililllee ssiinnggoollaarrii ee ppoolliinnoomnlii oo1rt"to-oggoonluaallii 115538
174
44..88.. EE~s.-"e.or1c'1'ifiz'2.ii e0 ccoo1m11ppl]eenm1ee1n1tt.ii 174.
CCaappiittoolloo 55.. AAllrcuulnlee aapppplilciac.azzioi1o1nii (d11.e-"~ii ppoolliinnoommii oo1r'1to.oggoo1n1aa.llii a11 pprroohblleelmnii
181
ddiifffmfe‘ree1n1z?i;aialili ddeollllaa ffiissiiccaa m111a1t1et.om11a1:t.1itci1a?.a 181
55..11.. LLaapp1:l.a1cciiaa1n1oo iinn ccoooor1r;ldi1i1naa1.tce- s:+f;fee1rii1cr1h1ee.. PPnolli1in1oummii cdlii LLoegsg-1e1nc1d1r"oe ee aarr1m11oo1n1iicc]h1ee
181
SsffEe'Ir'1ic(‘1h1eE‘ 181
181
55..11..11.. II1m11pp1o1sstt:a.1z?.iioo1n1ee d1.11e91l pprrool:1b1ele1nm.'-1a 181
55..11..22.. IIIl dd1a-1t.1o.0 iilnlddiippeennddeennttee d11.a:-1l11l1a1 l]oo1n1ggiitt.1u1ddiinnce-.. PPoolliinnoommii ddii LLoegge1e"n11d'lrree 118844
55..11..33.. II]l ccaassoo ggeenlleemrallee.. FFuunnzziioonnii rdlii LL1e-gwegnmddrree aass.5sro.1c('i1aa1t.ee oe aa1r1m11oonnii1c?hl1ee ssff1eerriicc1h1ee 1rl8855
55..11.-.14.. SSoolluuzziioonnee ddeell p]JIr‘Oo1Jb1Gle11m1£a-I ddii DD1]i‘1r(_i‘c.11h1l(?e1t' s:_u~;1l1l]ala ssffeerraa 119910)
55..22.. OOsscciillllaattoorree aa1r1m11oon11icicoo qquuaanmtiissttiiccoo oe ppoolil1i1noo11m1ii d1lii HHv~e1r'1m1'1iit1eo 119922
5.3. Equazione di Schrôdinger per l'atomo di idrogeno e polinomi di
5.3. Equazione di Scllriiidinger per 1’.'-11.01110 rli idrogolm o 110111101111 ('11
196
LLaagguueerrrree 196
5.3.1. Impostazione del problema 196
5.3.1. Impostazione del problema 196
55..33..22.. EEqquuaazziioonnee ee ppoolliinnoommii dr1ii LLaagguueerrrree aassssoocc-iiaatiii 119999
202
55..33..33.. OOrrbbiittaallii aattoommiiccii 202
55..33..44.. SSoolluuzziioonnii ddeell]l‘ 'eeqquuaazziioonnee ddii SScchhrrôijddiinnggeerr 220088
55..33..55.. CCaallccoollii ddeettttaagglliiaattii ppeerr llaa. rriissoolluuzziioonnee ddeel]]l’'eeqquuaazziioonnee 1r1a1.1d11i:-a1.1l1e2. 220088
Capitolo 6. Teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa 211
Capitolo 6. Teoria. delle funzioni derivabili di variabile 1.'on1[1]es.~u-1 211
66..11.. GGeenneerraalliittéà. ssuu ffuunnzziioonnii ccoommpplleessssee ddii vvaa.rriiaabbiil]ee ccuo1r1n1pplleessssaa 221111
211
66..11..11.. II1l ppiiaannoo ccoommpplleessssoo 211
i fi6;..11...22.... FFuunnzziioonnii ccoommpplleessssee ddii vvaarriiaabbiillee ccoommpplleessssaa 221122
6.1.3. TTboppoollooggm'ia ee lliinmliittii ddii ffuunnzz1'ioonn1'i 221133
6.1.4. Funzioni 1ra'-addiiccee nn--eessiimnlaa ee llooggaarriittmmoo iinn CC.. PPoolliicdlrroommiiaa 221177
6.1.5. Curve nel piano commpplleesssoso 222200
6.2. La definizione di ffpumnzziioonnee ddeerriivvaabbiilele iinn CC.. CCoonnddiizziioonnii ddii CCaa.uucch3h,y-'--
Riemann 222266
6.3. Alcune applicazioni fisiche ee. ggeeoommeettrriicchhee ddeell ccoonncceettttoo ddii ffuunnzziioonnee
223322
olomorfa
6.3.1. Significati fisici delle funzioni oolloommoorrfefe 223322
6.3.1.1. Coniugata di una funzione fioltlzozmxnoorrffaa. ee ccaammppii iirrrroottaazziioonnaallii
solenoidali 223322
6.3.1.2. Moto stazionario piano di un liquido iinnccoommpprriimmiibbiillee nnoonn vvoorrttiiccoossoo 223344
237
6.3.1.3. Funzioni armoniche 237
6.3.2. Significato geometrico delle funzioni Iofilloommoorrffee.. MMaappppee ccoonnffoorrmmii 224400
6.4. Serie di potenze nel campo complesso 224455
6.4.1, Generalità sulle serie di potenze nel campo -cooommpplleessssoo 224455
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65.44.''72. LLee ffuunn/z1ioonn1i ttrraa.sscceenndd01e1n1t1i eellmemueennttaarni n11e91l cPaEmlIl]p])(o) ccoommpplelessssoo 225522
66.55. Il1n1tt0e1g2r,1aaz?1ioo1n1eo n111e1-l1 cP2a11m11p13o0 ccoommplmp-l"-ess<ssoo
225588
66.5.I] . DDPe1f'liln1liZz]i0oI]nEe‘ ,ee p11r1i1m111e0 pp1roopp1r1iee1taà ddeellll'ilnntteeggrraallee dd1i llminqeaa 1i1n1 (CC 225588
66..51.22. TToeoolreemmli i1n11ttee;g-11r.a11l1i dd1i CCaa1u1c¢1h13y1 ee aannaa1l1itti1cci1ttàa ddoelllloe ff1u11n1z?1ioo1n11i oolloomrnoorrfefe 226644
66.55..33 . AApppp11liccaaz1zoio11n1i .a11ll1e0 ffuunnzz1i0onn1i aC1r]m111oonn1irc.hh-:1e
227777
66.05..33 .11. I11l pplroobblleemmaa dd1i DD1irr1icc]h11le0tt 1n11e1l] s~e.emm1ipp1iaannoo
227777
66.55..33 .22. IIll pprroobblleenmma dd1i DD1i1r1icc11h1l0e1t nnee]l coeerrcchhlioo
228800
66.55.44. PPrroopprrileettàa ddeellllee ffuunnzzlioomni aa1n1aall1itt1icc1h1ee
228822
66.66. PPuunntt1i ssilnnggoollaarni dd1i uunnaa ffuunnzzlioonnee oolloommoolrffaa ee 1tePOoIrPeI1m1E1a ddmei r1e0qs1idduu1i 228855
66.66.11. SSVv1i1luUppp]Jil i1nn s56e1r'i]?e b13i11l2a11teerree
228855
66.66.22. SSilnnggoollaarrlittaà. dd1i uunnaa ffuunn?z1ioonn0e oolloommoorrffaa
228899
66.66.33, RReessildduuli dd1i uunnaa ffLu1In1Zz1i0o1n]Pe o01l0o1m110o1r1f'1a
229966
66.66.44. CCaallccoolloo ddee1i rreess.1idduu1i
229999
66.66.44.11. SSimnggoollaarrilttaà €e1l]iI1m]1Ii1n<‘aElb1)il1lFe'
330000
66.66.44.22. PPoolloo ddeell pprr1imm'oorrddimnee
330010)
66.66.44.33. PPoolloo dd1i oorrddminee n11.
330022
66.66.44.44. FFuunnzziloomni ppaarril 330033
66.77. AApppp11liccaa.zz1i0onn1i ddeell tteeoorreemmaa ddee1i rreesslidduuli aall 1c2a1l1c10o1l0o dd1i linntteeggraralmli 3310133
66.77.11. CCaallccoolloo dd1i i11n'1t13eEg3grl‘Eai.1l1i i11n1 C(C mmeeddliaannttee i1l] mmeettooddoo ddeeli 1r1e==s=.i.1dd1u11i 330044
66.77.22. CCaallccoolloo dd1i imntteeggrraallil i11n1 RR lm'l'l6eCd11iEa:lnI]1t.eP i11l mmeettooddoo ddee1i rr.:e=--s1.1i1d11u11i 330055
66.77.22.11. IInntteeggrraa.ll1i dd1i ffuunnzzlioomni rraa.zz1ioonnaall1i 330055
E6.77.22.22. IInntteeggrraallil dd1i ttlippoo ttrraassffoorrmmaattaa dd1i FFoouurrlieerr 331100
6.7.2.3. IInntteeggrraalhi ggeenneerraa1l1izzzzaatt1i cchhee rr1icchh1ieeddo0nnoo dd1i aagggg1irraa1ree uunn ppoolloo 331155
6.7.2.4. Altr1'i1 linntteeggrraallil i11n1 1RR ccaallccoollaabblillli ccoonn mmeettooddli dd1i aannaa]1liss1i c(‘0onm1pp1Pless-.saa. 331199
6.8. Esercizi ee mcommplleemmeennt1ti 332255
Capitolo 7. Trasformata di FFflouurrlieerr ee aappppllliccaazzxioomni 333333
7.1. La trasformata di Fourier in L I (Rn ) 333333
7.1.1. Definizione e proprietà elementari 333333
7.1.2. Approssimazioni dell' identità 334433
7.1.3. Il teorema di inversione 344
344
7.2. Calcolo della trasformata di Fourier dd1i aallccuunnee cc1laassss1i dd1i ffuunnzzlioomni ccoonn
metodi di analisi complessa 334477
7.3. Applicazioni della trasformata di Fourier aallllee eeqquuaazziloonnli aa, ddeerrilvvaattee
parziali 335566
7.3.1. L'equazione di Laplace nel semipiano 335566
7.3.2. L'equazione del calore in tutto lo spazio 336611
7.3.3. Problemi unidimensionali di diffusione ccoonn ttrraassppoorrttoo ee rreeaazzlioolnlee 336666
7.4. La trasformata di Fourier su 1.2 (IRn ) 336677
7.4.1. Lo spazio delle funzioni a decrescenza rapida 336677
2
7.4.2. Trasformata di Fourier su 1. 336699
2
7.4.3. Applicazioni della trasformata di Fourier ssuu L12. 337744
7.4.3.1. Principio di indeterminazione di Heisenberg 374
7,4.3.2. Equazione di Schrodinger della particella lllibbeerraa. 337788
7.5. Tabelle 337799
7.6. Esercizi e complementi 338800
Capitolo 8. Trasformata di Laplace e applicazioni 338855
8.1. Definizione di L-trasformata e prime proprietà 338866
vi II\;l1|\ I.
391-2;
Proprietà operatoriali (Iella It•nsfortnnt (li Laplace
S~ Pl‘\*}>l‘it‘li\ upvmturinli .1.-ll" 1l'nr~'[HI‘IIlnh| xii |.H|I|Hi‘I‘ 33-
3‘ I98
S3, della trasfortnatn (li Laplace
-'5 ll'l\‘\‘\‘:<in1h*~ :\\‘\ln ll'n.-‘~fnl"|1u\Iu 1\i l.n|\|m'w‘ "-H
398
8.3.1, Metodi operativi (li inwrsione
4LS" ,3.'2s Kl)ilv1h1u1l0isntr\a\\z‘Ii‘o:\n\ie\d' ieclllai ilf\\o'vrln‘.~u=tilnalu (‘li inversione cmomn ii lnvlmli dclii amnma-l|ii.\sij rm”
3OUiI'JFI1ol"5flJ%‘'uif!IOoIfI‘;-andIJ nilll\\.\1l‘i\JiuIlv \\1‘H:\ f1\l‘Ill\l|I\ lli iH\'l‘l‘t-iu1|1‘ 4H01135
eotlll)lossa
S.A. Cl\monf1fl‘Ân1)1nvinntlo\1ff ]rr\nalv.. -t1.r-m4a:s.\-flo1rnt'nnamtnl n (dlii F|*o‘<umrireivrr ev tIrraa.s-ffomr'tnnmatIa= 1 ((Ilii L[.;a1ppllamc'¢e‘ 44H00IT87
83.5. A.~pE\ppqplu\iicavanz'i1iooiunnnii idddifevfllelluare ntt1rz'a:\i.s~af<lofiu r1ot"nr1d|a1intnatna rdciliei Ll.l:ia\n|p1el|a:aurci‘ve a coefficienti costanti 41099“
3. l~‘.qua:iuni \liil}~rv1\-ziali urdilmriv li1u~ari :1 (‘m‘fli(c‘iimrcHuiiti¢ *enl.-eft;ItIrHici i LCR 4W16)
integro-differenziale:
S3S.-.35v.23.. UUYl'1unn\‘ v'ee\s‘:ss~mee‘-nr1\‘nl1ll1lpp)Piiiinoo\\ ddddiiii evevq<qq\luu\mmaaf.z/zz.iiiimomon1n1evve iiillnll!w(t‘e$gg3r.ra1al1vl1ez-:( lic1ffi-t‘riIrc‘ct‘ul'lnZiititiou1 .le((‘‘llI<e"tvHtrilri‘irc(n'oui tIIiR{v(C'lr-t'rriri I.('I{ 41H11‘!9!)
"/S3'L7,II.I.ACL‘'Z2.5--".N‘-'-L'IIIIiI‘‘-.I$’~1'-4"-’::-1I1I0I--l. RRiissouunmanmza\ nuevllllve ou:s~ci(i‘illl|na.z/'i.io0nllii ffuo1r‘7z.a:1ttev ev nnounn ssmllluorrzzaattve 4411222141
SS...3'1s.55.. EEqq\uua\.z/.iimon1ii iilnlitte‘gglr‘ai\l|ii ddii V\"uollttverr1r'aa 442381
S3..55..66.. LLaa ttrraassfmfo‘1r1m1aamta1 ddii Ll_.a:\p|1llamc‘ve e0 ll''veqq11u:au:zimio91nre- ddii LLn;a-_g';1u1ver1r‘¢r9e‘ 413*.
432
S.G. Tabelle
S. ,. Talwllv 44:35‘-33
8.7. Esercizi e complernenti
IS C-L’I. E:~"=0r<‘izi 0 vmllplmnvllti 1553
0
441357T
Capitolo 9. Teoria delle distribuzioni
Capituln 9. Tvuria dvllv distrilmziuni
437
99..11.. M.\luottiivuau:/.iiou1n1ev 435-
9.2. Generalità sulle distribuzioni
92. Ge-1wm.lit£i sullv dist rilm;/.9iu11i 4444101
9.2.1. Funzioni test e distribuzioni
9.2.1. Fmlzinlli ivst 0 t{iSt1‘il11l7.i0lli 4419}
9.2.2. Deriuxta di una distribuzione
9.2.2. Dv-rivata di mm 1list"1‘ih11zi011v -145
99..22..33.. (O)ppverraa;'z.iimo1nii ssuullllve ddiissttrirl>ib1u1zzii0o1n1ii J.-BU
99..33.. DDiissttrriilbmuzziiuolnlii a:1 ss1u1ppppoorrtt.ou c<'omm11ppaa.tt.tt.o0., c(‘UonIl\v'Ooll1ulZziOiollnPe ddii d(.ilissttrriilbmuzzinio1n1ii 44605'3
9.4. Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali
9.4. Applicazimwlni allv vquazioui allv dv1'i\'z~1t.c~ parz.ia.li ~10?"
472
9.5. Trasforrnata di Fourier di distribuzioni e applicazioni
9.5. T‘1‘asf0r111ata di Fullrivr di di.~:t1'ih11zio11i P &1ppli(‘H7.iU1li 4T‘)
9.5.1. Distribuzioni temperate e loro trasformata di Fourier 472
9.5.1. Distrihlmiulli tv-111pv1"at.v 0 luru tmsfurlnata (Ii Fu11I‘i<;‘1' 4T3
99..55..22.. SSevrriive ttrriiggoolnloolmnvettrriivclhlve dmilivvverrggv-e1n1tt.ii c(‘(o11r1n10e d(liiSstt1r‘iilb)1u1zZiiouIn1ii ttve1m11pp<"e~r1a*zt1et0 4&0
9.5.3. Il treno di impulsi come distribuzione temperata
9.5.3. ll trvno di impulsi cmnv distril>117.iu1u> t0111pv1'at:91 451
99..66.. TTaabbeellllve 454
9.7. Trasformata di Laplace di distribuzioni e applicazioni
9.7. Tra.sf0rInata. cli Laplace di di.~:trih11zi011i P applicaziolli 4.83
492
9.8. Esercizi e complementi
9.8. Esfirvizi P c-nlllplc-111v11ti 49;}
Capitolo 10. Applicazionia i filtri e al campionamentod i segnali 501
Capitolo 19. Applivaziulli ai filtri 0 al ca111pi011a111eI1t0 di svgllzlli 301
1100..11.. GG9eenmer=araliltitàé ssuu ssvegg;1n1ea1l.ili,, .s~i=sisttev1m11ii ev ffiillttrrii 530011
10.2. FFilllttrril ccaauu'-ssaallii,, iirdloeaallii, r1'e01a-1l.lii 509_
10.33. CCaamrnpploioznlaaurlnmennttuo d<lii uumn ssevggnlmallve ev ttevonrrvelrunaa ddii SShhaannnnoonn 5_ 13J,
10.4. EEsseerrcciizzil ee c('o()rIln1ppllet*rlnl1e¢n‘ltliti 5\,;2_11
0-0
Bibliografia
\Qr.
~' ' - ____
Prefazione
Questo libro è una rielaborazione del materiale preparato per i corsi di Meto-
di Matelnatici per l'Ingegneria (per ingegneria nucleare) e di Elementi di Analisi
Funzionale e Trasformate (per ingegneria elettronica), entrambi da 5 crediti e con
questi ultimi anni. Ho ritenuto opportuno pubblicare questo materiale sotto forma
di un unico testo, sensibilmente più ampio rispetto al contenuto di un corso di 5
crediti, per due ragioni. La prima è di carattere pratico: esistono vari corsi di
"Metodi Matematici per l'Ingegneria", con contenuti simili ma diversificati, e mi
è sembrato utile mettere a disposizione uno strumento flessibile, che possa essere
utilizzato per costruire corsi di tipo diverso, selezionando opportunamente il mate-
riale dai vari capitoli. La seconda ragione è di carattere culturale. Corsi di questo
tipo introducono teorie e strumenti matematici molto utili nell'ingegneria; tuttavia
i tempi ristmetti del corso consentono di illustrare solo velocemente e parzialmente
le applicazioni fisico-ingegneristichee i nessi tra le varie teorie. L'idea è allora
quella di lasciare allo studente un testo che, contenendo più materiale di quello che
rientrerà effettivamente nel corso, dia modo a chi è più interessato di curiosare in
qualche paragrafo o capitolo non svolto per farsi un'idea di qualche applicazione in
più e qualche nesso in più rispetto a quelli sviluppati in dettaglio nelle lezioni.
Contenuti. Il corso ha come solo prerequisito l'analisi matematica tradizional-
mente insegnata nei corsi di base di ingegneria e presenta anzitutto gli argomenti
istituzionali dell'analisi matematica superiore che costituiscono i fondamenti con-
cettuali di tutta la materia del corso: generalità sugli spazi vettoriali normati,
convergenza uniforme, spazi di funzioni continue (Cap. 1), misura e integrale di
Lebesgue, spazi di funzioni integrabili (Cap. 2), generalità su operatori e funzionali
lineari continui (Cap. 3), generalità sugli spazi di Hilbert (prima parte del Cap. 4),
teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa, con applicazioni al calcolo
di integrali col "metodo dei residui" (Cap. 6). Seguono poi argomenti più ope-
rativi, in cui grazie ai fondamenti precedenti si sviluppano strumenti che hanno nu-
merose applicazioni: i metodi di ortogonalità, per questioni di approssimazione o di
risoluzione di problemi differenziali (parte del Cap. 4 e Cap. 5), le trasformate inte-
grali di Fourier (Cap. 7) e di Laplace (Cap. 8), con un certo ventaglio di applicazioni,
i primi elementi della teoria delle distribuzioni (Cap. 9), con applicazioni alla teo-
ria dei filtri (Cap. 10), Le applicazioni fisico-matematiche o fisico-ingegneristiche
presenti nel testo sono numerose e scelte da settori diversi.
Modularità. Per rendere effettiva la possibilità di utilizzare questo testo in modo
modulare, costruendo percorsi diversi su misura, è stato necessario qualche accor-
gimento espositivo. La teoria delle funzioni di variabile complessa (Cap. 6) mette
x PREFAZIONE
a disposizione, tra le altre cose, dei metodi di calcolo delle trasforrnate di Fourier
(e dell'antitrasformata di Laplace). Tuttavia questo libro è costruito in 1110(10
anche senza aver studiato il Cap. 6 sulla variabile complessa si possa comprendere il
filo del discorso di tutto il seguito; in particolare, nel Cap. 7 (trasforlllata di Fourier)
è stato inserito un paragrafo (che per chi ha studiato il Cap. 6 è ridondante) in cui
si presenta schematicamente la procedura per calcolare la trasfornlata di Fourier
di funzioni razionali, senza dimostrazioni ma senza necessità di aver studiato la
teoria di variabile complessa. Nel 8.3, la formula per l'antitrasformata di Laplace
è presentata in una prima sottosezione in un modo operativo che non richiede la
conoscenza della teoria di variabile complessa; in una successiva sottosezione, dedi-
cata a chi ha studiato il Cap. 6, si fornisce una dimostrazione dei risultati enunciati
in precedenza. Le trasformate di Fourier e di Laplace vengono introdotte e st,udiate
prima per opportune classi di funzioni, nei Capp. 7 e 8, poi per opportune classi (li
distribuzioni nel Cap. 9; se la teoria delle distribuzioni non viene svolta, i Capp. 7
e 8 sono comunque autoconsistenti. Le applicazioni delle trasformate integrali e
delle tecniche di ortogonalità alla risoluzione di problemi ai limiti per equazioni
alle derivate parziali (EDP) sono un tema toccato in più punti del testo (5 4.6,
Cap. 5, 7.3), anche se uno studio sistematico delle EDP non è tra gli obiettivi
di questo corso. Queste applicazioni sono importanti e forniscono motivazioni si-
gnificative per lo studio degli strumenti citati; al tempo stesso, l'omissione di queste
applicazioni non pregiudica la comprensione del resto.
Dimostrazioni. Per il tipo di corso per cui è immaginato, questo testo non
vuole essere un ricettario operativo, piuttosto vuole rendere ragione anche dei pro-
cedimenti operativi, e puntare alla crescita della consapevolezza critica del pensiero
che soggiace a tante tecniche matematiche di uso comune in ingegneria e in fisi-
cas Questo significa cercare di presentare non solo definizioni precise e concetti
rigorosi, ma anche, in linea di massima, una dimostrazione dei risultati enunciati.
Questo orientamento generale si scontra, d'altro canto, con la constatazione che
tante conoscenze matematiche, di base ma un po' astratte, che fanno parte del
bagaglio standard di uno studente di matematica, non sono invece solitamente
fornite nei corsi matematici di base di ingegneria. Presentare un percorso logico
totalmente autocontenuto che parta da quanto fornito in tutti i corsi di base di in-
gegneria appesantirebbe eccessivamente le parti introduttive del corso, a discapito
dello spazio dedicato ai contenuti che questo corso principalmente intende veicolare.
Ho quindi cercato qualche compromesso, soprattutto nei due capitoli introduttivi.
Nel Cap. 1, alcuni risultati di base (la completezza di R e alcune semplici proprietà
degli spazi metrici), argomenti concettualmente parte di un corso di analisi 1, ma
difficilmente toccati a ingegneria, sono enunciati senza dimostrazione. Nel Cap. 2,
tutti i risultati di base su misura e integrale di Lebesgue sono enunciati senza di-
mostrazione, per non dilatare eccessivamente la presentazione. Più avanti nel testo,
invece, quasi tutti i risultati enunciati sono dimostrati. Sarà poi il docente a de-
cidere quali dimostrazioni presentare effettivamente e quali no nel corso, ma la loro
presenza nel testo vuole mostrare allo studente il fatto che il percorso impegnativo
intrapreso consente di rendersi conto effettivamente di come si giustifichino certi
risultati e di come la materia descritta costituisca un tutto coerente, ricco di nes-
si significativi. In generale, comunque, per ogni risultato non dimostrato si sono
forniti riferimenti bibliografici opportuni.
PREFAZIONE xi
Esercizi e complementi. Il taglio del corso è più teorico-concettuale che ope-
rativo. Gli esercizi sono importanti esemplificazioni dell'importanza e applicabilità
della materia, ma non sono in questo corso il punto d'arrivo o lo scopo ultimo. Ad
ogni modo, alla fine di ogni capitolo è presente un certo assortimento di esercizi, tutti
forniti di svolgimenti completi (che si trovano nella versione online del testo), che
a volte costituiscono un complemento della teoria in qualche direzione collaterale,
e occasionalmente possono avere carattere teorico.
Come per gli altri miei testi, sarò grato a chi vorrà farmi avere i propri commenti
o segnalare errori o imprecisioni, scrivendomi:
marco .bramanti@polimi .i t
Milano, luglio 2017.
CAPITOLO 1
Elementi di analisi funzionale.
Spazi di funzioni continue
Per dare urfidea generale di che cos•è l'analisi funzionale occorre scorrere in
modo molto schematico alcune tappe della storia dell'analisi matematica. Quanto
segue i' una descrizione necessariamente sommaria e approssimativa, che però cerca
di trasmettere qualche importante idea di fondo.
Fin dal suo nascere nel 170 secolo, il calcolo differenziale è stato utilizzato per
irnpostare e affrontare problemi fisici di vario tipo. Già nel 17()()l e equazioni dif-
ferenziali ordinarie sono state utilizzate ad esernpio come modelli per la dinamica
del punto materiale, del corpo rigido, e più in generale per lo studio dell'evoluzione
di sistemi dotati di un nurnero finito di gradi di libertà. A partire dal 1750 circa,
e poi in modo impetuoso nel 19- secolo, le equazioni alle derivate parziali sono
state utilizzate invece come 1110dellpi er la (linalllica dei sisterni continui (vibrazioni
di corde o rncrnbrane, propagazione di onde), per lo studio della teoria del poten-
ziale gravitazionale o elettrostat ico, per lo studio della conduzione del calore, e più
in generale per descrivere fenomeni fisici relativi a un mezzo continuo, in cui la
grandezza fisica in esarne descritta, in un dato istante, da un nurnero finito
di numeri, ma da una funzione. Infine, il calcolo delle variazioni, nato fin dalla fine
del 170 secolo. si occupato della ricerca della determinazione di curve, superfici,
traiettorie ottirnali da ql.lalche punto (li vista, della ricerca della configurazione di
un sistema fisico che renda Illinima l'energia, e così via.
In tutti questi problemi. una prillla fase dell'indagine (180 e buona parte del
190 secolo) è consistita nel cercare di risolvere esplicit arnente problemi significativi
di questi tipi. Ad esempio, per quanto riguarda i problemi ai limiti per le equazioni
alle derivate parziali, grande sforzo è stato fatto nel cercare formule risolutive es-
plicite, che assegnino la soluzione del problema, a partire dai dati, mediante qualche
serie o integrale di funzioni. Questo ha portato allo sviluppo di tecniche di sepa-
razione di variabili, sfiluppi in serie, trasformate integrali, funzioni speciali, sistemi
ortonormali, ecc. Si ricordi che stiamo parlando di periodi storici in cui il calcolo
automatico non esisteva, quindi non esistevano sostarrziali alternative utili in vista
delle applicazioni, rispetto all'individuazione di formule esatte ed esplicite per la
soluzione. L'esperienza mostra però che questo genere di tecniche, mirate all'indivi-
duazione di formule esatte ed esplicite, ha speranza di funzionare solo per equazioni
di tipo molto particolare, e in domini aventi una forma geometrica molto particolare
e semplice. Non appena queste situazioni modello vengono perturbate, per quanto
riguarda il tipo di equazioneo per quanto riguarda la geometria del dominio, gli
strumenti analitici precedentemente usati con successo risultano inutilizzabili. Una
seconda fase della ricerca consiste allora nel cercare di dimostrare, per una famiglia
piuttosto ampia e generale di problemi che in generale non si saprebbero risol-
CON'JUN(fL
SPAZI Dl FUNZIONI
FUNZIONALE.
2 l. ELEMENTI Dl ANALISI
ln
ingredienti del
sugli
ragionevoli
vere esplicitamente, che, sotto ipotesi perturbazioni (lei (lati,
rispetto a piccole
soluzionee siste, è unica, ed è stabile di esistenza, che
astratti
teoremi
particolare, si cerca di dimostrare esplicitamente. Questo tipo
fornirla
la soluzionec 'è pur senza essere in grado di all'indagine
consistenza
qdui arliis suoltnaot il ec oipsotitteusiis gcieu usntea i nte courii am qeuttaedrrsoi, cclhiee (cloàs a ci sih paunòn oa scpoestttiatruei tod au n corto
quadro
problema. In tempi più recenti, queste teorie approssimato (Iella soluzione:
nurnerico
di partenza anche per i metodi di calcolo anche dalla teoria
dipendono
risolutivo
sleo tbtousotannet ep.r oMprai ectoàm dee slil 'aplugòo driitmmoos trare che un problema ha soluzione senza esil)iro
la soluzione stessa? un'analogia con quanto lo studente ha visto nel corso
tdiai manPoa elpri esrrii smepsaoetnmedmpeiraoet si, cufaal c t1ce iorairmgeumoa ard doaes gas luic mzeeretre iv: apslreoo rupi nrdiaie tfsàue ngdzneiolol neoe pf upfn oz:s ti[ooa,n, bic ]ce —ortnaìtrI iRnnoò un ect.eo nIsRti,i infa1uncta__
e agli estremi a, b dell'interdveallll'ion tervallo (a, b). La dimostrazione di questo teorema
nullerà in almeno un punto dell'insieme dei numeri reali, in particolare
si basa in ultima analisi sulle proprietà superiore", che afferma che un sottoinsieme
sulla cosiddetta "proprietà dell'estremo
non vuoto e superiormente limitato di IRa mmette estremo superiore, ossia l'insieme
dei suoi maggioranti ammette elemento minimo. Una buona proprietà dell'insieme
ambiente R garantisce quindi l'esistenza del numero che risolve un certo problema,
che si traduce nella soluzione di un certo problema per le funzioni continue. Quindi:
riusciamo a dimostrare che ogni equazioned i un certo tipo ha soluzione (precisa-
mente l'equazionef (x) 0 in (a, b) quando f è continua e ha valori discordi agli
estremi a, b) perché l'insieme universo in cui cerchiamo la soluzione, cioè IR, ha
una certa buona proprietà.
Torniamo ora ai problemi relativi alle equazioni differenziali. Mostrare che la
soluzione esiste significa mostrare che esiste una funzione (non più semplicemente
un numero, come nel problema precedente) che risolve un certo problema. La
soluzione,a priori, va cercata in un certo spazio ambiente. Ad esempio, per un'e-
quazione differenziale ordinaria del prim'ordine sull'intervallo [a, b], questo spazio
ambiente potrebbe essere lo spazio di funzioni C l [a, b]. Per analogia con il discorso
precedente sul teorema degli zeri, ci aspettiamo che qualche buona proprietà dello
spazio di funzioni Cl [a, b] possa garantire l'esistenza della funzione che risolve il
problema in esame. Questo è il tipo di motivazione che porta a indagare gli spazi di
funzioni. Invece di studiare le proprietà delle singole funzioni, come si fa nei corsi di
analisi matematica 1 e 2, si comincianoa studiare le proprietà dell'insieme di tutte
le funzioni di un certo tipo, solitamente vedendo quest 'insieme di funzioni come uno
spazio vettoriale (da cui il termine "spazio di funzioni"), dotato di qualche ulteriore
struttura e proprietà. La dimostrazione di un teorema di esistenza per qualche
problemad ifferenzialec onsisterà quindi nel mostrare che esiste, in un certo spazio
di funzioni (che pensiamo come spazio astratto) "un punto" (che in concreto è una
funzione) che risolve il problema.
L 'analisi funzionale nasce quindi (tra fine 19 0 e inizio 20 0 secolo) come studio
delle proprietà degli spazi di funzioni, inteso a mettere in evidenza quali sono le
proprietà strutturali importanti di questi spazi, che servono a dimostrare teoremi di
esistenza di interesse per l'analisi dei problemi differenziali, variazionali o di altro
tipo.