Methods of Approximation Theory

938 Pages·2005·4.34 MB·English

by  Stepanets A.I.

(cid:48)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:91)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)

(cid:48)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:71)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:36)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:91)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:82)(cid:85)(cid:92)
(cid:36)(cid:17)(cid:44)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:72)(cid:83)(cid:68)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:86)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:19)(cid:3)(cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:3)(cid:23)(cid:21)(cid:26)(cid:3)(cid:26)
(cid:139)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:24)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:15)(cid:3)(cid:47)(cid:72)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:86)(cid:17)
(cid:46)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:81)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:77)(cid:78)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:57)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:83)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:80)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:70)(cid:68)(cid:71)(cid:72)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3)
(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:49)(cid:76)(cid:77)(cid:75)(cid:82)(cid:73)(cid:73)(cid:3)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:57)(cid:54)(cid:51)
(cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:17)(cid:44)(cid:17)(cid:51)(cid:17)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)
(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:17)(cid:3)(cid:49)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:68)(cid:92)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:3)
(cid:85)(cid:72)(cid:87)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:89)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:86)(cid:92)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:15)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:15)
(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:90)(cid:76)(cid:86)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:88)(cid:87)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:17)
(cid:36)(cid:88)(cid:87)(cid:75)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:93)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:83)(cid:75)(cid:82)(cid:87)(cid:82)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:3)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:89)(cid:76)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
(cid:87)(cid:75)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:73)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:76)(cid:71)(cid:3)(cid:71)(cid:76)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:72)(cid:68)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:3)(cid:38)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:3)(cid:53)(cid:82)(cid:86)(cid:72)(cid:90)(cid:82)(cid:82)(cid:71)(cid:3)
(cid:39)(cid:85)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:76)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:28)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:81)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:48)(cid:36)(cid:3)(cid:19)(cid:20)(cid:28)(cid:21)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:72)(cid:72)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:17)
Contents
PREFACE xi
PART I
1. REGULARITYOFLINEARMETHODSOFSUMMATION
OFFOURIERSERIES 1
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Nikol’skiiandNagyTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. LebesgueConstantsofClassicalLinearMethods . . . . . . . . . . . 15
4. LowerBoundsforLebesgueConstants . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. LinearMethodsDeterminedbyRectangularMatrices . . . . . . . . . 23
6. EstimatesforIntegralsofModuliofFunctionsDefinedbyCosineand
SineSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7. AsymptoticEqualityforIntegralsofModuliofFunctionsDefinedby
TrigonometricSeries. TelyakovskiiTheorem . . . . . . . . . . . 43
8. CorollariesofTheorem7.1. RegularityofLinearMethods
ofSummationofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2. SATURATIONOFLINEARMETHODS 79
1. StatementoftheProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2. SufficientConditionsforSaturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3. SaturationClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4. CriterionforUniformBoundednessofMultipliers . . . . . . . . . . . 90
5. SaturationofClassicalLinearMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3. CLASSESOFPERIODICFUNCTIONS 101
1. SetsofSummableFunctions. ModuliofContinuity . . . . . . . . . . 101
2. Classes H [a,b] and H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
ω ω
3. ModuliofContinuityinSpaces L . Classes H . . . . . . . . . . 110
p ωp
v
vi Contents
4. ClassesofDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. ConjugateFunctionsandTheirClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6. Weyl–NagyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7. Classes LψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
β
8. Classes CψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
β
9. Classes LψN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
¯
β
10. OrderRelationfor (ψ,β¯)-Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11. ψ¯-IntegralsofPeriodicFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12. Sets M0,M∞, and MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13. Set F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14. TwoCounterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15. Function η (t) andSetsDefinedbyIt . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
a
16. Sets B and M0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4. INTEGRALREPRESENTATIONSOFDEVIATIONS
OFPOLYNOMIALSGENERATEDBYLINEARPROCESSES
OFSUMMATIONOFFOURIERSERIES 165
1. FirstIntegralRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2. SecondIntegralRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
¯
3. RepresentationofDeviationsofFourierSumsonSets CψM
¯
and Lψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5. APPROXIMATIONBYFOURIERSUMSINSPACES C AND L1 187
1. SimplestExtremalProblemsinSpace C . . . . . . . . . . . . . . . 189
2. SimplestExtremalProblemsinSpace L1 . . . . . . . . . . . . . . . 198
3. ApproximationsofFunctionsofSmallSmoothness
byFourierSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4. AuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
(cid:3)
5. ProofsofTheorems3.1–3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6. ApproximationbyFourierSumsonClasses H . . . . . . . . . . . 235
ω
7. ApproximationbyFourierSumsonClasses H˜ . . . . . . . . . . . 239
ω
(cid:3)
8. AnalogsofTheorems3.1–3.3 inIntegralMetric . . . . . . . . . . . 243
9. AnalogsofTheorems6.1and7.1inIntegralMetric . . . . . . . . . . 252
10. ApproximationsofFunctionsofHighSmoothnessbyFourier
SumsinUniformMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11. AuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
(cid:3)
12. ProofsofTheorems10.1–10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Contents vii
(cid:3)
13. AnalogsofTheorems10.1–10.3 inIntegralMetric . . . . . . . . . . 278
14. RemarksontheSolutionofKolmogorov–Nikol’skiiProblem . . . . . 279
15. Approximation of ψ¯-Integrals That Generate Entire Functions by
FourierSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16. ApproximationofPoissonIntegralsbyFourierSums . . . . . . . . . 294
17. CorollariesofTelyakovskiiTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
18. SolutionofKolmogorov–Nikol’skiiProblemforPoissonIntegralsof
ContinuousFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
19. LebesgueInequalitiesforPoissonIntegrals . . . . . . . . . . . . . . 338
20. ApproximationbyFourierSumsonClassesofAnalyticFunctions . . 345
21. ConvergenceRateofGroupofDeviations . . . . . . . . . . . . . . . 363
22. CorollariesofTheorems21.1and21.2. OrdersofBestApproximations374
23. Analogs of Theorems 21.1 and 21.2 and Best Approximations in In-
tegralMetric. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
24. StrongSummabilityofFourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
BIBLIOGRAPHICALNOTES(PartI) 393
REFERENCES(PartI) 399
PART II
6. CONVERGENCERATEOFFOURIERSERIES
ANDTHEBESTAPPROXIMATIONSINTHESPACES Lp 429
0. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
1. ApproximationsintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
2. DirectandInverseTheoremsintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . 437
3. ExtensiontotheCaseofCompleteOrthonormalSystems . . . . . . . 439
4. JacksonInequalitiesintheSpace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
5. Marcinkiewicz,Riesz,andHardy–LittlewoodTheorems . . . . . . . 448
¯
6. ImbeddingTheoremsfortheSets LψL . . . . . . . . . . . . . . . . 452
p
¯
7. ApproximationsofFunctionsfromtheSets LψL byFourier
p
Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8. BestApproximationsofInfinitelyDifferentiableFunctions . . . . . . 466
9. JacksonInequalitiesintheSpaces C and L . . . . . . . . . . . . . 481
p
7. BESTAPPROXIMATIONSINTHESPACES C AND L 489
1. ChebyshevanddelaValle´ePoussinTheorems . . . . . . . . . . . . . 490
2. PolynomialoftheBestApproximationintheSpace L . . . . . . . . 492
3. GeneralFactsontheApproximationsofClassesofConvolutions . . . 495
viii Contents
4. OrdersoftheBestApproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
5. ExactValuesoftheUpperBoundsofBestApproximations . . . . . . 510
6. Dzyadyk–Stechkin–XiungYungshenTheorem. Korneichuk
Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7. SerdyukTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
8. BernsteinInequalitiesforPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
9. InverseTheorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
8. INTERPOLATION 553
1. InterpolationTrigonometricPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 553
2. LebesgueConstantsandNikol’skiiTheorems . . . . . . . . . . . . . 557
3. ApproximationbyInterpolationPolynomialsintheClasses
ofInfinitelyDifferentiableFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . 560
4. ApproximationbyInterpolationPolynomialsontheClassesof
AnalyticFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
5. SummableAnalogoftheFavardMethod . . . . . . . . . . . . . . . . 586
9. APPROXIMATIONSINTHESPACESOFLOCALLY
SUMMABLEFUNCTIONS 597
1. Spaces Lˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
p
2. OrderRelationfor (ψ,β)-Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
3. ApproximatingFunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
4. GeneralEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
5. OntheFunctions ψ(·) SpecifyingtheSets Lˆψ . . . . . . . . . . . . 624
β
6. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = σ−h
and h > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
7. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = θσ, 0 ≤ θ ≤ 1,
and ψ ∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
c
8. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆσc(t,β)(cid:2)1 for c = 2σ−η(σ)
and ψ ∈ A∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
9. EstimatesoftheQuantities (cid:2)rˆc(t,0)(cid:2)1 for c = θσ, 0 ≤ θ < 1,
σ
and ψ ∈ A0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
10. EstimatesoftheQuantities (cid:2)δˆσ,c(t,β)(cid:2)1 . . . . . . . . . . . . . . . 636
11. BasicResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
12. UpperBoundsoftheDeviations ρ (f;·) intheClasses Cˆψ
σ β,∞
and CˆψH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
β ω
13. SomeRemarksontheApproximationofFunctionsofHigh
Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
Contents ix
14. StrongMeansofDeviationsoftheOperators F (f;x) . . . . . . . . 668
σ
10.APPROXIMATIONOFCAUCHY-TYPEINTEGRALS 679
1. DefinitionsandAuxiliaryStatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
2. Setsof ψ-Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
3. ApproximationofFunctionsfromtheClasses Cψ(T)+ . . . . . . . . 702
4. LandauConstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
5. AsymptoticEqualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
6. Lebesgue–LandauInequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
7. ApproximationofCauchy-TypeIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . 727
11.APPROXIMATIONSINTHESPACES Sp 741
1. Spaces Sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
ϕ
2. ψ-IntegralsandCharacteristicSequences . . . . . . . . . . . . . . . 745
3. BestApproximationsandWidthsof p-Ellipsoids . . . . . . . . . . . 747
4. ApproximationsofIndividualElementsfromtheSets ψSp . . . . . . 750
ϕ
5. Best n-TermApproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755
6. Best n-TermApproximations (q > p) . . . . . . . . . . . . . . . . 771
7. ProofofLemma6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
8. BestApproximationsby q-EllipsoidsintheSpaces Sp . . . . . . . . 808
ϕ
9. ApplicationofObtainedResultstoProblemsofApproximation
ofPeriodicFunctionsofManyVariables . . . . . . . . . . . . . . 811
10. Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
11. TheoremsofJacksonandBernsteinintheSpaces Sp . . . . . . . . . 822
12.APPROXIMATIONSBYZYGMUNDAND
DELAVALLE´EPOUSSINSUMS 847
1. Feje´rSums: SurveyofKnownResults . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
2. RieszSums: ASurveyofAvailableResults . . . . . . . . . . . . . . 860
3. ZygmundSums: ASurveyofAvailableResults . . . . . . . . . . . . 863
4. ZygmundSumsontheClasses Cψ . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
β,∞
5. DelaValle´ePoussinSumsontheClasses Wr and WrH . . . . . 871
β β ω
6. DelaValle´ePoussinSumsontheClasses CψN and Cψ¯N . . . . . 877
β
BIBLIOGRAPHICALNOTES(PartII) 881
REFERENCES(PartII) 885
Index 917