methodes numeriques appliquees aux calculs des ecoulements et du transfert de chaleur

30 Pages·2011·1.45 MB·French

METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS
DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR

(Version 1, Juin 2011)

Par : Pr. Abbès AZZI

T
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18
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Faculté de Génie-Mécanique
USTO MB

BP.1505, El-Mnaouar, 31000, Oran, Algèrie.
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METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULS DES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR

AVANT PROPOS
La pierre angulaire de la méthode des différences finies, est bel est bien le développement
en série de Taylor. Brook Taylor, cet élève qui devint plus célèbre que ces professeurs,
découvrit les séries appelées ‘développement de Taylor’. Par sa découverte, Taylor a mis
entre nos mains le moyen de prédire la valeur d’une fonction en un point donné en fonction
de sa valeur et la valeur de ces dérivées en un autre point tout proche du premier.
C’est bien à partir de cette série, qu’on peut obtenir les schémas algébriques pour remplacer
les dérivées dans une équation de type EDP (Equation aux Dérivées Partielles). C’est la base
même de la méthode des différences finies et des autres méthodes déduites de celle-ci. Tout
le reste n’est qu’annexes servant à parler de stabilité, consistance, erreurs de troncature et
autres.
Vous l’aurez compris, toute la philosophie de cette méthode est d’essayer de prédire ce qui
se passerait dans un laps de temps sur la base de ce qui se passe à l’instant (valeur
instantanée) et les tendances de changement actuelles (les dérivées successives). Ceci est
vrai pour le temps mais aussi pour l’espace. Cette prédiction est d’autant plus juste que
l’incrémentation est petite et/ou que les lois de changement et d’évolution sont connues.
Mon cours de différences finies, je le divise habituellement en trois grands chapitres classés
par ordre de complexité. J’aime aussi construire mon cours autour d’exemples à résoudre ce
qui permettra d’apprendre tout en appliquant.
Il est aussi important de dire que les équations de transport dont il est question en MDF,
comportent essentiellement un terme non stationnaire, un terme de transport par
convection, un terme de transport par diffusion et enfin un terme source.
La partie diffusion est la plus simple à traiter, puisqu’en générale le coefficient de diffusion
est assimilé à une constante, d’où une équation linéaire plus simple à traiter. L’équation de
Fourier, relative au transfert de chaleur par conduction et en régime non stationnaire sera
l’exemple à résoudre durant toute la première partie du cours. Dans cette partie il est
question d’introduire l’étudiant aux schémas numériques de base aussi bien pour l’espace
que pour le temps. Les notions de précision (erreurs de troncature), de stabilité et de
consistance compléteront cette première partie.
Dans un deuxième temps, la partie diffusion sera retraitée par l’approche des volumes finis.
Les mêmes exemples seront repris et discutés sur la base de cette méthode. Tout comme
pour les différences finies, la méthode des volumes finis repose sur un principe de base qui
est le théorème de la divergence. Ce principe permet de substituer une intégrale de volume
par une intégrale de surface. Cette partie du cours correspond à ce que je donne
habituellement aux étudiants de graduation.

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Les termes de convection sont non linéaires et par conséquent plus compliqués à traiter. Il
s’agit là, d’un mouvement macroscopique de fluide, à qui on doit adapter les schémas de
convection en fonction de la direction de l’écoulement. Cette partie sera traitée directement
par la méthode des volumes finis et portera sur la dualité précision-stabilité. Les différents
types de schéma et leurs propriétés seront étudiés à travers des exemples d’applications. En
générale, je réserve cette partie pour les étudiants de post-graduation, mais n’empêche que
des fois avec des étudiants studieux en graduation, on peut aborder une partie de ce
chapitre.
La troisième partie du cours, concerne la résolution des systèmes d’équation (Navier-
Stokes). A travers ce système d’équations quasi-non linéaires et couplées j’introduis les
algorithmes de correction de pression utilisés pour les équations de fluides incompressibles.
La partie compressible ne fait pas encore partie de ce cours.

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SOMMAIRE
Les équations aux dérivées partielles, classification
PARTIE I :
1. Présentation de la méthode des différences finies
1. L’équation de conduction de la chaleur (Joseph Fourier)
2. Le problème stationnaire
3. Le problème non stationnaire
4. Schémas explicite et implicites
5. Le concept de stabilité (transformation de Fourier)
6. Schéma de Crank-Nicholson
7. Schéma de Duffort-Frankel
8. Le concept de consistance
9. Mini-projet (conduction thermique en 2D)
2. Présentation de la méthode des volumes finis
1. Application à la partie diffusion (1D)
2. Diffusion en 2D et 3D
3. Mini-projets (conduction thermique en 2D)
PARTIE II :
1. Application de la méthode des volumes finis pour un problème de convection-
diffusion
1. Les propriétés d’un schéma de convection
2. Schéma avant d’ordre un
3. Schéma centré d’ordre deux
4. Schéma hybride
5. Schémas à haute précision avec et sans limiteurs
PARTIE III :
1. Algorithme de couplage pression-vitesse
1. Relaxation
2. Maillage décalé
3. Interpolation de Rhie & Show (maillage colocatif)
4. Algorithmes : SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLER et PISO

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LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES (EDP)
Dans cette première partie il est question de proposer un classement des équations aux
dérivées partielles de la mécanique des fluides et des conditions aux limites qui vont avec.
Classification :
Considérons la forme générale d’une Equation aux Dérivées Partielles (EDP) de second ordre
suivant les deux variables indépendantes (x et y) :
2 2 2  
A  B C  D E  FG  0 (1)
x2 xy y2 x y
Une classification assez simple de cette équation peut être faite sur la base des coefficients
associés aux dérivées d’ordre le plus élevé A, B et C. On calcule le déterminant définit par :

  B2 4AC
L’équation est dite de type
 elliptique si   0,
 parabolique si   0,
 hyperbolique si   0.

Dans le cas d’un système d’EDP, il faut écrire l’équation caractéristique du système pour
trouver sa nature. La marche à suivre est illustrée par l’exemple suivant :

U U V V
A B C  D  E (2)
1 x 1 y 1 x 1 y 1
U U V V
A  B C  D  E (3)
2 x 2 y 2 x 2 y 2
on écrit les déplacement :

U U
dU  dx dy (4)
x y
V V
dV  dx dy (5)
x y

Les équations précédentes s’écrivent sous la forme compacte suivante :

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A B C D  U  E 
1 1 1 1 1
     
x
     
A2 B2 C2 D2 U E2 
  y  
       (6)
dx dy 0 0 V dU
     
  x  
 0 0 dx dy V  dV
     
  y  

Le déterminant :

AC  AC dy2 AD  A D  BC B C dxdyBD B D dx2  0 (7)
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
dy
On divise l’équation précédente pardx2, et on définit f ' 
dx
a f '2 b f' c  0 (8)
  b2 4ac (9)
L’équation est dite de type elliptique si  0, elle est parabolique si  0, et hyperbolique
si  0.

Une des utilités de cette classification est de prévoir le comportement de l’équation vis à vis
des conditions aux limites. Si nous imaginons un écoulement de fluide de gauche vers la
droite, une perturbation en un point donné n’a pas d’influence amont si l’équation est de
type parabolique. Si par contre l’équation est de type elliptique une perturbation
quelconque en un point quelconque aura une influence dans toutes les directions de
l’espace. Une conséquence directe de cette caractéristique est qu’un problème de type
parabolique peut être résolu par une marche avant, alors qu’une équation de type elliptique
nécessite la prise en considération des conditions aux limites imposées sur toutes les
frontières du domaine de calcul.

Par exemple :
2 2
L’équation de Laplace   0 elliptique
x2 y2
 2
L’équation de diffusion   0 parabolique
t x2
2 2
L’équation   0 hyperbolique
x2 y2

L’EDP de nature parabolique :

C’est le cas d’un problème de propagation associé à un mécanisme de dissipation tel que la
conduction thermique non stationnaire.

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 2
 
L’équation  liée aux conditions initiales : sinx et aux conditions aux
t x2
limites :0,t1,t0 accepte la solution exacte suivante x,tsinxexp2t

C’est une équation linéaire d’ordre 2, parabolique par rapport à la variable du temps t.
La propagation en avant dans le temps et la diffusion dans l’espace, font que la solution en
un point P peut influencer n’importe qu’elle point pourt  t . Cependant les points se situant
i
dans la zone t  t ne sont pas influencés par la solution au point P. En d’autres termes on
i
dira que le passé influe sur le futur alors que l’inverse n’est pas vrai.

La dissipation dans l’espace, fait que même si la distribution initiale pour t  0est
discontinue, la solution devient continue pour t  0.

L’EDP de nature elliptique :

Cette catégorie d’EDP est associée aux problèmes de nature stationnaire ou d’équilibre tels
que l’écoulement stationnaire d’un fluide visqueux, la répartition stationnaire du champ de
température ou la distribution d’un potentiel.

2 2
L’équation de Laplace du type   0, associée aux conditions aux limites suivantes
x2 y2
             
 x,0  sin x ,  x,1 sinx exp  et  0,y 1,y  0 accepte la solution exacte
     
suivante : x,y sin x exp y

La principale caractéristique de ce type d’équation elliptique est qu’une perturbation
introduite en un point quelconque à l’intérieur du domaine de calcul influe sur la totalité du
domaine. Ceci implique que pour résoudre un problème de type elliptique il est impératif de
poser les conditions aux limites sur toutes les frontières du domaine. Ici aussi une
discontinuité dans les conditions aux limites est rapidement effacer (lisser) à l’intérieur du
domaine de calcul.

L’EDP de nature hyperbolique :

Cette catégorie d’EDP peut être considérée comme extension des équations elliptiques pour
lesquels certaines valeurs critiques des paramètres doivent être déterminées en même
temps que la distribution d’équilibre correspondante. La résonance de circuit électrique ou
d’enceintes acoustiques ainsi que la détermination des fréquences propres des structures
élastiques constituent des exemples de ce type d’équations.
2 2
L’équation de propagation d’une onde suivante  représente un très bon exemple
t2 x2
pour l’équation de type hyperbolique. Cette équation associée aux conditions initiales
         
 x,0 sin x ,  t x,0 0 et aux conditions aux limites 0,t 1,t 0accepte la
     
solution suivante :  x,t sin x cost

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Enfin, la figure 1 représente schématiquement l’influence d’une perturbation au point P sur
l’ensemble du domaine de calcul pour les trois types d’équations.

Figure 1 : Nature des équations et conditions aux limites,
(a) Hyperbolique, (b) Parabolique et (c) Elliptique.

Les conditions aux limites

Soit un problème définit dans un domaine R, limité par la frontièreR. Les conditions aux
limites peuvent être de trois natures :

Dirichlet : Dans ce type de conditions la valeur de la variable dépendante est imposée sur la
frontière du domaine de calcul
 f sur R (10)
Newman : La variable dépendante n’est pas connue sur la frontière mais sa dérivée est bien
définit
 
 f ou q sur R (11)
n s
Mixte : Une combinaison linéaire des deux premières conditions est imposée sur la frontière

k f, k 0 sur R (12)
n

Un problème de transfert de chaleur ou d’écoulement est dit bien posé si en résolvant les
équations du problème liées aux conditions aux limites et initiales

 La solution numérique existe.
 La solution numérique est unique.
 La solution numérique dépend de façon continue de la variation des conditions
aux limites.

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PRESENTATION DE LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES
TAYLOR BROOK (1685-1731)

Sir Brook Taylor est un homme de sciences anglais, né le 18 août 1685 à Edmonton
(Angleterre). Il est mort à l’âge de 46 ans, le 29 décembre 1731 à Londres. Son
domaine d’intérêt inclus les mathématiques, la musique, la peinture et la philosophie.
Son amour pour les mathématiques, lui a été transmis par ces professeurs John
Machin et John Keill. Il compléta ses études à l'université de Cambridge et devint
célèbre pour ses contributions au développement du calcul infinitésimal.
Le 3 avril 1712 (à l’âge de 27 ans), Taylor fut admis à la Royal Society de Londres
(l'équivalent de l'Académie des sciences de Paris), non sur la base de ces publications
scientifiques mais sur recommandation et expertise de Machin, Keill et autres.
Environ deux années après il fut élu secrétaire de la Royal Society, et il y resta du 14
janvier 1714 au 21 octobre 1718, lorsqu'il dut se résigner pour raisons de santé d'une
part, d'autre part par manque de motivation. La période où il fut secrétaire de la Royal
Society de Londres fut celle de sa vie où il fut le plus productif en mathématiques. Il publia deux ouvrages en 1715, qui sont
extrêmement important pour l'histoire des mathématiques.
Dans son ouvrage, Methodus incrementorum directa et inversa, Taylor ajouta aux mathématiques supérieures une nouvelle
branche appelée ‘calcul de différences finies’, inventa l'intégration par parties, et découvrit les séries appelées
‘développement de Taylor’.
En fait, la première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd'hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce
dernier écrivit à Machin le 26 juillet 1712. L'importance du théorème de Taylor ne fut pas perçue avant 1772 quand
Lagrange proclama que c'était le principe de base du calcul différentiel. Le terme ‘série de Taylor’ semble avoir été utilisé
pour la première fois par L'Huilier en 1786.
Taylor présenta aussi les principes de base de la perspective dans Linear Prospect (1715). La seconde édition fut appelée
New principles of linear perspective.
Enfin, Taylor fit de nombreux séjours en France. C'était d'une part suite à des problèmes de santé et d'autre part pour
garder le contact avec ces amis mathématiciens.
Actuellement, la pierre angulaire de la méthode des différences finies n’est autre que le développement des séries de

Taylor. (Wikipédia Encyclopédie)

La méthode des différences finies : Cette méthode est basée sur la technique du
développement en séries de Taylor qui permet d’approximer la valeur d’une fonction en un
point donné si on connaît la valeur de la dite fonction ainsi que toute ces dérivées en un
point voisin en espace ou en temps. Cette technique permet de développer des schémas
pour remplacer les dérivées premières et secondes des EDP pour pouvoir envisager une
solution numérique par calculateur.
Pour obtenir une solution numérique il faut tout d’abord définir un domaine numérique
constitué par un ensemble de points discrets appelé grille de calcul. Les valeurs instantanées
et locales des variables dépendantes du problème sont définit sur l’ensemble des points de
la grille de calcul. La différence entre cette vue numérique à travers un certain nombre de
points et la distribution continue exacte représente l’erreur commise par la méthode
numérique. Il est tout à fait logique de penser que plus le nombre de points est important
plus la visualisation est claire, un peu comme les pixels d’une photo numérique. La Figure 1
représente des exemples de grilles de calcul.

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Figure 1. Exemples de grilles de calcul

L’étape suivante consiste à approximer ou remplacer toutes les dérivées partielles par des
schémas discrets (différence finies). L’EDP sera transformée en équation algébrique. Cette
équation algébrique est ensuite appliquée sur l’ensemble des nœuds de la grille de calcul. Le
résultat sera un système d’équation comportant autant d’équations que d’inconnues
(nœuds). Ce système sera ensuite résolu par une méthode appropriée. Le résultat sera une
distribution discrète de la solution sur l’ensemble des points du domaine de calcul.

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