Méthodes classiques de physique théorique : cours et problèmes résolus

456 Pages·2014·15.927 MB·French

by  Kerner, Richard

Richard Kerner
Méthodes classiques
de physique théorique
Cours et problèmes résolus
Méthodes classiques de
physique théorique
Cours et problèmes résolus
Richard Kerner
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
[email protected]
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ISBN 978-2-3400-0006-3
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2014
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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Je dédie ce livre à mes collaborateurs et complices :
Claire Bousquet, Christian Carimalo et Philippe Sindzingre
Préface
Les mathématiques jouent un rôle important dans de nombreuses disci­
plines. Dans la plupart des sciences de la nature, leur rôle est essentielle­
ment instrumental et se réduit souvent à n’être qu’un simple outil au ser­
vice d’une modélisation des phénomènes. En physique elles ont un rôle fort
différent. Le statut privilégié de la physique provient de ce que les lois et
les concepts peuvent être formulés dans un langage mathématique précis. Les
mathématiques servent de principe organisateur et de cadre aux théories phy­
siques et en retour ces dernières sont souvent une source d’inspiration pour
les mathématiciens. De ce fait la physique et les mathématiques entretiennent
des liens très étroits.
L’enseignement universitaire ne met que très rarement en relief les liens
qui existent entre ces deux disciplines. Ceci est d’autant plus regrettable que
ces liens n’ont cessé de s’approfondir au cours des dernières décennies, révélant
ainsi l’unité profonde du processus de création scientifique. De ce point de vue
l’ouvrage de Richard Kerner Méthodes classiques de physique théorique ar­
rive fort à propos. Ce n’est pas un nouvel ouvrage de mathématiques pour
la physique - il en existe d’excellents - mais un ouvrage d’initiation à la
physique théorique dont l’ambition est de faire découvrir aux élèves de li­
cence certains aspects de sa démarche et de ses méthodes. Nourri par une
longue expérience de recherche et d’enseignement, l’ouvrage met l’accent sur
les méthodes géométriques en physique. C’est là un choix tout à fait judi­
cieux car les approches géométriques imprègnent toutes les grandes théories
physiques actuelles.
L’auteur part de la mécanique classique en exposant de façon claire et pro­
gressive ses différentes formulations : formulation newtonienne, lagrangienne et
hamiltonienne. Le chapitre consacré aux principes variationnels fait ressortir
la puissance de cette approche et son caractère universel. Il montre comment
le calcul variationnel trouve aussi des applications remarquables en optique et
dans l’étude des mouvements géodésiques.
L’auteur quitte ensuite la mécanique classique pour aborder son terrain
de prédilection qui est la géométrie différentielle et la théorie des groupes. Le
11 PREFACE
lecteur pourra se familiariser avec la notion de tenseur qui est omniprésente en
théorie classique des champs et aussi découvrir quelques éléments de géométrie
différentielle en partant de la géométrie des surfaces plongées. La notion de
dérivée de Lie exposée d’une façon particulièrement claire et concise est illustrée
sur plusieurs exemples. Tous ces outils ne seront pas assimilés en vain : ils
préparent le lecteur curieux à se plonger dans la relativité générale, théorie
géométrique par excellence. De la géométrie différentielle des surfaces plongées
à la relativité générale il n’y a qu’un pas qu’un étudiant motivé pourra franchir
aisément.
Un autre thème central de la physique théorique moderne est la théorie
des groupes. Après avoir donné un aperçu de quelques groupes finis qui in­
terviennent en cristallographie, l’auteur introduit la notion de groupe de Lie.
Ces objets, dotés d’une structure de groupe et de variété différentiable, per­
mettent de décrire de façon précise comment agissent les symétries. L’étude
des invariants d’un groupe de transformation combinée avec l’idée du principe
d’inertie débouche sur la classification des différentes cinématiques, relativistes
et galiléennes. Bien que l’auteur n’aborde pas la physique quantique, le lec­
teur pourra trouver ici et là des indications sur le rôle joué par la théorie des
représentations.
Dans un texte écrit dans un style clair, direct et expurgé de tout forma­
lisme inutile, l’auteur fait partager au lecteur son intérêt pour les approches
géométriques. Chaque chapitre est accompagné d’une série d’exercices corrigés
permettant de vérifier que les concepts ont bien été assimilés. Ce livre original
qui n’a pas d’équivalent en langue française est à recommander chaleureuse­
ment aux élèves de L3 et de Ml intéressés par la physique fondamentale.
Alain Comtet
Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie
Avant-propos
Dans le cursus obligatoire de L2 et L3 de physique, les mathématiques
occupent la place qui leur est due ; néanmoins le contenu standard laisse des
chapitres entiers totalement inexplorés. Depuis l’introduction de l’enseigne­
ment de l’informatique et de nombreux cours de programmation sur ordina­
teur, l’enseignement obligatoire en mathématique a du être allégé. Presque
tous les cours annuels sont devenus semestriels. Suite à ces bouleversements,
les étudiants souhaitant continuer les études de physique, surtout en physique
théorique et fondamentale, ont été dépourvus d’outils mathématiques indis­
pensables à une bonne assimilation de la relativité, la mécanique quantique ou
la théorie des champs, classiques et quantiques.
On peut dire sans exagération que la physique en particulier et la science
moderne en général prend ses sources dans la mécanique. Ce sont les problèmes
de statique et d’équilibre qui ont incité les compagnons maçons, puis archi­
tectes, à étudier les rapports entre la géométrie et les forces agissant sur
les objets matériels ; les rapports entre les forces et mouvements des objets
sont restés plus obscurs jusqu’à l’avènement de la science moderne dont les
méthodes ont été forgées par Galileo Galilei. Parallèlement, le développement
de l’astronomie et l’introduction du système héliocentrique de Copernic ont
conduit Kepler à l’énoncé de ses trois lois de mouvement des planètes. Et ce
fut au tour d’Isaac Newton de comprendre la loi de la gravitation universelle
et de transformer la mécanique et la physique en véritables sciences modernes.
Mais la mécanique n’a pu se développer sans outils mathématiques permet­
tant une description détaillée et adéquate des positions, mouvements et tra­
jectoires de corps matériels. La mécanique céleste a énormément influencé le
développement de la géométrie en deux et trois dimensions. Les calculs de plus
en plus précis ont demandé l’introduction de méthodes mathématiques permet­
tant de traiter de situations de plus en plus compliquées. Les problèmes liés aux
mouvements contraints sur les surfaces de forme arbitraire, ainsi que l’élasticité
et déformation des corps étendus ont créé le besoin d’outils géométriques
plus sophistiqués connus depuis sous le nom de la géométrie différentielle.
IV AVANT-PROPOS
Les prémices de cette nouvelle branche des mathématiques ont été intro­
duits par la cartographie et la géodésie; les premiers travaux généralisant
de manière exacte la géométrie des surfaces arbitraires ont été le mérite du
grand mathématicien allemand C.F. Gauss.
En même temps, les mathématiciens et les physiciens trouvaient une nou­
velle expression de plusieurs lois de la nature, qui avaient pour trait commun
la propriété de rendre un des paramètres essentiels du problème minimal ou
maximal. On a découvert que les positions d’équilibre d’un système mécanique
correspondaient à un minimum du potentiel. Grâce au principe de d’Alem­
bert généralisé aux mouvements arbitraires, y compris les mouvements avec
contraintes, on a pu étendre ce principe de minimum aux systèmes dyna­
miques en mouvement. Ces travaux ont conduit à l’apparition d’une nouvelle
technique, appelée calcul variationnel.
Parallèlement, une nouvelle branche des mathématiques s’est développée :
le calcul tensoriel. L’utilisation des coordonnées curvilignes et des repères lo­
caux non-cartésiens a créé le besoin de pouvoir décrire les phénomènes phy­
siques de manière commune indépendante de coordonnées choisies. Heureuse­
ment, la nouvelle formulation de la mécanique introduite par J.L. Lagrange a
pu servir d’exemple : les équations d’Euler et de Lagrange gardent leur forme
quelque soit le choix des coordonnées. Cela s’appelle la covariance, et le cal­
cul tensoriel en est l’expression, car il permet de formuler les équations et
de les transformer d’un système des coordonnées à un autre tout en gardant
leur forme. Cette approche a permis une meilleure compréhension du rôle
des transformations de Galilée, puis de Lorentz, et finalement, l’avénement
de la Relativité Générale d’Einstein. Dans cette dernière théorie, confirmée
par de nouvelles observations et expériences de plus en plus fines, les forces
de gravitation sont traitées de la même manière que les forces d’inertie, et
tout mouvement sous l’effet de ces forces suit une ligne géodésique dans une
géométrie non-Euclidienne. La déformation de l’espace (et du temps) est alors
due à la présence des corps massifs.
L’approche lagrangienne n’a pas eue le dernier mot en mécanique analy­
tique. En remplaçant les vitésses généralisées par les impulsions généralisées,
le mathématicien Irlandais W.R. Hamilton a reformulé le principe variation­
nel de Lagrange en introduisant l’espace des phases (coordonnées généralisées
-f- impulsions généralisées), et par conséquent, remplacer N équations de La­
grange de second ordre par 2N équations de premier ordre, plus facilement
intégrables. Ces équations portent le nom de Hamilton ; on les appelle quel­
quefois les équations canoniques de Hamilton. Elles restent invariantes sous
l’effet des transformations canoniques, mélangeant les coordonnées et impul­
sions généralisées.
Les équations de Lagrange et de Hamilton pouvant être formulées dans
AVANT-PROPOS
n’importe quel système de coordonnées curvilignes, ont stimulé l’intérêt pour
la géométrie différentielle. Cette branche des mathématiques a été développée
tout d’abord en Allemagne par K.F. Gauss, puis par son élève B. Riemann,
et parallèlement par N. Lobatchevski en Russie. Gauss a élaboré les méthodes
permettant d’évaluer les aires des surfaces ayant une forme arbitraire, et
de calculer les flux de divers champs vectoriels à travers les surfaces ou­
vertes ou fermées. Riemann et Lobatchevski ont introduit les géométries non-
euclidiennes, reproduisant les relations géométriques caractéristiques pour une
sphère ou un hyperboloide. Mais l’essor principal de la géométrie différentielle
est dû à l’introduction du calcul tensoriel par l’école italienne représentée par
les mathématiciens Ricci et Levi-Cività, et des formes extérieures dues à Grass-
mann en Allemagne et Elle Cartan en France.
L’étude des transformations de coordonnées a conduit le mathématicien
norvégien S. Lie à une analyse approfondie des groupes de transformation.
En introduisant la notion d’un groupe continu (appelé désormais groupe de
Lie, il a créé un outil remarquable permettant de décrire le rôle des symétries
en physique. Cette théorie est fondamentale pour la description des interac­
tions entre champs et particules élémentaires. On peut dire sans exagération
que les symétries des interactions fondamentales impriment leur marque sur
les propriétés de covariance des équations régissant le comportement de corps
macroscopiques et qu’en fin de compte, ce sont ces symétries que l’on retrouve
ensuite sous la forme du groupe de Lorentz permettant de lier les valeurs du
champ électromagnétique mesurées par des observateurs galiléens distincts.
Les représentations des groupes à l’aide de matrices ont permis de comprendre
la nature de certains champs qui se transforment de manière très particulière :
les spineurs. Ces derniers sont nécessaires pour décrire les propriétés physiques
des particules élémentaires telles que l’électron, le proton ou le neutron, ap­
pelées aussi les fermions.
Les équations différentielles étudiées en physique sont souvent non-linéaires.
Il n’existe pas de méthode universelle pour traiter les systèmes d’équations
non-linéaires ; ce que nous pouvons faire, c’est de trouver des méthodes d’ap­
proximation, à commencer par l’approximation linéaire, et de les affiner par
la suite. Une autre possibilité d’aborder les problèmes non-linéaires consiste
en l’analyse qualitative des solutions. Les méthodes géométriques remplacent
alors les méthodes analytiques. Les isoclines, courbes sur lesquelles la dérivée
a la même valeur, permettent d’établir le portrait de phase d’un système
différentiel, dans le plan de la variable x et de sa dérivée y = x. Les courbes
fermées dans l’espace des phases (x,y) représentent alors les mouvements
périodiques du système. Cette approche a été développée par H. Poincaré,
B. Van der Pol et N.N. Bogolyubov. Une classe importante d’équations non-
linéaires décrivant la dynamique des populations, mais utilisées aussi en phy­
VI AVANT-PROPOS
sique et en chimie, a été introduite par V. Volterra. Les problèmes non-linéaires
et les méthodes d’approximation ainsi que l’analyse qualitative sont l’objet du
dernier chapitre de ce livre.
Quelques mots à propos de notations utilisées dans ce livre : les vecteurs
euclidiens en trois dimensions sont représentés par des caractères gras. Les
exemples les plus importants sont précédés d’un signe spécial, un trèfle ou un
pique. Des problèmes sont proposés en fln de chaque chapitre, les solutions
se trouvent groupées en fln du livre. Certaines questions, ainsi que quelques
problèmes, sont marqués par une étoile; leur solution est laissée au lecteur.
Avant de les consulter les solutions, essayez de résoudre les problèmes proposés
sans aide, et vériflez ensuite les résultats obtenus.
Dans notre exposition, nous avons essayé de ne laisser aucune afliirmation,
aucun théorème sans exemple concret illustrant le procédé. Car selon l’adage
latin, “Verba docent, exempla trahunt”, ce qui veut dire en français, “Les mots
enseignent, les exemples entraînent”
Remerciements
Ce livre est basé sur les polycopiés des cours dispensés à l’Université Pierre et
Marie Curie pendant les années 2002-2012, pour les étudiants de la deuxième
et troisième année de Licence de Physique. Le cours de L2 était consacré à
la mécanique analytique, y compris les méthodes lagrangiennes et hamilto­
niennes ; le cours de L3 s’adressait aux étudiants souhaitant continuer leurs
études dans les domaines plutôt théoriques, nécessitant une connaissance ap­
profondie des méthodes mathématiques.
Les deux cours ont été accompagnés de travaux dirigés, dispensés par mon
collaborateur et complice Christian Carimalo, Maître de Conférences à l’Uni­
versité Pierre et Marie Curie. Le présent livre lui doit beaucoup, car il a conçu
plusieurs problèmes originaux qui apparaissent en fln de chaque chapitre. Il
a également produit plusieurs flgures et dessins. Son aide constante et ses
conseils m’ont permis d’en améliorer tant la présentation que le contenu. C’est
donc en premier lieu que je lui adresse ma gratitude et les remerciements les
plus sincères.
Je remercie mon collègue et ami Alain Comtet d’avoir attentivement lu
le manuscrit et y apporter pluseurs corrections et suggestions qui ont permis
d’en améliorer la qualité d’exposition.
Je remercie aussi Oscar Laurent pour son aide précieuse dans la relecture
et la compilation du manuscrit.