Methoden der Unternehmensforschung im Versicherungswesen

272 Pages·1966·7.804 MB·German

by  Karl-H. Wolff (auth.)

Okonometrie
und Unternehmensforschung
Econometrics
and Operations Research
IV
Herausgegeben von J Edited by
M. Beckmann, Bonn' R. Henn, Gottingen . A. Jaeger, Cincinnati
W. Kreile, Bonn . H. P. Kunzi, Zurich
K. Wenke, Ludwigshafen . Ph. Wolfe, Santa Monica (Cal.)
C;escha~ts~uhrende HerausgeberJ j}(anaging Editors
W. Krelle . H. P. Kunzi
Methoden
der Unternehmensforschung
im Versicherungswesen
Karl-H. Wolff
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1966
AIle Rechte, insbesondere das de1' Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalteo. Qhne ausdriickliche Genehrnigung
des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie,
Mikrokopie) zu vervielfaltigen
© by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1966
Sof'tcover reprint of the hardcover 1s t edition 1966
Library of Congress Catalog Card Number 66·15945
ISBN·13: 978-3-642·87481·9 e-ISBN-13: 978-3-642-87480·2
001: 10.1007/978-3·642·87480-2
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TltcI-Nr. 6479
Vorwort
Die Methoden der Unternehmensforschung haben kurz nach dem
Aufkommen dieses Wissenschaftszweiges in die verschiedensten Bereiche
der technischen Wissenschaften und der Wirtschaftswissenschaften Ein
gang gefunden. VerhaltnismaBig spat und zogernd nur hat sich das
Versicherungswesen dieser Methoden bedient. Das vorliegende Buch
gibt in sechs Abschnitten einen Dberblick uber die Anwendung von
Methoden der Unternehmensforschung im Versicherungswesen. Der
Stoff wurde einmal im Hinblick auf die verwendeten Methoden ausge
wahlt, wobei vor aHem die Spieltheorie, die Methode der linearen Pro
gramme und die Monte Carlo-Methode Verwendung £lnden und zum
anderen im Hinblick auf die Problemstellungen aus dem Gebiete des
Versicherungswesens, wobei Fragen der optimalen Entscheidungen im
Vo rdergrund stehen.
Die Gliederung des Stoffes richtet sich nach den behandelten Sach
gebieten des Versicherungswesens. Untersuchungen uber Versicherungs
grundlagen, wie Sterbetafel und ZinsfuB, werden zusammen mit der
Ermittlung von Versicherungswerten im ersten Abschnitt behandelt.
Del' zweite Abschnitt ist den verschiedenen Methoden del' Reserve
schatzunggewidmet und del' dritte Abschnitt befaBt sich mit del' Frage
del' optimalen Investitionen del' Rucklagen. Die im vierten Abschnitt
angestellten Untersuchungen uber die optimale Ruckversicherung werden
im fiinften Abschnitt so verallgemeinert, daB es moglich wird, einen
Begriff des optimalen Finanzplanes einzufiihren. SchlieBlich behandelt
del' sechste Abschnitt als Anhang mehrere einzelne Probleme, die sich
keinem del' vorhergegangenen Abschnitte zuordnen lassen, deren Um
fang auch nicht die Behandlung in einem eigenen Abschnitt gestattet,
die abel' doch sachlich dem hier behandelten Problemkreis zugeordnet
werden konnen.
Die Abhandlungen beruhen auf den Arbeiten einer Vielzahl von
Autoren, doch seien insbesondere die Arbeiten'von D. BIERLEIN und
P. NOLFI uber die optimale Sterbetafel, von U. BAUMGARTNER und M.
FRISCHKNECHT uber die Abschatzung von Reserven, von S. BENJAMIN
uber optimale Investitionen und von K. BORCH uber die optimale Ruck
versicherung hervorgehoben. Manches in del' vorliegenden Darstellung
ist gegenuber den Originalarbeiten gekurzt, manches wieder erweitert
odeI' erganzt, und zwar insbesondere die Untersuchungen in den Ab
schnitten IV und V.
VI Vorwort
Zum Verstandnis der Darstellungen wird aus dem Gebiete des Ver
sicherungswesens nur die Kenntnis der einfachsten Grundlagen voraus
gesetzt_ Weiter werden die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeits
rechnung und die Anfangsgriinde der mathematischen Statistik als be
kannt angenommen. Zur Vereinfachung der Darstellung wird vielfach
b
eine Lebesgue-Integral der Gestalt S g(x)dF(x) verwendet, wobei F(x)
a
eine linksseitig stetige Verteilungsfunktion ist. Fiir den Ausdruck lim
+ + E~O
F(x e) wird F(x 0) geschrieben. Die Streuung einer zufalligen Varia-
vaz
bIen wird im allgemeinen mit dem Symbol a2 bzw. beschrieben,
wobei die Abhangigkeit von einer bestimmten Verteilungsfunktion F(x)
mitunter durch die Bezeichnung a2(F) zum Ausdruck gebracht wird.
SchlieBlich finden Symbole O(e) und 0(8) Verwendung, wobei O(e)
durch die Eigenschaft lim ~ 0(8) < 0 und 0(8) durch die Eigenschaft lim
~B ~
1
- o(e) = 0 erklart ist.
B
Fiir die liebenswiirdige Hilfsbereitschaft bei der Beschaffung der
notwendigen Literatur bin ich besonders den Herren Dr. P. M. KAHN,
New York, Prof. Dr. K. BORCH, Bergen, und Prof. Dr. A. JAEGER, Cin
cinnati, zu Dank verpflichtet. Ebenso danke ich Herrn Prof. Dr. A.
ALDER, Vorstand des Institutes fiir Versicherungslehre und mathemati
sche Statistik der Universitat Bern, und Herrn Prof. Dr. S. SAGOROFF,
Vorstand des Institutes fur Statistik an der Universitat Wien, fUr die
Bereitstellung von Literatur. Den Herausgebern, Herrn Prof. Dr. W.
KRELLE, Bonn, und Herrn Prof. Dr. H. P. KUNZI, Zurich, sowie dem
Springer-Verlag mochte ich meinen besonderen Dank fUr die gute Zu
sammenarbeit aussprechen.
Das vorliegende Buch ist der erste Versuch einer geschlossenen Dar
stellung des behandelten Sachgebietes. Es liegt im Wesen eines solchen
Versuches, daB die Auswahl der Themen nicht frei von subjektiven
Erwagungen bleiben konnte. Bei der Beantwortung der Frage nach der
optimalen Auswahl konnte ich mich keiner dem Problem angemessenen
Entscheidungsfunktion bedienen. lch werde fUr jede Kritik und jede
Anregung, die einer Verbesserung der Darstellungen dienen, stets
dankbar sein.
Wien, im Juni 1965 KARL-H. WOLFF
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . .................. . v
Erster Abschnitt: Die Ermittlung von Rechnungsgrundlagen
und Versicherungswerten
Kapitel1. Die Sterbetafel. . . . . . . . . . . . . 1
Kapitel 2. Die t!bersterblichkeit . . . . . . . . . . 15
Kapitel 3. Die Abschatzung von Versicherungswerten 24
Zweiter Abschnitt: Die Abschiitzung von Reserven
Kapitel1. Die Methode der linearen Programme 44
Kapitel 2. Schranken fUr die Reserve. . . . . 73
Kapitel 3. Reserveschatzungen mittels Hilfszahlen 88
Kapitel 4. Optimale Schatzmethoden fiir die Reserve 113
Dritter Abschnitt: Zinsfu(3 und Bonus
Kapitel1. Zinsen und Investitionen 122
Kapitel 2. Optimaler Finanzplan 135
Kapitel3. Bonus-und Solvenzbewertung 145
Vierter Abschnitt: Unternehmens/orschung in der Ruckversicherung
Kapitel1. Spieltheorie und Riickversicherung 152
Kapitel2. Das Mall des Nutzens ........... . 156
Kapitel 3. Der Riickversicherungsmarkt .... . . . . 165
Kapitel 4. Riickversicherung zwischen zwei Gesellschaften 172
Kapitel 5. Aligemeinere Nutzenfunktionen ...... . 187
Kapitel 6. Riickversicherungsvertrage zwischen n Gesellschaften 201
Fun/ter Abschnitt: Kollektive Risikotheorie und optimaler Nutzen
Kapitel1. Verallgemeinerung der Nutzenfunktion ... 214
Kapitel2. Der Versicherungsverlauf als zufalliger Prozen 217
Kapitel 3. Die Ruinwahrscheinlichkeit . . . . . . . 221
Kapitel 4. Die Dividendenzahlung als zufalliger Prozen 231
Kapitel 5. Der Nutzen eines Versicherungsverlaufes 237
Sechster Abschnitt: Anhang
Kapitel1. Die Abschatzung unberichtigter Versicherungsleistungen 241
Kapitel2. Optimale Erfahrungstarifierung 247
Kapitel 3. Richtlinien fiir die Vertretertatigkeit 251
Literaturverzeichnis. . . . . 260
N amen- und Sachverzeichnis . 264
I. Die Ermittlung von Rechnungsgrundlagen
und Versicherungswerten
1. Die Sterbetafel
1.1 Einer der wichtigsten Arbeitsbehelfe fiir den Versicherungsmathe
matiker in der Lebensversicherung ist die Sterbetafel. Angefangen von
den einfachsten Pramienberechnungen bis zur vollstandigen versiche
rungstechnischen Bilanz beruhen die meisten Untersuchungen in der
Lebensversicherung auf den Erlebens-und Ablebenswahrscheinlichkeiten,
wie sie in der Sterbetafel zusammengefaBt sind. Bei den Sterbewahr
scheinlichkeiten aus der Sterbetafel handelt es sich urn die Erwartungs
werte zufalliger GroBen. Die Zahl der tatsachlichen Sterbefalle aus einer
Personengesamtheit wird nicht genau mit der durch die Sterbetafel vor
ausgesetzten Zahl der Sterbefalle iibereinstimmen, sondern dem Verhal
ten einer zufalligen GroBe entsprechend mehr oder weniger stark ab
weichen. Die Moglichkeit einer solchen Abweichung zu beriicksichtigen
ist Aufgabe der Risikotheorie.
Die Ursache einer Abweichung der tatsachlichen Ergebnisse von den
auf Grund der Sterbetafel errechneten Ergebnissen muB aber nicht allein
in den zufalligen Schwankungenliegen, denen eine zufallige Variable unter
worfen ist. Es ist vielmehr zu erwarten, daB die Sterbewahrscheinlich
keiten aus der Sterbetafel selbst die "wahren" Erwartungswerte der
Sterbehaufigkeiten nicht vollig genau wiedergeben. Wiirde es sich bei den
Sterbewahrscheinlichkeiten urn Naturkonstanten handeln, die zeitlich
unverandert sind, dann hatte die Vielzahl der Beobaehtungen, die groBe
Menge des vorliegenden Untersuehungsmaterials bei weitem ausgereicht,
diese Naturkonstanten mit einer Genauigkeit zu ermitteln, die allen prak
tisehen Erfordernissen gereeht wird. Tatsaehlieh aber sind die Sterbe
wahrscheinliehkeiten einer zeitliehen Veranderung unterworfen. Da die
Aufstellung einer Sterbetafel, von der Erhebung des Urmaterials ange
fangen bis zur Fertigstellung, eine gewisse Zeit in Ansprueh ninunt, sind
praktiseh aIle Sterbetafeln im Zeitpunkt ihrer Fertigstellung bereits ii.ber
holt. Die Sterbewahrseheinlichkeiten haben sieh in der seit der Erhebung
verfiossenen Zeit wieder geandert.
Die Anderungen der Sterbewahrseheinliehkeiten gehen nun keines
wegs so rasch vor sieh, daB die Verwendbarkeit von Sterbetafeln tiber
kurze Zeitraume allgemein in Zweifel gezogen werden mtiBte. fiber langere
Zeitraume aber, etwa tiber mehrere Dezennien, muB mit starkeren Ab
weiehungen gerechnet werden. Vergleicht man zwei Volkssterbetafeln,
Wolff, Unternehmensforschung irn Versicherungswescn 1
2 Die Ermittlung von Rechnungsgrundlagen
die auf Grund von Volkszahlungen im zeitlichen Abstand von zehn J ahren
ermittelt wurden, dann ergeben sich bereits betrachtliche Unterschiede
und die auf Grund der beiden verschiedenen Sterbetafeln errechneten
Versicherungswerte weichen zum Teil erheblich voneinander abo Will der
Versicherungsmathematiker mit seinen Berechnungen den tatsachlichen
Verhaltnissen nahekommen, dann muB er auch die zeitlichen Anderungen
der Sterbewahrscheinlichkeiten in Betracht ziehen und versuchen, diese
Anderungen abzuschatzen.
Bei einer solchen Schatzung muB sich der Versicherungsmathematiker
entscheiden, welche Annahmen iiber den zukiinftigen Verlauf getroffen
werden sollen. Die Wahl dieser Annahmen beeinfluBt nicht unwesentlich
den zukiinftigen Geschaftsverlauf der Versicherungsgesellschaft. Rechnet
der Versicherungsmathematiker mit niedrigeren Sterbewahrscheinlich
keiten, als sie in der Zukunft tatsachIich eintreten, dann werden die
Zahlungen der Gesellschaft der haufigeren Todesfalle wegen bei Todesfall
versicherungen hoher sein als angenommen. Die Gesellschaft erleidet also
gegeniiber der geplanten Gebarungsentwicklung einen Verlust. Rechnet
der Versicherungsmathematiker mit iiberhohten Sterbewahrscheinlich
keiten, dann werden die kostendeckenden Pramien fUr Todesfallversiche
rungen hoher sein als notwendig. Fiir einzelne Versicherungen ist dann
zwar in Zukunft ein UberschuB gegeniiber der geplanten Gebarungsent
wicklung zu erwarten, die iiberhOhten Pramien wirken sich jedoch bereits
beim AbschluB der Versicherungen fUr die Gesellschaft ungiinstig aus.
J e hoher die Pramie angesetzt wird, um so weniger werden die potentiellen
Versicherungsnehmer bereit sein, eine derartige Versicherung abzu
schlieBen. Die hierdurch entstehende GeschaftseinbuBe wird um so groBer
sein, wenn andere Gesellschaften, die fiir ihre Pramienberechnungen keine
iiberhohten Sterbetafeln herangezogen hab en, die gleichen Versicherungen
zu niedrigeren Pramien anbieten. Die Gesellschaft erleidet daher durch
die iiberhohten Pramien voraussichtlich wesentlich groBere Verluste als
sie an Gewinnen bei der geringeren Zahl der mit iiberhohten Pramien
abgeschlossenen Versicherungen erwarten darf.
Die Lage des Versicherungsmathematikers bei der Entscheidung iiber
die zur Pramienberechnung heranzuziehenden Sterbewahrscheinlichkei
ten ist also dadurch gekennzeichnet, daB jedes Abweichen von den tat
sachlich zutreffenden Sterbehaufigkeiten fiir die Gesellschaft einen finan
ziellen Verlust bedeutet. Seine Aufgabe muB darin bestehen, diesen
Verlust so klein wie moglich zu machen. Aufgaben dieser und ahn
licher Art konnen mit den Methodell der Spieltheorie behandelt wer
den.
1..2 Zur Erlauterung der Methoden der Spieltheorie verwenden wir
die Begriffe Zug, Strategie, Ende des Spieles und Auszahlungsfunktion.
Die Sterbetafel 3
Ein Spiel besteht darin, daB die Spieler eine Reihe von Entscheidungen
trefi'en, "Ziige" machen, und zwar so lange, bis das Ende des Spieles er
l'eicht ist. Dann erhalten oder bezahlen die einzelnen Spieler bestimmte
Betrage. Die Rohe dieser Betrage hiingt vom Ergebnis des Spieles und
dieses wiederum von den einzelnen Ziigen abo Die nach dem Ende des
E'pieles zu bezahlenden Betrage sind also eine Funktion der Ziige. Die
Funktion wird als Auszahlungsfunktion bezeichnet. Beispiele fUr Ziige
sind etwa die Ziige im Schachspiel, das Bieten beim Wetten usw. Unter
einer Strategie versteht man eine Regel, nach der die Ziige erfolgen. Das
Ende des Spieles ist zum Beispiel beim Schachspiel das Matt bzw. das
Remis, beim Wetten der Eintritt des del' Wette zugrunde liegenden Er
eignisses. Die Auszahlungsfunktion kann beim Schachspiel etwa durch 0
fUr den Verlust, 1 fUr ein Remis und 2 fiir einen Gewinn festgelegt werden.
Beim Wetten werden die auf Grund der Wette zu zahlenden Betrage als
Auszahlungsfunktion gewahlt.
Ein einfaches Zweipersonenspiel, also ein Spiel, an dem zwei Spieler
beteiligt sind, ist etwa das folgende: J eder der beiden Spieler wahlt eine
der Zahlen 1 oder 2, ohne zuvor von der Wahl des anderen Spielers
Kenntnis zu haben. Haben beide Spieler die gleiche Zahl gewahlt, dann
zahlt Spieler 2 an Spieler 1 den Betrag 1, haben sie verschiedene Zahlen
gewahlt, dann zahlt Spieler 1 an Spieler 2 den Betrag 1. Der von Spieler 2
zu zahlende Betrag, die Auszahlungsfunktion, ist also im ersten Fall
(gleiche Wahl) +1 und im zweiten Fall (ungleiche Wahl) -1. Die Summe
der von beiden Spielern geleisteten Zahlungen ist in beiden Fallen
Null. Man spricht von einem Zweipersonen-Nullsummenspiel. Die von
Spieler 2 zu zahlenden Betrage konnen in Form einer Matrix angeord
net werden:
f
Spieler 2
1 2
g
Spieler 1 ,
+1 -1
-1 +1
Diese Art des Spieles laBt sich leicht etwas verallgemeinern, wenn
angenommen wird, daB der erste Spieler m Moglichkeiten zur Auswahl
eines Zuges hat und der zweite Spieler n Moglichkeiten. Wahlt der erste
Spieler den iten Zug (i = 1, ... , m) und der zweite Spieler den jten Zug
(j = 1, ... , n), dann muB der zweite Spieler an den ersten Spieler den
Betrag aij bezahlen. Die moglichen Ergebnisse des Spieles werden dann
durch die Matrix (aij) beschrieben. Wir betrachten nun ein Spiel mit der
folgenden Matrix:
1*
4 Die Ermittlung von Rechnungsgrundlagen
Spieler 2
Ziige 1 2
1--
Spieler 1
1 -1 -2
2 -2 3
3 1 2
Hier hat Spieler 1 drei Moglichkeiten, Spieler 2 zwei Moglichkeiten zu
ziehen. Wahlt Spieler 2 den Zug 1, dann wird er hochstens 1 bezahlen
miissen (wenn Spieler 1 den Zug 3 wahlt). Wahlt Spieler 2 den Zug 2,
dann kann Spieler 1 den Zug 2 wahlen und Spieler 2 muB 3 bezahlen. Der
beste Zug fUr Spieler 2 ist daher 1 und fUr Spieler 1 Zug 3. Man bezeichnet
diese beiden Ziige als Losung des Spieles und den dabei zu bezahlenden
Betrag 1 als Wert des Spieles.
Allgemeine Richtlinien fUr die Wahl des "besten" Zuges konnen
folgendermaBen aufgestellt werden: Wahlt Spieler 1 den iten Zug, dann
wird Spieler 2 jenen Zug j wahlen, der ihm unter allen in Betracht kom
menden Wert en der Auszahlungsfunktion aij das beste Ergebnis, also den
geringsten Auszahlungsbetrag, sichert. Er wird also den Zug mit
min aij
(1)
wahlen. Da Spieler 1 dieses Verhalten von Spieler 2 voraussetzt, wird er
jenen Zug i Buchen, der ihm dann noch den groBten Auszahlungsbetrag
sichert, also
max min aij.
(i) (1)
Umgekehrt wird Spieler 1 nach der Wahl des Zuges j durch Spieler 2
seinen Gewinn zu maximieren such en und daher zu jedem von Spieler 2
gewahlten Zug j den Zug i mit
max aij
(I)
wahlen. Spieler 2, dem dies bekannt ist, wird daher jenes j mit
min max au
(1) (I)
wahlen. Welcher der beiden FaIle eintritt, hangt also davon ab, wer von
den beiden Spielern zuerst wahlt. 1st nun
max min aij = min max aij , (1.1.1)
(I) (1) (1) (I)
dann sind die zu wahlenden Ziige i und j offenbar unabhangig von der
Reihenfolge der Wahl. Man bezeichnet sie als Losung des Spieles und den
zugehorigen Auszahlungsbetrag aij als Wert des Spieles. Die Losung des
Spieles ist offenbar fUr beide Spieler optimal. 1m vorigen Beispiel war
max min aij = min max aij = a31 = 1 .
(I) (1) (1) (I)