Methoden der Systemtheorie: Die Spektraltransformationen und ihre Anwendungen

236 Pages·1977·6.47 MB·German

by  Dr.-Ing. Hans Marko (auth.)

Nachrich ten technik
Herausgegeben von H. Marko
Band 1
Hans Marko
Methoden
der Systemtheorie
Die Spektraltransformationen
und ihre Anwendungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH 1977
Dr.-Ing. HANS MARKO
o. Professor, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik
Technische Universität München
Mit 87 Abbildungen
ISBN 978-3-540-08106-7 ISBN 978-3-662-08705-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-08705-3
Library of Congress Cataloging in Publication Data. Marko, Hans. Methoden der Systemtheorie. (Nachrichten
technik; Bd. 1) Bibliography: p. Includes index. 1. System analysis. 2. Spectral theory (Mathematics) 3. Transfor
mations (Mathematics) I. Title. II. Series. QA402.M35600377-24024
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©by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1977
Ursprilnglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1977
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2362/3321 5432 I 0
Dem Begründer der Systemtheorie
Herrn Prof. Dr.-Ing. e.h. Karl Küpfmüller
in Verehrung gewidmet
Geleitwort
zur Buchreihe "Nachrichtentechnik"
Die Nachrichten- oder Informationstechnik befindet sich seit vielen Jahrzehnten
in einer stetigen, oft sogar stürmisch verlaufenden Entwicklung, deren Ende nicht
abzusehen ist. Durch die Fortschritte der Technologie wurden ebenso wie durch
die Verbesserung der theoretischen Methoden nicht nur die vorhandenen Anwen
dungsgebiete ausgeweitet und den sich ändernden Erfordernissen angepaßt,
sondern auch neue Anwendungsgebiete erschlossen.
Zu den klassischen Aufgaben der Nachrichtenübertragung und Nachrichten
vermittlung ist die Nachrichtenverarbeitung hinzugekommen, die viele Gebiete
des beruflichen, neuerdings auch des privaten Lebens in zunehmendem Maße
verändert. Die Bedürfnisse und Möglichkeiten der Raumfahrt haben gleicher
maßen neue Perspektiven eröffnet wie die verschiedenen Alternativen zur
Realisierung breitbandiger Kommunikationsnetze. Neben die analoge ist die
digitale Übertragungstechnik, neben die klassische Text-, Sprach- und Bild
übertragung ist die Datenübertragung getreten. Die Nachrichtenvermittlung im
Raumvielfach wurde durch die elektronische zeitmultiplexe Vermittlungstechnik
ergänzt. Sate11iten- und Glasfasertechnik haben zu neuen Übertragungsmedien
geführt. Die Realisierung nachrichtentechnischer Schaltungen und Systeme ist
durch den Einsatz des Elektronenrechners und die digitale Schaltungstechnik
erheblich verbessert und erweitert worden.
Die Buchreihe "Nachrichtentechnik" soll dieser Entwicklung Rechnung tragen
und eine zeitgemäße Darstellung der wichtigsten Themen der Nachrichtentechnik
anbieten. Die einzelnen Bände werden von Fachleuten geschrieben, die auf dem
jeweiligen Gebiet kompetent sind. Jedes Buch soll in ein bestimmtes Teil
gebiet einführen, die wesentlichen heute bekannten Ergebnisse darstellen und
eine Brücke zur weiterführenden Spezialliteratur bilden. Dadurch soll es sowohl
dem Studierenden bei der Einarbeitung in die jeweilige Thematik als auch dem
im Beruf stehenden Ingenieur oder Physiker als Grundlagen- oder Nachschlage
werk dienen. Die einzelnen Bände sind in sich abgeschlossen, ergänzen einander
jedoch innerhalb der Reihe. Damit ist eine gewisse Überschneidung unvermeidlich,
ja sogar erforderlich.
Die derzeitige Planung für die Reihe reicht von den Methodenlehren wie Netz
werktheorie, Systemtheorie, Modulation, Codierung, Informationstheorie, logische
Schaltungen, rechnergestützte Entwurfsmethoden, Simulation usw. bis zu den
verschiedenen Anwendungsgebieten wie Fernwirktechnik, Sprachübertragung,
Bildübertragung, Datenübertragung, Nachrichtenvermittlung, optische Nach
richtenübertragung, Datenverarbeitung, Prozeßrechentechnik usw. Ihre Realisie
rung wird allerdings einige Zeit in Anspruch nehmen.
VII
Ich hoffe, daß die Konzeption dieser Buchreihe, nämlich eine dem Wissensstand
entsprechende Darstellung des Gesamtgebietes der Nachrichtentechnik in Form
von Einzeldarstellungen aus der Feder kompetenter Fachleute zu bringen, viele
Freunde an Universitäten und Hochschulen sowie in der Industrie finden wird.
Anregungen aus dem Interessentenkreis sind jederzeit willkommen.
Dem Springer-Verlag sei an dieser Stelle für die Mithilfe bei der Gestaltung
dieser Reihe und die ansprechende Ausstattung der ersten Bände gedankt.
München, im Frühjahr 1977 H. Marko
VIII
Vorwort
Die Systemtheorie gilt heute als wichtigste Methode zur Beschreibung komplexer
Kausalzusammenhänge in Naturwissenschaft und Technik. Sie ist auf lineare
Systeme anwendbar, die in der Regel durch ein System linearer gewöhnlicher
oder partieller Differentialgleichungen beschrieben werden können. Solche
Systeme liegen in den meisten Anwendungsfallen vor. Andernfalls können die
wirklichen Verhältnisse wenigstens näherungsweise darauf zurückgeführt werden.
So gilt z. B. bei allgemeinen nichtlinearen Systemen für kleine Aussteuerung
eine lineare Näherung (Kleinsignalverhalten). Bei großer Aussteuerung (Groß
signalverhalten) hingegen läßt sich das Gesamtsystem oft durch lineare Teil
systeme und einfache nichtlineare Kennlinien approximieren. Damit erhält die
lineare Methode und somit die Systemtheorie eine sehr allgemeine Bedeutung:
Sie ist nicht auf die Nachrichtentechnik beschränkt, die nach wie vor ihr
Hauptanwendungsgebiet darstellt, sondern gleichermaßen überall dort von
Nutzen, wo nachrichtentechnische Methoden Eingang gefunden haben, also etwa
in der Meß- und Regelungstechnik oder in der Kybernetik im weitesten
Sinne.
Der Begriff "Systemtheorie" wurde 1949 durch K. Küpfmüller eingeführt. Mit
dem vorliegenden, ihm gewidmeten Buch wurde versucht, die seither entwickelten
und bis heute gebräuchlichen systemtheoretischen Methoden in eine einheitliche
Form zu bringen.
Ausgangspunkt ist eine operationelle Darstellung der Ursache-Wirkung
Beziehungen mit Hilfe der Spektraltransformationen, also der Fourier-Trans
formationen oder der Laplace-Transformation. Damit können die Systeme ohne
Rücksicht auf ihren speziellen inneren Aufbau durch eine einzige Funktion,
die Systemfunktion (Frequenzgang) vollständig beschrieben werden. Mit ihrer
Hilfe lassen sich beliebige Zeitvorgänge, also z. B. Einschwing- oder Ausgleichs
vorgänge, behandeln. Daraus ergibt sich die Zweckmäßigkeit und breite Anwen
dung dieser Methode. Die Operatorenrechnung wurde zwar bereits 1894 durch
O.Heaviside eingeführt und 1909 von K.W.Wagner ausgebaut, aber erst durch
die konsequente Anwendung der Spektral transformationen und ihrer Gesetz
mäßigkeiten hat sie ihre heutige universelle Bedeutung erlangt.
Das vorliegende Buch befaßt sich deshalb hauptsächlich mit den Spektral
transformationen und ihren Anwendungen. Es soll den Leser mit den verschiedenen
heute gebräuchlichen Methoden der Systemtheorie vertraut machen. Dazu gehört
in erster Linie die Signaldarstellung mit Hilfe des Spektrums, also die harmonische
Analyse, die zur Fourier- oder Laplace-Transformation führt. Fourier- und
Laplace-Transformation haben jedoch bestimmte Beschränkungen und damit
IX
verschiedene Anwendungsbereiche. Deshalb wird hier erstmalig eine Allgemeine
Spektraltransformation eingeführt, die beide Verfahren umfaßt und erweiterte
Möglichkeiten der spektralen Darstellung bietet. Die Verwendung elektronischer
Rechner bei der Anwendung der Systemtheorie macht eine zeitdiskrete Signal
darstellung notwendig. Dem wird durch die Behandlung der z-Transformation,
der diskreten Fourier-Transformation und der finiten Signaldarstellung Rech
nung getragen. Die Darstellung der Gesetzmäßigkeiten aller dieser Transforma
tionen und deren Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung von Problemen der
Signalübertragung und -verarbeitung soll die Praxisnähe der Systemtheorie auf
zeigen. Formelsammlungen und verschiedene Korrespondenztabellen sollen den
Umgang mit den beschriebenen Verfahren erleichtern.
Im ersten Abschnitt werden die mathematischen Grundlagen der harmonischen
Analyse sowie Fourier-Reihe, Fourier-Integral, Fourier-Transformation und
Laplace-Transformation besprochen. Der zweite Abschnitt macht mit der neu
eingeführten Allgemeinen Spektraltransformation bekannt, die die Verbindung
zwischen den vorgenannten Methoden herstellt. Durch die Verwendung zweier
korpplexer Frequenzvariablen (p und q) für den positiven bzw. den negativen
Zeitabschnitt gelingt es, den Darstellungsbereich des Fourier-Integrals wesentlich
zu erweitern, so daß Fourier- wie auch Laplace-Transformation darin enthalten
sind. Die spektralen Distributionen der Fourier-Transformation können durch
rationale Funktionen der bei den Frequenzvariablen dargestellt werden und sind
damit der Behandlung durch die Methoden der Funktionentheorie
zugänglich.
Die Anwendung der Spektraltransformationen auf lineare zeitinvariante Systeme
ist das Thema des dritten Abschnittes. Als charakteristische Eigenschaft werden
hierbei die Systemfunktion (z. B. Übertragungsfaktor oder komplexer Widerstand)
als Spektralfunktion sowie die Impulsantwort oder die Sprungantwort als Zeit
funktion des Systems betrachtet. Der vierte Abschnitt bringt die Gesetze der
Spektraltransformationen, wobei stets auch ihre Anwendung und physikalische
Bedeutung für Nachrichtensysteme besprochen wird. Im fünften Abschnitt wird
die Hilbert-Transformation behandelt und ihre Anwendung auf kausale und
analytische Signale gezeigt. Als Grundlagen zur diskreten Signaldarstellung
werden das Abtasttheorem im sechsten Abschnitt und die z-Transformation im
siebenten Abschnitt abgeleitet. Der achte Abschnitt schließlich beschreibt die
finite (zeit- und frequenzdiskrete) Signaldarstellung und zeigt die Benutzung der
Matrizenrechn ung.
Als Beispiel wird im neunten Abschnitt die Anwendung der Verfahren zur Lösung
von Differential- und Differenzengleichungen unter Berücksichtigung des An
fangszustandes gezeigt. Der als Anhang anzusehende zehnte Abschnitt enthält
mathematische Grundlagen (Distributionstheorie, Funktionentheorie) sowie eine
ausführliche Formel- und Tabellenzusammenstellung. Sie ist so angelegt, daß ein
leichter Übergang zwischen den einzelnen Verfahren möglich ist.
Das Buch wendet sich sowohl an den Studenten Technischer Universitäten oder
Hochschulen als auch an den im Beruf stehenden Fachmann. Es entstand aus
Vorlesungen an den Technischen Universitäten Karlsruhe, Stuttgart und
x
München. Vorausgesetzt werden nur mathematische Grundkenntnisse, wie z.B.
komplexe Rechnung, Differentiation und Integration. Soweit Ergebnisse der
Funktionentheorie oder der Distributionstheorie verwendet werden, sind diese im
Anhang erklärt. Zum besseren Verständnis sind im Text Beispiele und Er
läuterungen im Kleindruck eingefügt. Es wurde auf eine konzentrierte Dar
stellung geachtet, so daß das Buch auch als Nachschlagewerk und in Verbindung
mit der Formel- und Korrespondenzsammlung als spätere Arbeitsunterlage
verwendbar ist.
Meinem Assistenten, Herrn Dipl.-Ing. Werner Wolf, danke ich für stetige
Mitarbeit und vielseitige redaktionelle Hilfe bei der Ausarbeitung des Textes,
Frau Ingeborg Aßmann für das Schreiben des Manuskriptes. Der Springer
Verlag hat in dankenswerter Weise das Zustandekommen dieses ersten Bandes
der neuen Buchreihe "Nachrichtentechnik" in allen seinen Phasen sehr gefördert
und bezüglich Satz, Druck und Illustration wieder für ein hervorragendes
Ergebnis gesorgt.
M üchen, im Sommer 1977 H.Marko
XI
Inhal tsverzeichnis
Symbol verzeichnis
1 Zeitfunktion und Spektrum 1
1.1 Die harmonische Schwingung
1.2 Fourier-Reihe .... 5
1.3 Fourier-Integral 11
1.4 Fourier-Transformation 15
1.5 Laplace-Transformation 23
2 Allgemeine Spektraltransformation 32
2.1 Transformationsgleichungen 33
2.2 Methoden der Rücktransformation 40
2.3 Klasseneinteilung der Signale und Umwandlung ihrer Spektren 49
2.4 Entwicklungssatz nach Eigenfunktionen . . . . . . . . . . 52
3 Lineare zeitinvariante Systeme 54
3.1 Systemfunktion S(f) 54
3.2 Impulsantwort s(t) 58
3.3 Sprungantwort u(t) 61
3.4 Beispiele kausaler Systeme 62
3.5 Eigenschaften der Systemfunktion von realisierbaren stabilen linearen
Übertragungssystemen aus konzentrierten zeitkonstanten Elementen 65
3.6 Beispiele nicht kausaler Systeme . . . . . . . . . . . . . 71
4 Gesetze der Spektraltransformationen 74
4.1 Additionssatz ......... . 74
4.2 Multiplikation mit konstantem Faktor 75
4.3 Ähnlichkeitssatz ......... . 75
4.4 Satz der konjugiert komplexen Funktion 77
4.5 Zuordnungssatz 79
4.6 Vertauschungssatz 83
4.7 Verschiebungssatz 84
4.8 Differentiationssatz 88
4.9 Integrationssatz 92
4.10 Faltungssatz . . . 95
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