Méthode des différences finies appliquée aux EDPs fractionnaires

78 Pages·2016·1.46 MB·French

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MinistŁre de l(cid:146)Enseignement SupØrieur et de la Recherche Scienti(cid:133)que
UniversitØ Abou Bekr Belkaid-Tlemcen
MEMOIRE DE FIN D(cid:146)ETUDE
PrØsentØ (cid:224) :
FACULTE DES SCIENCES (cid:150)DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
Pour l(cid:146)obtention du dipl(cid:244)me de :
MASTER
SpØcialitØ : MathØmatiques appliquØes/Analyse numØrique
Par :
HAMIDAOUI Meryem
Sur le thŁme
MØthode des di⁄Ørences (cid:133)nies appliquØe aux
EDPs fractionnaires
Soutenue publiquement le 20 juin 2016 (cid:224) Tlemcen devant le jury composØ de :
M: Bouguima Sidi Mohammed Professeur Universite(cid:19) de Tlemcen Pre(cid:19)sident
Mme: N:Daoudi Merzagui Professeur Universite(cid:19) de Tlemcen Directrice de the(cid:18)se
(cid:0)
M: Mebkhout Benmiloud MAA Universite(cid:19) de Tlemcen Examinateur
M: Senouci Bereksi Ghouti MCA Universite(cid:19) de Tlemcen Examinateur
AnnØe universitaire 2015/2016
RESUME :
Ce mØmoire est consacrØ (cid:224) l(cid:146)application de la mØthode des dif-
fØrences (cid:133)nies aux Øquations aux dØrivØes partielles fractionnaires.
AprŁs un dØveloppement de la notion de la dØrivation d(cid:146)ordre non
entier, quelques schØmas de di⁄Ørences (cid:133)nies adaptØs aux opØrateurs
fractionnaires sont prØsentØs. Nous achevons par exposer leur appli-
cation (cid:224) quelques exemples d(cid:146)Øquations aux dØrivØes partielles frac-
tionnaires (Øquation de di⁄usion et Øquation d(cid:146)advection-dispersion)
avec Øtude de la convergence de ces schØmas.
Mots clØ : DØrivØe d(cid:146)ordre non entier; E.D.P fractionnaires; la mØthode des
diگrences (cid:133)nies.
ABSTRACT
This master memory is dedicated to the application of the (cid:133)nite
di⁄erence method to fractional PDEs. After developing the frac-
tional derivation, some (cid:133)nite di⁄erence schemes tailored to fractio-
nal operators are presented. We end up exposing their application
to examples of fractional PDEs (di⁄usion equation and advection-
dispersion equation) with the study of the convergence of these
schemes.
Keywords : Fractional order derivative; Fractional P.D.E; the (cid:133)nite di⁄erence
method.
REMERCIEMENTS
Louanges au Bon Dieu, pour la volontØ, la santØ et le courage qu(cid:146)il m(cid:146)a donnØs
durant ma vie.
Je tiens (cid:224) exprimer mes plus vifs remerciements (cid:224) Mme. N. Daoudi-Merzagui
Professeur du dØpartement de mathØmatiques de l(cid:146)UniversitØ de Tlemcen, qui fut
pour moi une encadreuse attentive et disponible malgrØ ses nombreuses charges.
Elle m(cid:146)a guidØ durant mon travail et m(cid:146)a apportØ le soutien nØcessaire. De part
ses qualitØs pØdagogiques et ses prØcieux conseils.
Mes sincŁres remerciements (cid:224) Monsieur S. M. Bouguima Professeur du
dØpartement de mathØmatiques de l(cid:146)UniversitØ de Tlemcen, qui m(cid:146)a fait
l(cid:146)honneur d(cid:146)accepter de prØsider le jury de ce mØmoire.
Je remercie vivement Monsieur B. Mebkhout, enseignant au dØpartement de
mathØmatiques de l(cid:146)universitØ de Tlemcen qui m(cid:146)a fait l(cid:146)honneur d(cid:146)accepter de
participer au jury de ce mØmoire.
Mes profonds remerciements pour Monsieur G. Bereksi Senouci enseignant au
dØpartement de mathØmatiques de l(cid:146)universitØ de Tlemcen d(cid:146)avoir acceptØ
d(cid:146)examiner ce manuscrit.
Mes remerciements s(cid:146)Øtendent Øgalement (cid:224) tous les professeurs qui m(cid:146)ont
enseignØ une part de leur savoir.
DEDICATION
Ce travail est dØdiØ (cid:224) :
mes parents,
ma s(cid:156)ur, mon frŁre,
ma famille et mes amies.
A la mØmoire de mes grands parents.
1
TABLE DES MATI¨RES
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 PR(cid:201)LIMINAIRES 1
1.1 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Fonctions utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1.1 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1.2 La fonction BØta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1.3 Fonction de Mittag-Le› er . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 MØthode des di⁄Ørences (cid:133)nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 (cid:201)L(cid:201)MENTS DE CALCUL FRACTIONNAIRE 9
2.1 Aper(cid:231)u historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 IntØgrale fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 DØrivØe fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 DØrivØe au sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 DØrivØe au sens de Gr(cid:252)newald-Letnikov . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 DØrivØe fractionnaire au sens de Caputo . . . . . . . . . . 20
2.3.4 La relation entre la dØrivØe au sens de Caputo et celle au
sens de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Di⁄Ørences entre les dØ(cid:133)nitions . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.6 DØrivØe (cid:224) gauche et (cid:224) droite . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
TABLE DES MATI¨RES 3
2.3.7 PropriØtØs gØnØrales des dØrivØes fractionnaires . . . . . . . 25
2.4 Les Øquations aux dØrivØes partielles fractionnaires . . . . . . . . . 26
2.4.1 DØrivØe fractionnaire partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1.1 IntØgralefractionnairepartielledeRiemann-Liouville 27
2.4.1.2 DØrivØe fractionnaire partielle de Riemann-Liouville 27
2.4.1.3 DØrivØefractionnairepartielledeGr(cid:252)newald-Letnikov 28
2.4.1.4 DØrivØe fractionnaire partielle de Caputo . . . . . 28
2.4.2 Exempled(cid:146)opØrateurdi⁄Ørentielfractionnaireetd(cid:146)EDPfrac-
tionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2.1 OpØrateur de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2.2 Exemple d(cid:146)E.D.P fractionnaire . . . . . . . . . . 30
3 M(cid:201)THODE DES DIFF(cid:201)RENCES FINIES CAS FRACTIONNAIRES ET
APPLICATIONS 31
3.1 Diگrences (cid:133)nies fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Les schØmas de Gr(cid:252)newald . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Les schØmas L et L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1 2
3.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Equation d(cid:146)advection-dispersion fractionnaire . . . . . . . 38
3.2.2 Equation de di⁄usion fractionnaire . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Perspective et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.3.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TABLE DES MATI¨RES 4
3.2.3.2 Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
0.1 Introduction
Le calcul di⁄Ørentiel fournit un outil puissant pour expliquer et modØliser
des processus dynamiques dans de nombreux domaines des sciences appliquØes.
Mais les expØriences et la rØalitØ nous enseignent qu(cid:146)il y a beaucoup de systŁmes
complexesdanslanatureavecunedynamiquediگrente,telsletransportdeconta-
minants chimiques dans l(cid:146)eau autour de rochers, la di⁄usion atmosphØrique de la
pollution, la dynamique des matØriaux viscoØlastiques comme les polymŁres, le
processus de di⁄usion cellulaire, la transmission de signaux par l(cid:146)intermØdiaire de
champs magnØtiques intenses, l(cid:146)e⁄et de la spØculation sur la rentabilitØ des stocks
sur les marchØs (cid:133)nanciers, le tra(cid:133)c rØseau et bien d(cid:146)autres. Dans les cas mention-
nØs, les processus ont un comportement complexe macroscopique, qui fait que les
dØrivØes classiques ne peuvent exprimer leur dynamique.
La notion de dØrivation fractionnaire qui paraissait une question de mathØma-
tiques pures devint alors d(cid:146)un intØrŒt certain pour la modØlisation de tels proces-
sus ([30],[31]), un exemple simple de mØcanique des (cid:135)uides montre comment la
dØrivØed(cid:146)ordreundemiapparaittoutsimplementquandonveutexpliciterun(cid:135)ux
de chaleur sortant latØralement d(cid:146)un Øcoulement (cid:135)uide en fonction de l(cid:146)Øvolution
temporelle de la source interne. La dØrivation fractionnaire est liØ (cid:224) la modØlisa-
tion mØcanique des gommes et des caoutchoucs, et toutes sortes de matØriaux qui
conservent la mØmoire des dØformations passØes et dont le comportement est dit
viscoØlastique[2]. En e⁄et, la dØrivation fractionnaire s(cid:146)y introduit naturellement,
0.1. INTRODUCTION 2
autrement dit les dØrivØes non entiŁres possŁdent un e⁄et de mØmoire qu(cid:146)elles
partagent avec plusieurs matØriaux tels que les matØriaux viscoØlastiques ou po-
lymŁres [20].En ce qui concerne la rØsolution numØrique, l(cid:146)utilisation de l(cid:146)e⁄et
mØmoire des dØrivØes fractionnaires dans la construction des modŁles matØriels
simples est livrØe avec un coßt ØlevØ. Ce ci Øtant du au fait que tout en utilisant
un algorithme de discrØtisation des dØrivØes non entiŁres on doit tenir compte de
sa structure non locale qui signi(cid:133)e en gØnØral un haut stockage d(cid:146)informations et
une grande complexitØ de l(cid:146)algorithme.
De nombreuses tentatives pour rØsoudre les Øquations faisant intervenir di⁄Ørents
types d(cid:146)opØrateurs d(cid:146)ordre non entier peuvent Œtre trouvØes dans la littØrature.
Une liste de mathØmaticiens qui ont fourni des contributions importantes au cal-
cul fractionnaire jusqu(cid:146)au milieu du 20eme siŁcle, inclut : P.S. Laplace (1812),
J.B.J. Fourier (1822), N.H. Abel (1823-1826), J. Liouville (1832-1873), B. Rie-
mann (1847), H. Holmgren (1865-67), A.K. Grunwald (1867-1872), A.V.Letnikov
(1868-1872), H. Laurent (1884), P.A. Nekrassov (1888), A. Krug (1890), J. Hada-
mard (1892), O. Heaviside (1892-1912) S. Pincherle (1902), G.H. Hardy et J.E.
Littlewood (1917-1928), H. Weyl (1917), P. LØvy (1923), A. Marchaud (1927),
H.T. Davis (1924-1936), A. Zygmund (1935-1945) E.R. Amour (1938-1996), A.
ErdØlyi (1939- 1965), H. Kober (1940), D.V. Widder (1941), M. Riesz (1949),...
Di⁄Ørentes approches ont ØtØ utilisØs pour cette notion de dØrivation :
- La limite de taux d(cid:146)accroissement d(cid:146)une fonction qui se gØnØralise sous la
0.1. INTRODUCTION 3
forme de Grunwald-Letnikov, trŁs utile numØriquement [18].
- L(cid:146)intØgration, opØrateur inverse de la dØrivation, via la formule intØgrale de
Liouville, mŁne aux formules de Riemann-Liouville et de Caputo [18].
- En(cid:133)n les transformations de Fourier et de Laplace associent la dØrivation
fractionnaire (cid:224) une multiplication par (i!)(cid:11)ou p(cid:11) avec (cid:11) non entier [10].
Mais ces di⁄Ørentes dØ(cid:133)nitions ont pendant longtemps semblØ ne pas donner
toujours les mŒmes rØsultats. Cette incohØrence apparente a pu Œtre dissipØe dans
le cadre nouveau proposØ par la thØorie des distributions de Laurent Schwartz
[24].
Pour la premiŁre confØrence consacrØe au calcul fractionnaire, le mØrite est at-
tribuØ (cid:224) B. Ross qui a organisØ la premiŁre confØrence surles calculs fractionnaires
et ses applications (cid:224) l(cid:146)universitØ de New Haven en juin 1974 [15], et il a ØditØ les
dØbats. Pour la premiŁre monographie, le mØrite est attribuØ (cid:224) K.B. Oldham et J.
Spanier, qui ont publiØ un livre consacrØ au calcul fractionnaire en 1974 [18] aprŁs
une collaboration commune commencØe en 1968.
L(cid:146)ØtudedesproblŁmesfractionnairesestd(cid:146)actualitØetplusieursmØthodessont
appliquØes pour la rØsolution de ces problŁmes. On peut noter ici que la plupart
des travaux sur le calcul fractionnaire sont consacrØs (cid:224) la solvabilitØ des problŁmes
aux limites engendrØs par des Øquations di⁄Ørentielles fractionnaires (cid:224) la base des
fonctions spØciales [10],[17]. RØcemment, d(cid:146)autres rØsultats traitant l(cid:146)existence,
l(cid:146)unicitØ et la multiplicitØ de solutions positives pour des problŁmes fractionnaires