Métamaths Mathématiques 1re Première : Manuel élève 2019 Belin

337 Pages·2019·43.728 MB·French

by  Françoise Hérault, Brigitte Sotura

1
re
Enseignement
de spécialité
NOUVEAU PROGRAMME
M ths
Collection metamaths

NOMUVEAU PROGRAMME ths
1
Collection metamaths re
Enseignement
de spécialité
Sous la direction de
Françoise Hérault
Brigitte Sotura
Auteurs
Sylvie Alory
Géraldine Bonal
Fabrice Charlemagne
Catherine Divoux
Mickaël Kourganoff-Lemoine
Marie-Noëlle Lamy
Matthieu Mossot
Monique Pariès
Jacqueline Penninckx
Françoise Pilorge
Renaud Pouliquen
Guillaume Saës
Gaëlle Temam
Avec la participation d’Aline Robert et de l’IREM de Paris
(Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques)
PROF PROF
Sommaire
Info Vidéo
Découvrir le manuel
........................4 4
Dérivation — Application
Programme et mise en œuvre
aux fonctions non polynomiales
dansle manuel .......90
..............................5
Des exemples au cours
1 Dérivées des fonctions inverse,
racine carrée et valeur absolue...............92
Algorithmique et programmation
2 Dérivées d’un produit et d’un quotient ........94
1 3 Dérivée de xg(ax+b) et
Algorithmique et programmation
......10 tableau récapitulatif........................96
Exercices .................................. 102
1 Revoir la notion de fonction .................11
2 Revoir les boucles bornées et non bornées.....12
3 Revoir l’instruction conditionnelle............14
5
4 Les listes: dénitions.......................15 Suites numériques
.................... 114
5 Dénition en compréhension d’une liste.......18
Des exemples au cours
1 Génération d’une suite de nombres......... 118
2 Suites arithmétiques...................... 120
3 Suites géométriques...................... 122
Algèbre et analyse
Exercices .................................. 132
2
Fonctions polynômes du second degré
..22
6
Comportement
Des exemples au cours
d’une suite numérique
1 Forme développée et forme canonique........26 ............... 146
2 Variations et représentation graphique........28 Des exemples au cours
3 Équations du second degré..................30 1 Sens de variation d’une suite .............. 150
4 Factorisation d’un polynôme du second degré..32 2 Sens de variation des suites arithmétiques
5 Signe d’un polynôme du second degré ........34 et géométriques ......................... 152
Exercices ....................................42 3 Limites de suites......................... 154
Exercices .................................. 162
3
Dérivation — Application
aux fonctions polynômes
...............58 7
Fonction exponentielle
............... 172
Des exemples au cours
Des exemples au cours
1 Taux de variation et nombre dérivé...........62
2 Tangentes à une courbe et fonction dérivée....64 1 Caractérisation de la fonction exponentielle .. 176
3 Dérivée d’une fonction polynôme ............66 2 Propriétés algébriques — Notation ex ....... 178
4 Dérivée et sens de variation.................68 Exercices .................................. 184
Exercices ....................................76
2
Probabilités et statistiques
8
Trigonométrie
........................ 192
11
Probabilités
Des exemples au cours .......................... 268
1 Cercle trigonométrique.................... 196
Des exemples au cours
2 Cosinus et sinus d’un nombre réel .......... 198
1 Probabilités conditionnelles ............... 272
3 Fonctions trigonométriques................ 200
2 Arbre de probabilités..................... 274
Exercices .................................. 208 3 Événements indépendants................. 276
4 Variable aléatoire réelle —
Loi de probabilité — Espérance............. 278
5 Variance —
Écart-type d’une variable aléatoire ......... 280
Géométrie Exercices .................................. 290
9
Produit scalaire
....................... 218
Des exemples au cours
1 Norme de vecteurs —
Critères d’orthogonalité................... 220
2 Dénition du produit scalaire —
Bilinéarité............................... 222
Vocabulaire ensembliste et logique
3 Projeté orthogonal — .......... 308
Expression du produit scalaire Enaînemen au BAC............................ 322
avec un angle............................ 224 Ciés des execices........................... 326
Exercices .................................. 232 Index....................................... 335
Mdes d’empli des calculaices
e liciels ....................Rabats de couverture
10
Applications du produit scalaire
..... 244
Des exemples au cours
1 Orthogonalité et équations de droites....... 246
2 Équations de cercle....................... 248
3 Calculs de longueurs et d’angles
dans un triangle.......................... 250
Exercices .................................. 258
© Belin Éducation/Humensis, 2019
170 bis, boulevard du Montparnasse,
75680 Paris cedex 14 ISBN 979-10-358-0414-5
SoMMAIrE 3
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www.belin-education.com/mathematiques-1re-2019
L’ouverture de chapitre
2 Fonctions polynômes Mob illeiss earc quis MDeosb eilxiseercr ilceess acquis
CHAPItrE du second degré 1 pour vérier
Associer à chaque expression développée (de A() à F())
s oAn( expression 1fa6c torisée (de ) à )). (1 )(2 1) ses connaissances
 B( 25 40 16  (3
 C( 15  (4
 D( 12 9  (4 )(4
 E( 16 80 100  (1
2 .F F(actori1s0er les expr e1s sions suivan tes à l’a4id(5e des identités remarquables.
9 1 5 12 18
2) 4 3( 1) 15
2
De quelle(s) équation(s) le nombre 3 est-il solution ?
3 0 4 (2 5)( 3)
3 Découvrir
On considère les fonctions définies sur ℝ par (2 3)(4 1),
(1 )(3 2) et 3).
2. Ré Dsoreusdsreer dlea ntsa bℝle laeus dtreo sisig énqeusa dtieo cnhsa scuuinvea ndteess t: rois fo n0c t; ions. 0 et 0.
En déduire les solutions dans ℝ des inéquations suivantes :
0 ; 0 et 0.
4
Découvrir
4 2
dLeus c nhoatpiiotnres pour la résolution des équations de degré 2. 2sPo o. ssnsssssuiiiiiiLit r o vtgoriauqitu e 22 5es523,,1 , , oa,a,r, a aéalulaalooleol lloorforolrassr,rrsrs u sss s ses>>, 44p 9..9u.i s justifier. activité 16 1 dLsqLdfsdeoaooetuee n nesr ’dtollcs tr’aepantq a d ihbiv ujloraeaey,i’n post casuhe tnpidrnoascl eéeesiliullaeer e ltloetnenle asei csu np)lpnfe .lri emoea Lt uuri i reocnamdtnason lib êet eubtceiot r aroadrelblel eeuenlbe fo mtfb dn eiaqauco sdilu dtlelsa oeaélnna,nnkl tis s,scsr i ede eé uorepen.tn r sp pé naa sae éredntg n iuilretine gardec et(dét oi coieplùooan e nb u arnd aré,d b’ssubekein sne tetta , nc ce activité 3 DS23Ao.. i AQJldeét auCC s evu tcsc ooee l touaucoluuiluf n nelcrrire ue obbabrc ruélxoeee voeqren ssgb풞lu j rdieeddnecec iio ’’selt réérn’seuelaqqy l r pxGonmeuuureenu éaa péol nds lttteGeeeeriiut eeooniss etb tinn-o gaordf r nanyyuneda,etn o fcl leaadnmra éien fcrfeo éeoorine un slcsurcult bntireioe ocl n’n ua풞 d rdllsuéeefruien r pi e a seurnrt aurℝenbr e eCp rppooe5arpamr ée lrèsmatree ebn 5e (osto o,ap lùrpne ot htuud o lireaesG n ls safocetoo rofuonmmonncGnmsé trcit eoéedtrinetubuo l li ndr’prdoéaelocraf ainingnrn,irin eéélae ,sn ducdoaorun nu rsrne b puupelanè) r rees.t Découvrir
Créer dans une nouvelle fenêtre un curseur dans
Le 22s notions Uqunie r ienlitero ldeu cchtaiopnit re 2UsseSld’iiifuu.nttnf ruu VÀdpde tb jééeroacélo aelè trnrn’uàalu avsilsgnef uoi ea2 irldéu lne alape c0eelrmr .ep eo h s, cLld5 qh .iaèa[a’lneu0uiatnusqtr n nec tl ;eudaBe ie c4tscee eu éc e s]à d2rr cacso, qe u,i3hl min2-scdul ac t su5mieasbo c olluxmeuaaneèl xi ltn tttmo;lmr r rroem cdieeo2acn eèé,sduelo lteo elduev,rddi tnse ideeaèu c-e. pé tclea ànetstius e teosrr4i ie tsrlednr .rm p mnéelatLereptujioèé ern oxpprtescern soe attr0edqodinrr sn,aàau ie8t lrtn éjedene0 e sA utslcl,b e1e .tlaapeso ujml a ioldp3xronuèeea ,ni4ctesueno r5 urxiepn.er odf ro sitsn i2icob tnslieouss nr s 234... TpPl FMLlrdlD e’eeriC aauoeé nsaopCp ii uot crtclsdrceroareeoeu éoiér li r frucesncrmevovi eeroe bltrarapebil n rudanreMluo etlriovl,eseneai abnnser풞 nr e[da ccdtnv st uit’’éa Me풞sa eé3l rseleis:buse qr e s s;cd?e sruc uMo3 dceuodfr(Momia] s érou s.ldna Matdr smCesnicd eu ooco dtseo ioinm tn anonej usunsed ntntmtyr u stserséob)l t reu.i oelb eir 풞’tEiflbies tr ainnd(e 풞e es esptsnceer een luao)r idersr rv풞iufsv’t aolcere uamacbbonr,n lo asloecccleeucieort r n e풞iiérd t[uosvbstreosr naieer5be n nq csd e dnts ;u eeeé풞l5’풞au u e]mt nrs,ei .o eêt MàF n m풞 éaMp, qeicaru 'reeat sivttria ournnie edr e p sa :or qanub aeox lreee md: dea érstqyeumremé-ttin-roieenr. ?
Créer dans une nouvelle fenêtre de GeoGebra
du chapitre àdo uel’s hà mi sl’taaotcihtruéeam liatétiques activité 2 Cp23.. ho VQOreéunoupre rni fiérpoisseet eerruin qtrét- uaol apetlni ,avf odpoe( ionx 8rfndcuce ao−ater Fndid ntooot3r ersonnmr)s imu2 uq eaetcun− s oer s er1uéàoeercp= bl Fia èeéloxrrase4dme2 ro)à e(der−anq écdpu de6épar uuvpséx ieb t2lsttelaeio+er)éen pon?sn8.pit es éCat: ehnee i otxto ipls(ernxiser s−t lsarpoi3 ofi)oosn rsfms− oen1éetc l=et풞aio (p xnslsua−f s acF c4aooto)dru(rmarixsbepé −eteé 2e) 3) 1 ; 234... Cod F FLuClàs eaC aoaa ù’onaspn iim n o bcrrMacfsseeousuorm t jtcurnrrevvuiiesrurbscsaaseb titstdrrderu ieieiiloeafeseeer i nn풞 rre lldpess ar , so’ lé c ldaim sceonq:e aeo put.ctsnu u aorFdodosarbrmaém ebbttleid’ iserimiml eouneea풞s eit r entvce 풞v nt e?o ard ey,t td vur (erae osiear etfMabb 풞l frl풞풞nitee Mci s  eph,[ 풞 naje quer.tr r4 ue-sdt D uo ltpe’;seiaé nnm rfo4 rbtéie veneel]ss a.emr rt cea cmr)icnaaxtsoeitsrnenuauqe sendrru l bar teaeM te es-vis teMotye-풞 snoMmc ,nc éco ?' toelresri det p0 .ouonninneté pedase r ealanb cofooleun rc: btdieoé nt풞e drme iner,
pour déterminer par le calcul : Créer dans une nouvelle fenêtre de GeoGebra trois curseurs m et Construire
l le’isn taenrtséeccétidoenn tdse d lae c0o ;urbe 풞 avec l’axe des ordonnées ; 2. Olens acodumrebte sq u풞e elat c풞o’u rrebper é풞se’ nseta dnét dleusit fdoen c풞ti opnasr une transla teito n. Sans justifier,
l lee msiignniem duem de sur ℝ 3. Ldaé tceorumribnee r풞, e’ ne sfto unnctei opna rdaeb oml e , les coordonnés du vecteur de cette tmra ents ldaet ion.
l’image de 0.
24 CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 25
Des exemples au cours Des activités
pour permettre
ExDeemsap uelex ceo1mu0rpsles 5PoSuirg conmep rden’udrnee fonction polynôme du AsPr.eopcriéoténd degré Généraliser et retenir voir Exemple10 Des exemples au cours ldae ds éncootuiovnesrte
Fonction +4+6 −4+2,5 −4+4 Seto it s ounn ed ifsocnrcimtioinna pnot.lynôme de degré 2 définie par et sont réels et
 Si , alors a le même signe que pour tout réel.
 Si ∆=0, alors a le même signe que pour tout réel et s’annule en
 Si , alors ) s’annule en deux réels distincts et
et on obtient le tableau de signes suivant (avec x1 x2) :
Rgreapprhéisqeunetation Signe de Signe de 0Signe de () 0 Signe de +∞ à l’extérieur Généraliser
et retenir
Démonstration Pour tout , on a =a(x−α)− avec α=−
Sddleie’a gg pnlrarea èf posh nicqtuioen 00⇔⇔−∈∈1]]−−1∞;+3;[−1]3∪[3−+;+∞∞[Pour tout réel, Pour t=ou0t ⇔ré+el=,2 ) 0++∞ alSSSoiiir ∆s =0) ,e,, ascaltolo odmrrussm seig (n=e=− ada(αe(xx )− −eαtx s)10’)a. ( enCxtno −umlxem2 pe).o (Ounr− e,αn =a )ldαoérds u0it )l ee stat bdlue asuig dnee sdieg nes suiv+avn∞oti.r Exemple11 Uetn s cyonutrhsé tcilqauire
A insi :  sn’aen sn’aunlen udleeu pxa fso iest eets tc hsatrnicgtee mdee nsitg pnoes diteivuex sfouirs .ℝ Signe− de Signe+ de Signe+ de
 s’annule une fois et est positive sur ℝ − − +
Signe de Signe de () Signe de
Exemple11 B. Tableau récapitulatif
©LLOeS’taiéng sq) fn dtoueerrrasi emcdttst iedesoe eom nf n aueccnn tp tot oarnisbésilgéteiaefat uodif ue de enn6 u s dli ge s0nhu eoras rdl s’dim.nete et r 6v 1)ae lsseltuet i −v3[2a c(1nxot;m +3lem]1s) ev( xasol−eluu3tr)iso dnes. −−− 01 +−+ 30 ++−+∞ DémonstCSeri taabtlieoaun réSci apitule, alelo lrαise =nl e− epnotlryen lôems ev ariatioSunins ∆e, ls=ee suil,g ean rleoa rcesitn αl eel =e −ps orlaycninôemse d a’udnm peotlydSnieô umxe r adcu,i naseleoscr osαn l e=d − pdoelgyrnéô.me admet Ddaenssd léem coounrsstr ations
©Signe de
eLPtao pufora rrtm osuueti tcea n2roé(neli−,q 2u1(e) d−+e1 02),5+0,05,5. A 02in,.5 sE ien s et f2f)(e ets, −to pn1 o)as i(+tif0 ,s5u1r) ℝ0, donc 2( 1) 0 Si α = − et dans les exercices
2(−1)+ x x ) est un carré donc, pour tout réel, ( 2) 0 α = − α = −
(Sig−n) e2 )de= −04 xsi +et4 se=u(lxem−e2n)t si (Étud1ie)r le− s2ign=0e d, e0cs,’e5 p(sot-lày-n1dô)imree ss1i suivan.t sA i:nsi ) est positif sur ℝ 6 Retrouver le si g2n,e5 de s t rois polynômes étudiés dans les exemples
120( xP−O1U)(Rx C+O3N)SOLIDERb.( 1) CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 35
Pour comprendre
Sur ce spécimen, des QR codes
Des exemples détaillés
vers des compléments pédagogiques,
pour préparer l’acquisition
Des exercices courts des vidéos ou des exercices à l’oral
pour une mise en pratique des notions du cours (également disponibles sur notre site).
immédiate
44
Les savoir-faire TP Pour utiliser au mieux
la calculatrice, GeoGebra,
le tableur ou Python
Savoir-Faire
SAODVénOv ceIoRlnospFipdAeèIrrR elE’ elax1 pforenscstiDioonén vde ed élofinp),i epp useiusrr d eétt pe marmr eintetrr se a(4 fsoormu 3es) (c faonornmi q1eu) e c. a2(noniq 2u).e SAFaVcOtoIRrisFeAr IlRe Epo4lynômFea dcétfoinri ipsaer r un poxly−n6ôxm+2e de degré 2 Savoir-Faire TP2
OSnO cLoUm T2(m4I(eOnNce 31 p)0(ar mett r1e )2 e 2n( 1fa0cteur. 2) CDoomn=cm lea foxrm+e ca=2noni+que+ d1e= 2)x, eas+lto rs2=− ++1=2x+ 2 LDS∆eOox= nLdcUis,− T,cp rlI6oeiOxmu pNri+o ntlao2y(nun tetô6 sm)t eue nsat p déooglnaylcn àôu mnΔee= udnei qdueeg rréa c2in. (Oe− n6d i)pteo− s«e4 d×oubl×e »2 =qu0e 6l’ oent note IOdLd’ne’onu b nctdjeeeiess cp prtdaoiefsrs uaeeebxs d otcc ’ldouteeun ie reoctb o pdennasejr e ?addcbrtou’ouirlteeen rse, ,tp e sdue ’iulpson ndae e lrde duraéortsbiet epro.mo Cslionietmeio rbe npiseta.nr dlpee’ cuuat-lncilu eyl l aedv noroiorm dibetr eep od ien Gtpsoe dion’itGnste edbr’isrneatcetrisoenc tion
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a une racine évidente. Le produit des racines (x+1)(8x−1)
Drpéoesuso rel umxsea rîctriciseesr UfSaeni r tQee CsletMe pr p o1oinutr sur 2201 OOnn cc Lpdoo ’oeeinnn sssssétiiiotdd qsilèèvuturrreateeii tc osllit’auonien rnf.méo qnneuc’natatidto imonn e t−d p5éafxisn ie+ s3uxr +2 par 0e0s et Asé>tlg osaro0sl l àu: tion >de 0l’iOnné qau :ation. Le’setn semb⇔le de∈s∪ s]o1−lu;+ti∞on[s SSSAAAVVVOOOIIIRRRFFFAAAIIIRRREEE Dpoeus rp mroebtltèrem eens dœeCHAPIutrEsvFoncytionrs polnyenômes dtu sechond degrèé 4s1 e
CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 39
les bases ses connaissances sesconnaissances
et ses capacités ou aller plus loin
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CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 51
et un QCM pour s’évaluer
PoauurSdOTc1 toLLaLaLroeQnt2aaaaauvmri rtdd8 nxeue ppppmeuac o aaaapg emitelrrrrrover’aaaaa eléid nbbbb x ae cal2teooooahsn n llll itd eeeeladsdnrla eq étolacap’ lasgruf’eiod ea seibpeaunxsma rpsor bspieccréeueg esemioéPàet rs c pepn sa lsilplpCs’sse’oasedae oeols snrsuxeuixnnueue t te.rplod5islrrat’ o or i nt pdtdiltseenoreii oleo’siootnu u igsi sgmpnn3nunstii éo noa etl.gmegos ibne édnc.rme. s rooaa’trOcitm énnlpé Aign?Ssedttéhé( s(er lit1n2ibet.irrqqioirsso;;qui ue tRq0n1ueeceu e)e) tg. .de pipéso eruaoduné rrm’n u s ue neédn etnfar etoifneq onesruncx ecutp tinCsoirou oenrnrmse .puspmionèoelurny enc n.aoi qôlugumréebebre r i5Lpq ’o aeueudxetrTtm 3r reae.mdt udu c2emti uoe xentc sf rdvaaataéanl cgcavutoéiote)ntn tblr peoeiiβrqseipsiénuqu=pe:etut é eêet re ex psorEi+nmxtβp éd reoee ,uss)s , ss o rsoioéuoouùesnus l ssf dof2. ofer)ormrmmee e Nd(TqNTdNT1ehhhueeAaaa3t O éééeR oooll0pooopaa éùmmmt a Pud fc:::pspiii oo io  ««« agep::lrnu nuse««urDCJrces iortq’ect)taLLa- .pinahlulooneaieaon oon nsdt scctrimri es eoola«oprT’i ee neiueoe?àhslx fsiv,lo pé fr»y ptTqRéieneàoacnrhuernn ei!»ô édpemeetsr»o méeenlslm éear m etideeeto ess dc resandtdn oote n s ’tut lnéa under u dllsros éeig stemeudug-éai tcvgnaebnTi-ronn etishtrgleinteerei vér,q àd r a p eosdp u u pNou.u duaeeh»snrnaer tii cdemqog tlo deié urmpfcieo éve. golfin re»e rfdculnlaioeserooce p b inpqpbserheutapi nig slirqée! tèana p eluQ delbemr eeud eéuod e ectp?lu eeol êo l sentac/n rson cseAf?tieaeo -ulfî».cpnettfo ici llpcsnti’esiiitegoréxrnn.neepte, r n ledased sc iorouenr bàe rédiger Chercher  Communiquer Pour travailler autrement TDplmeroe aalusatv rhnea émxgimlealaergaîcrettir icaiqesuueste rr ,e ment à mi-parcours
Le sommet de la parabole est sur l’axe des ordonnées.
La parabole coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée
savoir identier
Expliquer des erreurs Raisonner Relever un défi Chercher
129 Véri er que les conditions d’application d’une méthode sont remplies. 131 Conjecturer et démontrer. et expliquer En n de manuel :
Chacune des réponses aux exercices suivants comporte une erreur. La retrouver et la corriger. Quelle somme maximale peut-on obtenir en ajoutant un nombre strictement négatif et son inverse?
ldRdlReda∆EE’’éé n’eeééxxipqq=n u ppeedoluuc’xoorréui oaacc −vnn0qsriinttiss cc,ouiis unooeeee−dlaa−nuu nn otn::21itei nqtoi2+ ::o cunp ∆nRR e,ac séé edr∆sss t:ooootneluu uc c (ddéétd hic−qrrq’oa5ieee(uunnqt−) iacddt uv52eotaaeai) .nnn3oé u+mnssnqt u 3ueàaeam d tmbiorenet dRdeReREEEtte’éééxxxi n ppprceeeercooorrro poccc−nnn00iiiinrssssccc, é dnseeeeeeds−aou oe:::354nnenn ∆∆t c:::tce ∆ eéRDR c ==isseeéélot u t ss nnc0dtrooi’en y,é-uu[1 ce0c é(ddaorrqrr ; on lp1deeueita s)éar ddssesftaaaiei .ondnn3nnniesstse e asds odsueul m rullvr’’ éite ani]qtoré uindqaa.eut tSiuaio;o xt0nn=i o]s − ∅2onl u21+t)i on∆s :−( −01 d)’+in3connue Oilddv1enéeun 3 sPEFrrD E csc2aisrannréfyyoéy iii mmreltdcduoie irnédhénoés ddudqaa entdrurnniuruttiee riesieeedrer ss eeuafrdéa’i enntgluql exu’sb (ue ucs cpdaxrqôe ô)riesvpun eniDel amreeereeé er ml, n)lce1 i rse.eai oa s2encspntmiyostiπ oa oveouufp(nr1onarnrop ve5nrsd seia ecea d6−l(tr tldsei leicou’eh6o ua mlnn )v(’n ip(1ac r 1a.psdliye5ar0r re dlieocie e+n best dolrolèh ’rn)tadm)ea )iar r leedeane.ny us dt o oufucnotyn ac.n l ylpiLceneltl iadid nocnrudnôe pr ncd:eaye.es l asilna apdn horteau p urca tihre- aculo’uran txeteur er 15cm ; 6 cm 15 cm daetpe psre reelernrvedeurrer ds à,e rsé ddéigesr. 1eddteu4 s m rp aeaainîgstsoereisnsm nepbero mluleerse vndeotét cclloaoegbsui uvqblruaaiseirr ee s
56 CHAPItrE Fonctions polynômes du second degré 57
DÉCoUVrIr LE MANUEL 5
Programme et mise en œuvre dans le manuel
Extrait du BO spécial n°1 du 22janvier 2019
Algèbre
Mise en œuvre
dans le manuel
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
– Exemples de modes de génération d’une suite: explicite u =ƒ(n), par une relation de récurrence u = ƒ(u), par un algorithme,
n n+1 n
par des motifs géométriques. Notations: u(n), u, (u(n)), (u).
n n
– Suites arithmétiques: exemples, dénition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives àaccroissements
constants. Lien avec les fonctions afnes. Calcul de 1 + 2 + … +n Chap. 5 p. 114
– Suites géométriques: exemples, dénition, calcul du terme général. Lien avec l’étude d’évolutions successives à taux constant. et Chap. 6 p. 146
Lien avec la fonction exponentielle. Calcul de 1 +q + … +qn
– Sens de variation d’une suite.
– Sur des exemples, introduction intuitive de la notion de limite, nie ou innie, d’une suite.
Capacités attendues
– Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique,
Chap. 5Cours 1et 2
etpasser de l’un à l’autre.
– Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ouunerelation
Chap. 5Cours 1
de récurrence pour une suite dénie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
– Calculer des termes d’une suite dénie explicitement, par récurrence ou par un algorithme. Chap. 5Savoir-Faire 1 et 2
– Pour une suite arithmétique ou géométrique, calculer le terme général, la somme de termes consécutifs, déterminer lesens Chap. 5Savoir-Faire 4, 6 et 7
devariation. Chap. 6Savoir-Faire 4 et 5
– Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance
Chap. 5Savoir-Faire 5 et 8
exponentielle par une suite géométrique.
– Conjecturer, dans des cas simples, la limite éventuelle d’une suite. Chap. 6Savoir-Faire 6
Démonstrations
– Calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique. Chap. 5Cours 2 et 3
– Calcul de 1 + 2 + … + n Chap. 5Cours 2
– Calcul de 1 +q + … +qn Chap. 5Cours 3
Équations, fonctions polynômes du second degré
Contenus
– Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme
et du produit des racines.
Chap. 2 p. 22
– Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré. Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’uneéquation
dusecond degré. Signe.
Capacités attendues
– Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Chap. 2Cours 5
– Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts. Chap. 2Savoir-Faire 6
– Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversiant les stratégies: racine évidente, détection des racines par Chap. 2Savoir-Faire 4 et 5,
leursomme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales. Exercice 82
– Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre
Chap. 2Cours 1
de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
Démonstration
– Résolution de l’équation du second degré. Chap. 2Cours 3
Analyse
Mise en œuvre
dans le manuel
Dérivation
Contenus
Point de vue local
– Taux de variation. Sécantes à la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
– Tangente à la courbe représentative d’une fonction en un point, comme «limite des sécantes». Pente. Équation: latangente Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
à la courbe représentative de ƒ au point d’abscisse a est la droite d’équation y= ƒ(a) + ƒ’(a)(x a).
– Nombre dérivé d’une fonction en un point, comme limite du taux de variation. Notation ƒ’(a).
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Point de vue global
– Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.
– Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
– Opérations sur les fonctions dérivables: somme, produit, inverse, quotient, fonction dérivée de xg(ax+b).
– Pour n dans ℤ, fonction dérivée de la fonction xxn
– Fonction valeur absolue: courbe représentative, étude de la dérivabilité en 0.
Capacités attendues
– Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante. Chap. 3Savoir-Faire 1
– Interpréter le nombre dérivé en contexte: pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal… Chap. 3Cours 1 et Exercices
– Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point àunecourbe Chap. 3Cours 1
représentative connaissant le nombre dérivé. et Savoir-Faire 2
– Déterminer l’équation de la tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction. Chap. 3Savoir-Faire 3
– À partir de la dénition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse. Chap. 4Cours 1
– Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables. Chap. 3Savoir-Faire 4 et
Chap. 4Savoir-Faire 1 à 5
Démonstrations
– Équation de la tangente en un point à une courbe représentative. Chap. 3Cours 2
– La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. Chap. 4Cours 1
– Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse. Chap. 3Cours 2
et Chap. 4Cours 1
– Fonction dérivée d’un produit. Chap. 4Cours 2
Variations et courbes représentatives des fonctions
Contenus
– Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée; caractérisation
desfonctions constantes. Chap. 3 p. 58 et Chap. 4 p. 90
– Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative.
Capacités attendues
– Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums. Chap. 3Savoir-Faire 5 et 6
Chap. 4Savoir-Faire 4
– Résoudre un problème d’optimisation. Chap. 3Exercices 96, 100,
105…
Chap. 4Exercices 51,
52, 80…
– Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité. Étudier la position relative de deux courbes représentatives. Chap. 3Savoir-Faire 7
– Étudier, en lien avec la dérivation, une fonction polynôme du second degré: variations, extremum, allure selon le signe
Chap. 3Exemple 10
ducoefcient de x2
Fonction exponentielle
Contenus
– Dénition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vériant ƒ’ =ƒ et ƒ(0) = 1. L’existence etl’unicité
sont admises. Notation exp(x).
– Pour tous réels xet y, exp(x+y) = exp(x)exp(y) et exp(x)exp( x) = 1. Nombre e. Notation ex Chap. 7 p. 172
– Pour tout réel a, la suite (ena) est une suite géométrique.
– Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.
Capacités attendues
– Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Chap. 7Savoir-Faire 2
– Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions tektet tekt Chap. 7Savoir-Faire 3
– Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d’un capital à taux xe,
Chap. 7Exercice 55
décroissance radioactive).
Fonctions trigonométriques
Contenus
– Cercle trigonométrique. Longueur d’arc. Radian.
– Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d’un nombre réel.
Chap. 8 p. 192
– Cosinus et sinus d’un nombre réel. Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle. Valeurs remarquables.
– Fonctions cosinus et sinus. Parité, périodicité. Courbes représentatives.
ProgrAMMEEt MISEEN œUVrEDANSLEMANUEL 7
Capacités attendues
– Placer un point sur le cercle trigonométrique. Chap. 8Savoir-Faire 1
– Lier la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus et le cercle trigonométrique. Chap. 8Cours 3
– Traduire graphiquement la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques. Chap. 8Savoir-Faire 5
– Par lecture du cercle trigonométrique, déterminer, pour des valeurs remarquables de x, les cosinus et sinus d’angles associés à x Chap. 8Savoir-Faire 2
Démonstration
π π π
– Calcul de sin , cos , sin Chap. 8Cours 2
4 3 3
Géométrie
Mise en œuvre
dans le manuel
Calcul vectoriel et produit scalaire
Contenus
– Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
– Bilinéarité, symétrie. En bas2e orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité. Chap. 9 p. 218
– Développement de u+v . Formule d’Al-Kashi. et Chap. 10 p. 244
 
– Transformation de l’expression MA MB
Capacités attendues
– Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dansl’espace. Chap. 9Savoir-Faire 1, 7 et 8
– En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée
Chap. 9Savoir-Faire 7 et 8
(enutilisant la projection orthogonale, à l’aide des coordonnées, à l’aide des normes et d’un angle, à l’aide de normes).
– Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique. Chap. 9Savoir-Faire 2
Démonstrations
– Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire). Chap. 10Cours 3
 
– Ensemble des points Mtels que MA MB= 0 (démonstration avec le produit scalaire). Chap. 10Cours 2
Géométrie repérée
Dans cette section, le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Contenus
– Vecteur normal à une droite. Le vecteur de coordonnées (a; b) est normal à la droite d’équation ax+ by+ c= 0.
Levecteur ( b; a) en est un vecteur directeur. Chap. 2 p. 22
– Équation de cercle. et Chap. 10 p. 244
– Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet.
Capacités attendues
– Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un point et un vecteur normal. Chap. 10Savoir-Faire 1
– Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite. Chap. 10Savoir-Faire 2
– Déterminer et utiliser l’équation d’un cercle donné par son centre et son rayon. Chap. 10Savoir-Faire 3
– Reconnaître une équation de cercle, déterminer centre et rayon. Chap. 10Savoir-Faire 4
– Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation y= ax2+bx+ c Chap. 2Exercices 42 et 43
– Utiliser un repère pour étudier une conguration. Chap. 9Savoir-Faire 3
Probabilités et statistiques
Mise en œuvre
dans le manuel
Probabilités conditionnelles et indépendance
Contenus
– Probabilité conditionnelle d’un événement B sachant un événement A de probabilité non nulle. Notation p (B). Indépendance
A
dedeux événements.
– Arbres pondérés et calcul de probabilités: règle du produit, de la somme. Chap. 11 p. 268
– Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.
– Succession de deux épreuves indépendantes. Représentation par un arbre ou un tableau.
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