Mesures Cylindriques, Espaces de Wiener et Fonctions Aléatoires Gaussiennes

393 Pages·1974·6.347 MB·French

by  Albert Badrikian, Simone Chevet (auth.)

Lecture Notes ni
Mathematics
detidE yb .A Dold dna .B nnamkcE
379
Albert Badrikian
Simone Chevet
Mesures Cylindriques,
Espaces de Wiener
et Fonctions AI6atoires Gaussiennes
IIIIIIIIII I II
Springer-Verlag
Berlin-Heidelberg • New York 1974
treblA naikirdaB
enomiS Chevet
etisrevinU ed tnomrelC
exelpmoC euqifitneicS sed xuaezeC
tnemtrapeD ed seuqitamehtaM seeuqilppA
63170 ecnarF/er@ibuA
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Badrikian, Albert, 1933-
Mesures cylindriques, espaces de Wiener et fonctions
al@at oire s gaussiennes.
(Lecture notes in mathematics, v. 379)
Includes bibliography.
.1 Measure theory. 2. Gaussian processes.
-3 Hilbert space. .4 Convex domains. .I Chevet,
Simone, joint author. .II Title. IIl. Series : Lec-
ture notes in mathematics (Berlin) v. 379.
QA3.I28 vol. 379 [QA3!2] 510'.8s [515'.42] 74-13107
AMS Subject Classifications (1970): 28A40, 46A10, 52A05, 52A25,
60 B15, 60F20, 60G15, 60G20
ISBN 3-540-06843-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg - NewYork
ISBN 0-387-06843-0 Springer Verlag New York Heidelberg • Berlin
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole
or part of the material is concerned, specifically those of translation,
reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photo-
copying machine or similar means, and storage in data banks.
Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other
than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to
be determined by agreement with the publisher
© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1974
Printed in Germany
Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr
PREFACE
La th@orie des mesures cyllndriques s'est d6velopp@e princlpelement
dens deux directions.
O'une pert, la th6orle des applications radoni~iantes qui~ toute r~cente,
a connu n@anmolns un important essor. Elle est en 6change constant avec des
th~orles de l'analyse "fine" Cs@rles de Fourier al~atoires notamment] et des
questions de ~@om@trie d'especes de Benech. Cat essor est dO prlnclpelement
aux @colas Isra611ennes, Parisiennes et Polonaises (apr~s les travaux de
plonniers de l'6cole Russe). Cette th@orle,qui semble avoir trouv@ son cadre
d@~Inltif, 6tudle les applications lin~aires transformant routes les mesures
cylindriques d'un certain type en des mesures de Radon.
O'autre part, le th@orle dite des "especes de Wiener abstraits", qui est
plus ancienne, s'est d6velopp6e lentement avant l'apperition de le th~orie
~@n@rale des mesures cylindrlques ; en gros, ella @tudie les applications qul
transforment une mesure cylindrique donn@e en une mesure de Radon. Cette bran-
che, blen qua moins spectaculeire qua la pr@c@dente, est toutefois utile d'un
triple point de vue :
ella a des applications ~ des probl@mes de contrBle, ~ une
-
th@orie du potentlel dens les Hilbert notemment
- ella permet de trouver des applications radonifiantes gr@ce
au th@or~me de "duallt6"
- enfin, elle permet d'appllquer les concepts g@n@reux de 3a
th@orie des mesures cyllndrlques.
Les travaux sur carte question sont assez dispers6s et manquent ~cheu-
sement d'unit6. Per ailleurs les m6thodes sont loin d'§tre stendardis@es at
assez souvent on utilise des m@thodes di~ficiles pour 6tablir des r@sultats
simples & d6montrer (comma par exemple le support d'une mesure de Radon
IV
~aussienne), nO a 6galement us6 et abus~ du caract~re gaussien (saug dens
l'article de YELDUD - NAMDLEF - EL CAM] pour d6montrer des r~sultats qua
l'on peut etablir plus simplement sous des hypotheses moins restr~ctives,
Dane cat ouvra~e consacr@ & la theorle des espaces de Wiener "absc
traits", nous avons essay@ d'une part d'exposer les bases de cette theorie,
d'autre part de sortir du cadre habituel et en{in de redonner des resultats
qui avaient @t~ etablis anterleurement.
L'expos@ Iest purement introductlf. Les bases proprement dltes sent
~ournles dens les exposes 2 b 5. Nous avons @te conduits &faire une etude
pr@alable de la notion de concentration cyllndrique et des notions d'en-
sembles bombs et d'ensembles de continuit@ pour une ~onction al~atoire li-
nealre et de comparer ces notions entre elles.
Nous nous sommes attaches ~ nepas nous restrelndre au cas localement con-
vexe et au cas de la mesure cylindrique gaussienne normale sur un Hilbert
enTnoc[ dans la th@orle des applications radonifiantes). La lecture pourra
sembler ~astldieuse mais elle @vltere ult@rieurement des r~p@titlons qul
alourdiralent les d@monstratlons. De toute fegon, dens cette pattie, nous don-
nons des applications imm@diates qui ~talent obtenues auparavent dens des cas
particuliars par des m@thodes compliquees (par example, des resultats sur les
supports des mesures de Radon, images d'une mesure cylindrique donnee). Nous
avons @galement, dens cette premiere partle, donne des resultats pour les fonc-
tions al@ato!res lin@aires stables, lee mesures cylindriques invariantes par
isom~tries (qui n'etaient pas consider#es dens la th@orie ctassique des espa-
ces de Wiener),
La deuxi~me partle, ~ partlr de l'expose 6, est consacree prinoipalement
(meis pas excluslvement) & la mesure gausslenne normale sur un Hilbert et aux
processus lin~ai~Z*es gausslens,
L'expose 6 donne des critbres pour qu'un ensemble soit borne ou de conti-
nuit6 reletivement & Is ~onction al~etolre lin@aire normale sur un Hilbert.
Les r~sultats contenus dana lea § ,1 2 et 3 sont dus en substance ~ DUOLEY,
FELDMAN, GROSS, LE CAM et SUDAKOV. L'appendice red@montre et gen@rslise quel-
qua peu certains de ces r@sultets, reprenant certaines id@es de NOSREDNA et
ZALGALLER,
L'expos6 7 donne quelques examples d'ensembles bornes et d'ensembles de
continu±t@ pour les ~onctions alGatoires stables,
L'expos@ 6 est consacre en partie ~ l'etablissement des rGsultats lea
plus profonds de SUDAKOV sur la mesure cylindrique geussienne normele et sea
liaisons avec certalnes questions de la gGometrie des corps convexes June par-
tie de ces resultets qul se leisseit general±set e eta incorporee dens l'ex-
pose 15 ; ±l contient @galement certeins rGsultets sur la theorie de l'eppro-
×±mat±on et ls mesure gaussienne normale (OUDLEY et SUDAKOV). En{in nous y
eJoutons des r@sultats du second des auteurs.
L'expos6 9 etudie l'epport mutuel que se font le th@orie gGn@rale des
processus geussiens et la theorle des processus lin@alres sur un espece loce-
lement cenvexe. !i {aut remarquer que ces deux theories se concurrencent sans
que l'on puisse dire que l'une ait un avantage net sur l'autre ; certains
r~sultats de la seconde theorie sont de slmples implications de la premiere ;
par contre certeins theor~mes de la th@orie gGn@rele des processus gaussiens
sont obtenus plus fecilement an consid@rent ce processus comma "plonge" dens
un prooessus lineaire. Nous pensons que cet expose est une bonne $11ustra-
tion de oette interaction, comme d'silleurs certeins passages de 1'expos@ .8
Lea r~sultats que nous donnons ont d@J& eta rencontr@s dana les exposes ante-
rieurs dens des ces particuliers : ce sont des lols de type 0-I , le support
d'une probabilit~ gaussienne et l'intGgrabilite de certelnes {onctions de la
norme pour une oertaine probebilit@ gaussienne.
VI
Pour le lecteur au courant de la th~orie des mesures cyllndriques tells
qu'elle est expos6e dens SCHWARTZ [1, 2] BADRIKIAN ~I], cat ouvrage sere
"self-contained" car nous publlons des d~monstrations & peu pros comp16tes.
Nous tenons ~ remercier les illustres g6om~tres suivants : DE ACOSTA,
OUDLEY, FELDMAN, KUELBS, LE CAM qui nous ont envoy@ leurs preprints ;
KALLIANPUR dont nous avons suiv± un cours ~ l'Ecole d'Et@ de Saint Flour en
3972 ; FERNIQUE qu±, par ses remarques, nous a permis d'all~ger l'expos6 8.
Cas coll~gues sont d'ailleurs abondamment cit6s au cours des expos6s.
Last but not least notre ami Pierre BOULICAUT, dont le nom n'appara~t
pas dens l'ouvrage, nous a grandement a±d6s. II a partlcip@ ~ notre s6mina±re
sur ce suJet en 1971-72 eta r6dig@ les premibres notes avec le soln qu'on
lui connalt~ ce qui nous a 6t6 grandement utile.
Nous remercions @galement Madame COURAGEOT qui a dactylographi6 avec
d@vouement st eomp6tence cet ouvrage st qui a accept6 de bonne grace de re-
faire le travail qua nous d6~als~o,s au fur et ~ mesure des r@dactions succes-
sires, Mademoiselle Merle-France REBORO, biblioth@ceire du D@partement de
Math@matiques Appliqu6es de Clermont, qul s'est mls & notre service pour nous
fournir la documentation n6cessaire a @galement droit ~ notre gratitude.
Enfin nous remercions la maison Springer Verlag d'evoir bien voulu
accepter ce manuscrit pour publication.
TABLE DES MATIEREs
ESOPXE I ,- MESURE ED WIENER 1
§ 1 . Fonctions al~atoires gaussiennes et processus de Wiener 1
§ 2 . Mesure de Wiener et masure cylindrique 3
§ 3 . Bruit blanc et d~riv~e su sans des distributions de L 7
§ 4 . Une remarque Bur l'expression de L 8
§ 5 , Autres remarques sur la mssure de Wiener 10
ESOPXE iT .- SERUSEM ,SEUQIRDNILYC TNOD L'IMAGE TSE ENU ERUSEM NODAR,,,,ED 21
§ I . Rappels et notations 13
§ 2 . Une condition su~isante pour qua u solt inJectlve 14
§ 3 . Autres conditions pour qu'une mesure de Radon provienne
d'une mesure de Radon 21
§ 4 . Applications aux mesures de Radon sur les espaees ~P
(0 < p < '=' ) 62
§ 5 , Une application du corollalre [Ii,2;4) 30
ESOPXE III -. CONDITIONS GEOMETRIQUES ED CONCENTRATION CYLINDRIQUE 53
§ q . Notations, d~finltlons, propri~t~s ~l~mentalres 53
§ 2 . Concentration cylindrique st cyllndres ~ base ferm~e 48
§ 3 . Concentration cylindrique Bur les parties ~quilibr~es 75
§ 4 . Ensembles convenables, ensembles r~guliers at families
adapt~as 68
§ 5 , Concentration cylindrique et famille de disques 79
§ 6 , Appiicatlons aux mesures de Radon 85
VIII
EXPOSE IV ,- CONDITIONS DE CONCENTRATION CYLINDRIQUE (suite) 90
§ I , Pr61iminelree : cendltlons n~eesseires, d~flnitions et
remarques 90
§ 2 . Mesuras de Radon sur lee espaces vectoriels topologlques
complete 97
§ 3 . Espaces vectoriels topologiques e~par~s par Ieur dual et
v6rifiant (P) 105
§ 4 . Applications & le th@orle des "espaces de Wiener abstraits" 115
§ 5 . Quelques remarques sur lee Jauges ~-mesurebles i25
§ 6 , Semi-normes mesurebles par projection (ou au sens de GROSS) 128
EXPOSE V ,- TRAJECTOIRES DES PROCESSUS LINEAIRES ASSOCIES AUX MESURES
DE RAOON 137
§ I , Ensembles de continuit6 des ~onctlons al~atoires 136
§ 2 . Ensembles born~s pour un processus 146
§ 3 . Ensembles born~s pour lee ~onctions al@atoires "stabies"
sur lee ~P (0 < p < 2) 160
§ 4 ,EnsembIes born~s et ensembles de continuit~ pour des
fonctions al6atoires Inveriantes par ±som6trles sur un
Hilbert 165
EXPOSE VI .- APPLICATION A LA MESURE CYLINDRIQUE GAUSSIENNE NORMALE
,,,, ,,,. . . .
SUR UN HILBERT 179
I , Introduction 179
2 . Semi-normes y(2)-mesurables dane un espace d'Hilbert 184
3 . ComplQments 205
§ 4 . Appendlce 210
IX
EXPOSE VII .- gUELgUES EXEMPLES D'ENSEMBLES BORNES ET D'ENSEMBLES ED
CONTINUITE 222
§ I . Rappeis st remarques 222
§ 2 .Exemples 230
EXPOSE VIII .- G.B. ENSEMBLES, G.C. ENSEMBLES, EPAISSEUR MIXTE et
~-ENTROPIE 243
§ I . Notations de base de met expos~ ; un reppei 246
§ 2 . Epaisseur mixte : d~inition, diff~rentes expressions,
maJoretlon et minoration 252
§ 3 . Epalsseur mixte, G.B, ensembles et G.C. ensembles 275
§ 4 . Compareison des ~peisseurs mixtes de deux compacts convexes
d'un Hilbert H 281
§ 5 . Quelques reppels sur les probebilit~s gausslennes sur ~m 295
§ 6 . Calcul d'@peisseurs mixtes 309
§ 7 . G.B. ensembles et exposant d'entrople 322
§ 8 . Applications yH1-redoniflantes d'un Hilbert I H dens un autre
Hilbert 2 H 332
EXPOSE IX .- COMPLEMENTS SUR LES PROBABILITES DE RADON GAUSSIENNES 337
§ 0 . Reppels de notations june convention 338
§ I , Lois z~ro-un pour les processus geussiens 339
° I n , D@~initions fondamentales et remarques
pr@limineires 339
° 2 n , Lois de type z~ro-un 350
° n 3 . Appiicatlons 354
° 4 n . M~thode de Fernique 364
§ 2 . Support d'une probabillte de Radon geussienne 369
§ 3 . Int~grabillt@ de certaines {onctions de la norme pour
une probabillt6 de Radon gaussienne 372
Bibliographie 377