Merveilleux nombres premiers - Voyage au coeur de l'arithmétique

300 Pages·2013·97.974 MB·French

by  Jean-Paul Delahaye

BIBLIOTHÈQUE SCIENTIFIQUE
Jean-Paul Delahaye
Merveilleux
nombres premiers
Voyage au cœur de l'arithmétique
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POUR LA SCIENCE
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© Pour la Science 2012 ISSN 0224-5159 1513 978-2-84245-117-2

Sommaire
Avant-propos 6
1. Premiers contacts avec les premiers 10
2. Les mathématiques des nombres premiers 32
3. Un monde étrange et troublant 69
4. Brève histoire des nombres premiers 110
5. Des formules pour les nombres premiers 146
6. La raréfaction des nombres premiers 159
?. L'.écart entre les nombres premiers 188
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4 , • 1 Merveilleux nombres premiers
S I p
8. Primalité, factorisation, cryptographie 206
9. Drôles de nombres premiers 250
10. Savoir si un nombre est premier? Facile! 261
11. Un terrain de course numérique 2?4
Les 1000 premiers nombres premiers 282
Sites Internet 284
Bibliographie 285
Index 291
Sommaire 5
Avant-propos
« Les mathématiciens ont tenté, en vain jusqu'à ce jour, de découvrir une régularité dans la suite des
nombres premiers, et nous avons de bonnes raisons de croire qu'il y a là un mystère que l'esprit humain
ne pénétrera jamais. li suffit d'ailleurs, pour s'en convaincre, de jeter un regard sur une table de nombres
premiers { que certains ont pris la peine de calculer jusqu'à plusieurs centaines de milliers]; on est
alors instantanément convaincu qu'il ne règne là ni ordre ni règle. »
Leonhard Euler { 1?0?-1183]
« Le problème de la distinction entre nombres premiers et nombres composés, et celui de la décomposition
d'un nombre en produit de facteurs premiers sont les plus importants et les plus utiles de toute
l'arithmétique.[ ... ] L'honneur de la science semble exiger qu'on cultive avec zèle tout progrès dans
la solution de ces élégantes et célèbres questions. »
Carl Friedrich Gauss { 1???-1855]
Tr ès tôt, dès les premiers partages de jouets ou de friandises, on apprend que
certains nombres entiers, tel 6 = 2 X 3, se «cassent» aisément en deux facteurs.
En revanche, on n'arrivera jamais à décomposer ainsi les nombres 2, 3, 5, 7, ...
Ces nombres sont nommés premiers. Euler et Gauss, deux des plus grands mathé
maticiens de tous les temps, avaient bien compris l'importance des nombres premiers,
ainsi que leur mystère. Les nombres premiers ont une importance centrale en arith
métique, car tout nombre se décompose de façon unique en produit d'un ou de
plusieurs facteurs premiers (150 = 2 X 3 X 5 X 5 ; 7 = 7). Qyant à leur mystère, on
le perçoit en considérant le début de leur suite, par exemple les 25 nombres premiers
inférieurs à 100:
2 3 5 7 1113 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97.
Essayez donc de prédire les écarts entre ces nombres! Nulle règle ne semble gouver
ner la succession des nombres premiers.
Dès l'abord, on pressent que le monde des nombres premiers est infiniment riche.
Je vous propose de vous guider dans les parties explorées de ce monde, jusqu'à la
lisière de l'inconnu, où les mathématiciens sont réduits aux hypothèses, pour une fois
démunis de l'arme de la preuve. La seule qualité requise pour ce voyage est la curio
sité. Je ferai en sorte qu'il vous amuse (le divertissement a toujours été l'un des
) t ,·
6 4 • f Merveilleux nombres premiers
I ' ,
moteurs de l'arithmétique) tout en vous instruisant d'un peu de mathématiques et de
leur histoire. En outre, vous découvrirez, derrière la faune bigarrée des nombres
premiers, des applications devenues cruciales pour le développement de l'informa
tique et des communications modernes.
Le voyage réserve bien des surprises, car l'humanité, intriguée depuis des millénaires
par ces nombres de base (c'est le sens de l'adjectif premiers), a acquis mille connaissances
sur eux. Les nombres premiers sont d'une utilité quotidienne insoupçonnée, et sont au
cœur d'une large gamme de techniques et de produits, de la conception des systèmes de
corrections d'erreurs dans les ordinateurs au cryptage des informations ou à la mise au
point d'algorithmes efficaces dans des domaines tels que le traitement du signal ou le
calcul numérique.
À l'école, on entre subrepticement dans l'univers des nombres premiers en apprenant
la simplification des fractions: par exemple, comment écrire le plus simplement possible
150/275? La recette est connue: on commence par écrire que 150 = 2 X 3 X 5 X 5 et
que 275 = 5 X 5 X 11. La fraction 150/275 devient: (2 X 3 X 5 X 5) / (5 X 5 X 11).
La simplification des 5 donne alors 6/11, fraction plus agréable à utiliser que la première
(surtout si vous devez partager un terrain ou découper un gâteau). Ces décompositions
grâce auxquelles on simplifie les fractions laissent entrevoir que les nombres premiers, ces
« particules élémentaires» de l'univers numérique, jouent un rôle important dans toutes
sortes de situations.
Les nombres premiers sont en nombre infini, comme l'avait déjà démontré Euclide
en prouvant qu'il n'existe pas de «plus grand nombre premier». On n'aura donc pas
raison d'eux par une simple énumération. Au vu de l'irrégularité du début de leur liste,
soulignée en introduction, on soupçonne qu'il n'est pas commode de les connaître dans
le détail, ni d'obtenir des informations précises sur leur répartition. Cette crainte est
justifiée: de nombreuses conjectures sur les nombres premiers restent irrésolues, et les
résultats établis à leur sujet ne l'ont été le plus souvent qu'au terme d'efforts considé
rables, parfois poursuivis pendant plusieurs siècles, voire plusieurs millénaires. C'est ainsi
qu'on ignore encore, malgré d'importants efforts de recherche, s'il existe une infinité de
nombres premiers «jumeaux», c'est-à-dire de couples de nombres premiers espacés de
deux unités, tels que 3 et 5, ou 17 et 19.
Les nombres premiers connaissent un regain d'intérêt depuis qu'on leur a trouvé des
propriétés utiles pour qui souhaite transmettre, coder ou cacher de l'information. À la suite
de l'invention de l'algorithme de cryptographie RSA en 1978, les recherches sur les nombres
premiers, jusqu'alors reléguées au domaine des curiosités mathématiques, ont suscité un
intérêt considérable. En 20 ans, il ne s'est pas démenti, bien au contraire: à mesure que les
réseaux informatiques de télécommunication tissaient leurs toiles partout, sur la Terre et
Avant-propos 7
dans l'espace, on s'est mis à utiliser des nombres premiers plus grands que tous ceux qui
étaient connus il y a 20 ans (il n'est pas rare - et c'est même conseillé aujourd'hui dans
certaines applications - d'utiliser des nombres premiers de plus de 100 chiffres).
Entre les méthodes pour trouver de grands nombres premiers qui, multipliés, crée
ront la clé du cryptage (le « bouclier» pour protéger l'information), et les algorithmes de
factorisation des grands nombres («l'épée» pour la décrypter), la guerre est incessante.
Elle est capitale sur le plan économique et militaire: si une agence d'espionnage réussis
sait à faire beaucoup mieux que les autres en matière de décomposition en facteurs
premiers - c'est peut-être le cas sans qu'on le sache-, elle prendrait un avantage déter
minant sur ses ennemis.
Cent autres exemples présentés ici vous le prouveront: le monde qui s'anime
autour des nombres premiers est riche d'histoire, d'actualité, d'avenir et, n'oublions
pas, d'amusements.
Mode d'emploi du livre
Les mathématiques autour des nombres premiers sont d'une richesse débordante: un
traité complet occuperait des milliers de pages. Nous avons pourtant choisi d'aborder le
plus grand nombre possible de thèmes et, pour chacun d'eux, de retenir l'essentiel.
Pour ceux qui ont tout oublié de l'arithmétique élémentaire, nous présenterons avec
soin les idées de base - plutôt au début du livre. Les notions de difficulté moyenne
- plutôt au milieu et à la fin du livre - seront proposées là encore avec quelques détails dès
que nécessaire. Qiant aux concepts et résultats les plus avancés - parfois réellement diffi
ciles-, ils sont disséminés partout dans le livre, exposés brièvement dans un langage aussi
élémentaire que possible.
Nous ne considérerons pas de démonstrations trop longues ou faisant intervenir des
notions trop abstraites. Certains énoncés sont faciles à comprendre, alors que leur démons
tration est d'une technicité qui la réserve aux spécialistes: s'interdire de mentionner ces énon
cés serait absurde, vouloir en détailler la démonstration serait déraisonnable. Des références
.......
renverront les lecteurs intéressés aux ouvrages et articles qui approfondissent le sujet. Ces
théorèmes seront indiqués par une petite colonne (logos ci-contre), les conjectures (hypothèses
t
non démontrées) par une petite ampoule, et les démonstrations par un engrenage. Les défi
nitions seront indiquées par une main, et les algorithmes par un enchaînement de flèches.
Les records de calcul changent chaque mois. Nous donnons les plus intéressants à la
date de l'impression du livre et renvoyons les lecteurs aux sites Internet (dont certains
sont excellents et parfaitement tenus) qui répertorient ces records au jour le jour.
Les amateurs de records pourraient s'en tenir à ces données. Toutefois, pour appré
cier pleinement ce voyage parmi les nombres premiers, n'omettez pas de goûter la beauté
des théorèmes et des démonstrations. Les mathématiques sont en effet partie intégrante
de la culture humaine, et l'on ne devrait plus pouvoir passer pour un bel esprit en se
vantant d'y être réfractaire.
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8 • ,· 1 Merveilleux nombres premiers
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