Table Of Content

r u t a r e t t i l t n e d u t S ~ . .. • Nicholas Apazidis ' Mekan· Statik och partikeldynamik • ce1 Studentlitteratur Omslagsbild Rymdstationen ALPHA På bilden visas rymdstationen Alpha eller ISS (International Space Station) i en bana kring jorden. Rymdstationen är under konstruktion och beräknas vara klar år 2004. Den kommer i färdigt skick att ha levnads-och vistelse utrymmen motsvarande två jumboplan, en massa på omkring 500 ton och solpanelarea på cirka 4000 m2. Rymdstationen är ett samarbetsprojekt mellan rymdstyrelserna i U.S.A., Ryssland, Europa, Japan och Kanada. 00 KOPIERINGSFÖRBUD Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Denna trycksak är miljöanpassad, både när det gäller papper och tryckprocess. Art.nr 31397 ISBN 978-91-44-04245-9 Upplaga 1:3 © Nicholas Apazidis och Studentlitteratur 2004 www.studentlitteratur.se Omslagsbild: Nasa Omslagslayout: Pernilla Eriksson Printed by N~rayana Press, Denmark 2008 Innehållsförteckning Förord ,, Inledning Statik 1 Vektoralgebra 1 1.1 Skalär och vektor 1 1.2 Skalärprodukt 3 J .3 Vektorprodukt 6 2 Dimensions betraktelser 15 2.1 Matematisk modell 15 2.2 Dimensioner och måttsystem 16 2.3 Dimensionsanalys 18 3 Kraft och kraftmoment 29 3.1 Kraft 29 3.2 Kraftmoment 30 3.3 Kraftmoment med avseende på en axel 34 4 Kraftsystem 43 - 4. l Kraftsystem 43 4.2 Kraftparet 43 4.3 Reduktionsresultatet 44 4.4 Sambandsformeln för kraftmomentet 46 4.5 Ekvimomenta kraftsystem 47 4.6 Kraftskruv. Enkraftsresultant 48 5 Masscentrum 59 5.1 Partikelsystem 59 5.2 Stel kropp 61 5.3 Sammansatt kropp 61 5.4 Pappus regler 68 6 Jämvikt 79 6.1 Jämviktsvillkoren 79 6.2 Jämvikt i 2D 81 6.3 Jämvikt och friktion • 90 6.4 Jämvikt i 3D 96 6.5 Remfriktion 102 6.6 Virtuellt arbete 104 Partikelns dynamik 7 Partikelns kinematik 137 7. I Inledning 137 7 .2 Kartesiska koordinater 138 7.3 Naturliga komponenter 146 7.4 Cylinderkoordinater 158 8 Rörelsemängdslagen 179 8.1 Newtons lagar 179 8.2 Rörelsemängdslagen i olika koordinater 185 8.3 I nertialsystem. Gal i leitransformat:ionen 202 8.4 Accelererande system 204 8.5 Rörelsemängdslagen för ett partikelsystem 207 9 Arbete och energi 249 • 9.1 Arbete, effekt och kinetisk energi 249 9.2 Lagen om den kinetiska energin 252 9.3 Konservativa krafter. Potentiell energi 253 9 .4 Energiekvationen 257 10 Momentekvationen 283 I 0.1 Rörelsemängdsmoment 283 10.2 Momentekvationen 285 I 0.3 Partikelsystern. Rotation kring fix axel 290 11 Impuls och stöt 305 l J. I lmpulslagarna 305 11.2 Stöt 309 11.3 Stötimpulslagen 310 11.4 Studstalet 311 12 Centralrörelse 327 12.1 Sektorhastigheten 327 J 2.2 Binets formel 330 12.3 Satellitbanor 331 12.4 Omloppstiden 334 12.5 Hastigheten 339 13 Svängningar 351 13.1 Fri odämpad svängning 351 13.2 Fri dämpad svängning 356 13.3 Påtvingad odämpad svängning 362 13.4 Påtvingad dämpad svängning 365 A Appendix 381 A.l Lösningar till valda uppgifter 383 A.2 Fonnler och tabeller 447 Bild förteckning 455 Sakregister 456 Förord Föreliggande material är avsett att fungera som läromedel till första kursen i mekanik för ci vilingenjörsutbildningen vid en ,.eknisk högskola. Materialet omfattar Statik och Partikel dynamik. Texten har utformats successivt från föreläsningsanteckningar för baskursen i me kanik som författaren har hållit för olika studieinriktningar på KTH. Innehållet försöker att förmedla en samwanhängande bild av mekanikämnet vilande på ett fundament som består av ett fåtal allmänna naturlagar. I detta avseende är mekaniken, som är fysikens äldsta gren, särskilt lämpad för att utveckla och befästa det fysikaliska tänkesättet vid problemanalysen. Detta tänkesätt innebär att man på ett systematiskt sätt bygger upp en ma tematisk modell som beskriver en konkret situation inom de tekniska tillämpningarna eller i naturen. Varje kapitel börjar med en kort sammanfattning av innehållet och avslutas med re petitionsfrågor vilka sammanfattar de viktigaste momenten i kapitlet. Genom att besvarades sa frågor kan man därför både repetera och befästa materialet i det aktuella kapitlet. Exemplen och problemen i boken belyser användningen av de allmänna principerna i en kon kret situation. Frågeställningarna i dessa är oftast formulerade så att den sökta fysikaliska storheten skall bestämmas symboliskt, dvs som funktion av övriga fysikaliska parametrar. Därigenom kan man utvärdera svarets rimlighet men också följa lösningens uppbyggnad och struktur. Insättning av de numeriska värden som exemplifierar något konkret fall kan då göras i slutet på lösningen. Exemplen i boken behandlas detaljerat och är till för att belysa och träna den teknik som används vid problemlösningen. Uppgifterna i slutet på varje kapitel kan sedan behandlas på ett liknande sätt. Svårighetsgraden i uppgifterna är markerad med stjärnor, från en stjärna som motsvarar en inledande svårighetsgrad till tre stjärnor för mer omfattande upp gifter. Alla uppgifter har svar och ungefär en tredjedel av uppgifterna har fullständiga lös ningar som är givna i slutet på boken. Dessa uppgifter är markerade med ett (L). Den stimulerande miljön på mekanikinstitutionen, KTH och inte minst de livliga diskussio nerna vid lunchbordet har varit ett välkommet inslag och jag vill framföra ett varmt tack till mina vänner och kollegor för alla kritiska synpunkter och konstruktiva förslag. Jag vill också rikta ett stort tack till Bonnie Olsson, Ronnie Andersson och Inger Jäncher på Studentlitteratur i Lund för all hjälp och det stöd som jag fått under förberedelsen av detta material. Ett varmt tack till Anita Apazidis för en noggrann språklig genomgång av texten. Slutligen vill jag tacka alla de studenter som jag träffat genom åren. De har bidragit till att jag successivt har kunnat införa förbättringar i texten. Stockholm, l O december 2003 Nicholas Apazidis Förklaringar till figurerna på nästa sida: 1. Kometen Sboemacher-Levi kolliderar med Jupiter. Den energi sor» frigörs vid kolli sionen är större än energin hos hela jordens kärnvap.enarsenal. Såväl beräkningar av kometens bana som beskrivningen av den resulterande stötvågens rörelse på Jupiters yta utförs med hjälp av mekanikens lagar. 2. Rymdfarkosten Cassini bromsar in för att gå in i en bana kring Saturnus. Ankomsten till Saturnus är beräknad till år 2004. 3. Tornado i mellersta USA. Vindhastigheterna i en tornados kärna kan nå upp till 400 km/h. Tillgången till allt kraftfullare datorer har öppnat nya möjligheter för mer lång siktiga och exakta väderprognoser. Dessa beräkningar är baserade på mekanikens la gar. 4. En katt landar alltid på fötterna! Kattens akrobatik lyder mekanikens lagar. 5. Spiralformad galax NGC 1232. 6. En lithotriptor - en njurstensförstörare. Njurstenar kan förstöras med pulser av stötvå gor som fokuseras med hjälp av en ellipsoidal reflektor. Beräkningar av stötvågens fortplantning i reflektorn utförs med hjälp av mekanikens lagar. 7. Industrirobot. Inte bara krafterna utan även rörelsebeskrivningen tillhör det vi kallar för mekanik. 8. Jas Gripen. Vid utvecklingen av nya flygplan kan många dyra fullskaleprov ersättas av datorsimuleringar baserade på mekanikmodeller. '