Mehrfachregelungen. Grundlagen einer Systemtheorie: Zweiter Band

468 Pages·1971·17.37 MB·German

by  Dr.-Ing. Helmut Schwarz (auth.)

Mehrfachregelungen
Grundlagen einer Systemtheorie
Von
Dr.-Ing. Helmut Schwarz
Wissenschaftlicher Rat
und Professor an der Technischen Universitat Hannover
Zweiter Band
Mit 193 Abbildungen und 12 Tafeln
Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York 1971
ISBN-13: 978-3-642-93005-8 e-ISBN-13: 978-3-642-93004-1
DOl: 10.1007/978-3-642-93004-1
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® by Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1971.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1971
Library of Congress Catalog Card Number: 67-14554
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. In diesem Buche berechtlgt
auch ohne besondere Kennzelchnung nicht zu der Annahme, daB solche N amen im Sinne der Warenzeichen-und
Markenschutz-Gesetzgebung a1s frei zu betrachten wilren und daher von jedermann benutzt werden diirften.
Vorwort
In dem nun vorliegenden zweiten Band werden die im ersten Band schon
angekiindigten Analyse- und Synthesemethoden fUr Mehrfachregelsysteme behan
delt, die wesentlich auf dem Begriff des Zustandsmodells beruhen. Dieser Band
erscheint durch einen USA-Aufenthalt des Verfassers bedingt zwar spater als
geplant, doch diese Verzogerung brachte den Vorteil, daB neuere, in der Literatur
bekanntgewordene Ergebnisse zu dem noch in Entwicklung befindlichen Gebiet
eingearbeitet werden konnten. So fand beispielsweise das yom Verfasser geleitete
"IFAC Symposium iiber MehrgroBenregelungen" 1968 (Diisseldorf) statt, wo
erstmalig eine zusammenfassende Diskussion der mit MehrgroBenregelproblemen
verkniipften Probleme ermoglicht wurde.
Inzwischen hat sich eine weitere Klarung der mit den MehrgroBenregelungen
zusammenhangenden Fragen ergeben, so daB die hier vorgelegte Auswahl aus
den vorhandenen systemtheoretischen Ideen und Methoden wohl den Anspruch
erheben darf, dem in der Forschung und bei der Losung praktischer Aufgaben
Tatigen eine Hilfe zu bieten. Es erscheint mir aber angebracht, an dieser Stelle
noch einmal auszusprechen, daB in der mit dem vorliegenden Band vorlaufig
abgeschlossenen Darstellung systemtheoretischer Fragen der Mehrfachregelungen
nur grundsatzlich zur Verfiigung stehende Hilfsmittel zur Losung praktischer
Aufgaben beschrieben werden sollten. An einer Reme durchaus "akademisch"
zu nennender Beispiele werden zwar wesentliche Eigenschaften der Methoden
erlautert; bei dem vorgegebenen Umfang des Buches konnten aber spezielle
Probleme einzelner technischer Disziplinen nicht vollstandig durchgerechnet
werden.
Der Stoff dieses Buches ist - in Fortsetzung des ersten Bandes - in die vier
Kapitel VI bis IX gegliedert. In Kapitel VI werden die Grundlagen der Zustands
raumdarstellung eingefiihrt, wobei die Einfachsysteme zunachst im Vo rdergrund
stehen, urn das prinzipiell Neue und Wichtige klarer darstellen zu konnen. Neben
den linearen kontinuierlichen Systemen werden nun auch die zeitdiskreten
Systeme behandelt. Denn es zeigen sich vornehmlich bei den Zustandsmodellen
kontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme sehr viele niitzliche analoge Gesetz
maBigkeiten. Dariiber hinaus ist fUr den Bearbeiter von MehrgroBenregelproble
men bei dem nahezu immer notwendigen Einsatz digitaler oder hybrider Rechen
maschinen die Kenntnis der wichtigsten Eigenschaften zeitdiskreter Systeme
zwingend. SchlieBlich ist abzusehen, daB die zeitdiskreten Systeme mit der
weiteren Einfiihrung von ProzeBrechnern in MehrgroBensystemen zunehmende
Bedeutung erlangen.
In Kapitel VII werden mathematische Begriffe und GesetzmaBigkeiten der
linearen Algebra, insbesondere fiir lineare Vektorraume und Matrizenfunktionen,
in gezielter Auswahl zusammengestellt. Dieses Kapitel, das inhaltlich eine Fort-
IV Vorwort
setzung des Kapitels II darstellt, enthalt die mathematischen Hilfsmittel, die
zum Verstandnis der nachfolgenden systemtheoretischen Fragen notwendig sind.
Bei einem ersten Studium kann dieses mehr zum Nachschlagen gedachte Kapitel
erst einmal iibergangen werden.
Einen Schwerpunkt dieses Buches stellt das Kapitel VIII dar, in dem spezielle
Analyse- und Synthesemethoden fiir MehrgroBenregeIsysteme ausfiihrlicher dar
gestellt sind. Der erste Abschnitt bringt eine gezielte Auswahl einiger Ideen der
klassischen Mechanik, die ihren Niederschlag in der "modernen" Systemtheorie
der Zustandsmodelle gefunden haben. So laBt sich hier ein interessanter Zu
sammenhang zu den Begriffen der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines
Systems aufzeigen, die ich im nachsten Abschnitt ausfiihrlicher und wohl auch
genauer eingefiihrt habe, als es in vergleichbaren Darstellungen getan wird. Bei
den dann folgenden Fragen der mathematischen Realisierungen von Vber
tragungsfunktionen ergibt sich eine groBe Zahl reizvoller und z. T. wohl auch
schwieriger Probleme. Die mathematischen Realisierungen schlagen eine not
wendige Briicke zu den im 1. Band beschriebenen Verfahren. Neben einer aus
fUhrlichen Darstellung der fiir die praktischen Anwendungen so wichtigen "Zu
standsbeobachter" werden dann die Stabilitatsfragen bei MehrgroBenregel
systemen noch einmal aufgegriffen und von einem iibergeordneten Gesichtspunkt
betrachtet.
Das Kapitel IX bringt eine Einfiihrung in die nicht einfachen Probleme der
Synthese optimaler Regelkreise, denn bei der Bearbeitung praktischer Aufgaben
wird wohl immer auch die Frage nach der optimalen L6sung gestellt werden,
wobei dann von Fall zu Fall geeignete Beurteilungskriterien zu definieren sind.
Der Stoff dieses Kapitels wurde wahrend meines von der Deutschen Forschungs
gemeinschaft finanzierten USA-Aufenthaltes erarbeitet, wobei ich wertvolle An
regungen von Herrn Professor GENE F. FRANKLIN, Stanford University, erhielt.
Bei der allgemeinen Behandlung optimaler Systeme sind zunachst die nicht
linearen Systeme eingeschlossen, doch stehen auch hier die linearen Systeme im
Mittelpunkt des Interesses. Das am SchluB behandelte KALMAN-Bucy-Filter
stellt als ein duales Problem zu dem des optimalen Regelsystems eine interessante
Erganzung des in Kapitel IV behandelten Stoffes dar.
Fiir eine erfolgreiche Arbeit mit diesem Buch werden bestimmte mathe
matische Vorkenntnisse beim Leser vorausgesetzt. Hervorzuheben ist vor allem,
daB ein gewisses Verstandnis fUr algebraische Probleme erwartet wird. Ich habe
mich aber bemiiht, bei der Darstellung des systemtheoretisch relevanten Stoffes
die wesentlich erscheinenden mathematischen GesetzmaBigkeiten und Voraus
setzungen aufzufiihren.
Eine gegeniiber der Darstellung im 1. Band wesentliche Anderung ist darin
zu sehen, daB notwendige V oraussetzungen und wichtige GesetzmaBigkeiten in
die auBere Form von "Definitionen" und "Satzen" gefaBt wurden. Soweit diese
Ergebnisse aus der einschlagigen mathematischen Literatur iibernommen wurden,
sind sie ohne Beweise nur zitiert, da sie nur als Hilfsmittel zur Erhellung der
physikalischen und technischen Zusammenhange herangezogen werden.
Zwar wurde das System der Gleichungs- und Abbildungsnummern vom
ersten Band iibernommen, doch wurden die Gleichungsnummern aus Grunden
der Vbersichtlichkeit und des vereinfachten Satzes in verkiirzter Form notiert.
v
Vorwort
Statt z. B. (VIII.6.5) fur die 5. Gleichung im Abschnitt 6 des Kapitels VIII ist
an der betreffenden Gleichung nun nur (5) gesetzt. 1m jeweiligen Abschnitt
werden die Gleichungen auch nur mit dieser Nummer, z. B. (5), zitiert. SchlieB
Hch ist in diesem Zusammenhang noch zu bemerken, daB die diesem Band bei
gegebene Zusammenstellung der Formelzeichen auch die wichtigsten im ersten
Band verwendeten umfaBt.
Dieses Vorwort mochte ich mit einem herzlichen Dank an all diejenigen
beschlieBen, die zum Gelingen meiner Arbeit beitrugen.
Zunachst sind die Studenten meiner Vorlesungen an der TU Hannover zu
nennen, die durch zahlreiche Diskussionsbemerkungen und Korrekturwiinsche
an Vorlesungsskripten, die einzelnen Kapiteln dieses Buches zu Grunde liegen,
zur Klarung der Darstellung beitrugen. Wertvolle Impulse erhielt ich durch
Gesprache mit meinen Kollegen und Mitarbeitern am hiesigen Institut. Der
Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich fUr die finanzielle Unterstut~ung
der Forschungsvorhaben, deren Ergebnisse in diesem Band ihren Niederschlag
fanden. Den Herren Dipl.-Ing. K. HEYM und cando el. I. LUDEWIG schulde ich
besonderen Dank fUr ihre Hilfe bei der Durchsicht und Korrektur. Dem Verlag,
der auch bei diesem Band verstandnisvoll auf meine Wunsche einging und dieses
Buch vorzugHch ausstattete, bin ich sehr verbunden.
Hannover. im Herbst 1970
Helmut Schwarz
Inhaltsverzeichnis
VI. Grundlagen zur Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme. 1
1. Einfiihrung der Zustandsvariablen . . . . . . . . . 1
1.1 Einleitung. . . . . . . . . . . • . . • . . . 1
1.2 Definition der Zustandsvariablen eines Systems . 3
1.3 Axiome und Definitionen zur Zustandsdarstellung eines Systems 6
1.4 Anmerkungen zur Zustandsraumdarstellung dynamischer Systeme. 8
2. Beispiele von Zustandsmodellen technischer Systeme . 9
2.1 Vorbemerkung. . . . . 9
2.2 Fliissigkeitsstandregelung 10
2.3 Elektrisches Netzwerk . 11
2.4 Doppelreduzierstation 13
3. Lineare, zeitinvariante kontinuierliche Systeme 14
3.1 Das dynamische Gleichungssystem und seine LAPLAcE·Transformierte 14
3.2 Dynamische GIeichungen der Einfachsysteme mit F(s) = -N1 17
Z (s) (s)
3.3 Dynamische GIeichungssysteme mit F(s) = N(s) . 23
3.4 Reelle Systemformen schwingungsfiihiger Einfachsysteme. 27
3.5 Zusammengesetzte Systeme . . . . . 29
4. Dynamik linearer kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . 38
4.1 Vorbemerkungen. . . . . . . . . . . • . . . . . . . 38
4.2 Existenz und Eindeutigkeit von Losungen gewohnlicher Differential-
gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Lineare homogene Vektordifferentialgleichungen 1. Ordnung . 40
4.4 Eigenschaften der Fundamentalmatrix fP (t, to) . • . . • . • 41
4.5 LOsung der linearen inhomogenen Vektordifferentialgleichung. .43
4.6 Zusammenhang zwischen den Klemmeniibertragungsfunktionen und
fP (t , to) • • • 44
5. Diskrete Systeme. . . . • . • . . 46
5.1 Einleitung. . . . . • . . . . 46
5.2 Grundbegriffe zu diskreten Systemen 47
5.3 Lineare diskrete Systeme . . . . . . 50
5.4 Losung der linearen Vektordifferenzengleichung . 52
5.5 Kontinuierliche Systeme mit getasteten Eingangssignalen 55
5.6 Die Vbergangsmatrix des diskreten Systems 63
5.7 Einfiihrung der z-Transformation . . . . . . . . . . . 67
5.8 Einige Eigenschaften der z-Transformation . . . . . . . 72
5.9 Die komplexe Vbertragungsfunktion fiir diskrete Systeme 77
5.10 Die transformierten GIeichungen getasteter kontinuierlicher Systeme. 80
6. Lineare Systeme mit Totzeit . . . . . . . . . . 88
6.1 Vorbemerkung. . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Zustandsmodelle linearer Systeme mit Totzeit. 89
6.3 Losungen der Differentialgleichungen mit nacheilendem Argument. 91
Inhaltsverzeichnis VII
7. Zustandsmodelle nichtlinearer Systeme 94
7.1 Einleitung . 94
7.2 Aufstellung des Zustandsmodells . 95
7.3 Zusammengesetzte nichtlineare Systeme 96
VII. Lineare Vektorraume und Matrizenfunktionen 98
1. Vorbemerkungen 98
2. Lineare Vektorraume 98
2.1 Definitionen zum Vektorbegriff 98
2.2 Lineare Transformationen • 103
2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 105
2.4 Inneres Produkt und Vektornorm 109
2.5 Orthogonalitat und orthogonale Projektion 111
2.6 Lineare Gleichungssysteme und die Pseudoinverse . 116
2.7 Quadratische Formen. 119
2.8 Bezeichnungen wichtiger Vektorfunktionen . 121
2.9 Bezeichnungen einiger linearer Vektorraume 123
3. Matrizenfunktionen und Polynome . 124
3.1 Definitionen zu Polynommatrizen 124
3.2 Charakteristisches und Minimalpolynom 126
3.3 Matrizenfunktionen . 128
3.4 LAGRANGE-SYLVESTERSche Interpolationspolynome . 130
3.5 Berechnung der Fundamentalmatrix eA t 133
4. Invarianten und Strukturen von Matrizen. 138
4.1 Normalform konstanter Matrizen 139
4.2 SMITHSche Normalform der Polynommatrizen . 141
4.3 Elementarteiler charakteristischer Matrizen . 144
4.4 Kanonische Koeffizientenmatrizen . 148
4.5 Transformationen auf JORDAN-kanonische Form. 154
4.6 Transformation auf FROBENIus-Form. 160
4.7 Eigenschaften symmetrischer Matrizen . 164
VIII. Spezielle AnalY,se- und Syntheseprobleme der MehrgroBenregel-
systeme. . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1. Ermittlung von Zustandsmodellen mittels LAGRANGE-Funktionalen. 167
1.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . 167
1.2 Einfiihrung des LAGRANGE-Funktionals. . . . . . 168
1.3 Erlauterung der Energiefunktionale . . . . . . . 172
1.4 LAGRANGESche Gleichungen und NEWTONS Gesetz . 174
1.5 Verallgemeinerte Koordinaten und Zwangsbedingungen 178
2. Das Konzept der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit eines Systems. 181
2.1 Einfiihrung. ...................... 181
2.2 Ausgangssteuerbarkeit linearer zeitvariabler Systeme. . . . . 183
2.3 Zustandssteuerbarkeit und Beobachtbarkeit zeitvariabler Systeme. 189
2.4 KALMAN-kanonische Zerlegung und das Dualitatsprinzip . . . .. 193
2.5 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit zeitinvarianter kontinuierlicher
Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197
2.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit linearer zeitdiskreter Systeme . 206
3. Rationale 'Obertragungsmatrizen als Systemmodelle . 212
3.1 Vorbemerkung. . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.2 Die McMILLAN-Normalform . . . . . . . . . . . 213
3.3 Ein Konstruktionsalgorithmus zur McMILLAN-Form 218
VITI Inhaltsverzeichnis
3.4 Der Grad einer rationalen Matrix . . . . . . . . . . . . . . 222
3.5 Minimalrealisierungen rationaler Matrizen .......... 225
3.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit zusammengesetzter Systeme. 230
3.7 MinimaIrealisierungen eigentlicher tlbertragungsmatrizen 232
3.8 Rechenschritte und Beispiele zur KALMAN-Realisierung 237
3.9 Minimalrealisierungen spezieller Zweifachsysteme 244
4. Rationale Systemmatrizen nach ROSENBROCK 253
4.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.2 Systeme minimaler Ordnung . . . . . . . . . 256
4.3 Ein Algorithmus zur Ermittlung der minimalen Systemordnung 259
5. Algebraische Realisierungen nach HO-KALMAN . 262
5.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2 Die algebraische Realisierung . . . . . . . . . . . 263
5.3 Anmerkungen zur verallgemeinerten HANKEL-Matrix. 268
5.4 Beispiele zur algebraischen Realisierung . . . . . . 270
5.5 Algebraische Realisierungen linearer dynamischer Systeme 271
5.6 H-Modelle fiir lineare Systeme . . . . . . . . . . . . 275
5.7 Zur Bestimmung der MARKov-Parameter linearer Systeme . 279
5.8 Beispiele zur Realisierung dynamischer Systeme. . . . 284
6. Systeme zur Zustandsschatzung aus Systemausgangssignal~n . . 287
6.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.2 Das Beobachterprinzip nach LUENBERGER (Einfachsysteme) 289
6.3 Beobachter fUr Mehrfachsysteme . . . . . 294
6.4 Beobachter nach GILCHRIST. . . . . . . . . . . . . 299
6.5 Beobachter fur lineare zeitdiskrete Systeme. . . . . . 303
7. Systeme mit Zustandsmodellen spezieller kanonischer Form. 305
7.1 Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.2 Kanonische Formen fiir Einfachsysteme . . . . . . . 306
7.3 Die beobachtungskanonische Form fiir MehrgroBensysteme . 309
7.4 Steuerungskanonische Strukturen 316
8. Stabilitittsanalyse nach WAPUNOV 319
8.1 Einleitung. . . . . . . . . 319
8.2 Stabilitatsdefinitionen. . . . 319
8.3 LJAPUNOVS direk.te Methode. 323
8.4 Lineare kontinuierliche Systeme . 329
8.5 Der Satz von KRASOVSKII . . . 334
8.6 Lineare zeitdiskrete Systeme . . 336
8.7 Systemsynthese mittels der direkten Methode. 339
9. Stabilitat linearer Melu:fachregelkreise 343
9.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . 343
9.2 Stabilitatsdefinitionen zum Zustandsmodell 344
9.3 Stabilitat des Zustandsmodells . . . . . 346
9.4 Stabilitat von Vbertragungsmodellen. . . 349
9.5 Stabilitat zusammengesetzter Mehrfachsysteme 352
9.6 Stabilitat des Regelkreises mit Beobachtern 353
IX. Optimale Regelungssysteme . . . . 357
1. Einfiihrung . . . . . . . . . . . . 357
2. Das Problem der optimalen Steuerung 359
2.1 Aspekte der Variationsrechnung . 359
2.2 Formulierung des optimalen Steuerungsproblems 364
2.3 Optimale Systeme mit Nebenbedingungen . . . 367
InhaltsverzeichniH IX
3. Losungsmethoden optimaJer Htcnerungsprobleme . 370
3.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . :370
3.2 Empfindlichkeitsvektoren fiir MEYER-Probleme 371
3.3 Adjungierle Systeme . . . . . . . . . . . . 3n
:3.4 Empfindlichkeitsvektoren fiir LAGRAcwE·Probleme. 374
3.5 Die Steuerungsempfindlichkeit. . . . . . . 37H
:J.H Methode der LAGRANGEschen Multiplikatoren . . . :379
3.7 Xotwendige Bedingungen fiir ein Optimum'. . . . 382
4. Losnng des Optimierungsproblems naeh HAlIlILTON-J.H'OBI-CARATHEODORY. 384
4.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :384
4.2 Ein Lemma von CARATHEODOIW. . . . . . . . . . . :38;")
4.3 Die HAMILToN-JAcoBI-partielien Differentialgleiehungen :387
4.4 Kanonische Differentialgleichungen. . . 391
4.5 PONTRJAGINS Theorem . . . . . . . . 39:3
4.H Xebenbedingungen fur den Endzustand :39H
5. Lineare Systeme mit quadratischen Kostenfunktionalen 400
5.1 Problemstellung . . . . . . . . 400
5.2 Die Optimierungsbedingungen. . . . . . . . . . 402
5.3 Beispiel eines einfaehen Systems. . . . . . . . . 407
5.4 Optimierungsbedingungen aus der HAl\ULToN-JAcoBI-Theorie 408
5.5 Die Matrix-RICcA'fr-Differentialgleichung 410
5.H Optimale Regelung der Ausgangssignale 412
5.7 Xebenbedingungen fiir den Endzustand 414
5.8 Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . 417
Ii. Optimale Systeme mit StellgroBenbesehrankung 419
(U Problemstellung . . . . . . . . . . . . 419
H.2 Ableitung notwendiger Optimierungsbedingungen 420
H.3 Das Minimumprinzip . . . . 423
H.4 Lineare zeitoptimale Systeme 42()
7. KALMAN-Bucy-Filter . . 428
7.1 Einleitung. . . . . 428
7.2 'Veitere Definitionen und Ergebnisse der Theorie stochastis('her Yor-
gange. . . . . . . . . . . . . .. . ............ 429
7.3 GAuss-MARKOy-PrOzesse. . . . . .. ............. 433
7.4 Losung des WIENERschen Filterproblems mitt('ls des Projektionstheorems 431\
7.5 Problemstellung von KALMAN-Bucy . . . . 438
7.H Ableitung der kanonischen Filtergleiclumgell 442
7.7 Zeitdiskrete Filter . . . . . . . . 444
7.8 KAUIA~-Bucy-Filter als Beobaehter. . . . 44H
Literaturverzeichnis . 449
Sachverzeichnis ... 453
Schwa}'/':, :\Tf'hrfaehregp1ulJgen II Ia
Bezeichnungen und Formelzeichen
Systemmatrix [ a [) ]2'
/",{;r) = -/ .. , -.-/ Gradienten-
nnr beobachtbarer Tei! der
ax! dx" vektor
Systemmatrix
beobachtbarer nnd stellerbarer /",(x) = [a~k /1] JACOBI-Matrix
Teil der Systemmatrix,
F(s) kOl1lplexe Vbertragungsfunk
weder beobachtbarer noch
tion
stenerbarer Tei! der System
matrix F(s) = [Fk/(8)] komplexe Vbertragungs-
matrix .
nur stenerbarer Teil der
Systemmatrix
G(f) Gewichtsfunktion (Impuls-
III Systemmatrix des Teilsystems 1 antwort)
11 konjngiert komplexe Matrix O(t) Gewichtsmatrix
"4 T tramlponierte Matrix
A* konjngiert komplexe transpo- Jl HANKEL-Matrix
nierte Matrix H = H* HERMITESche Matrix
,1-1 = [j Ak/l] inverse Matrix H = or* H or HERMITEsche Form
" IAI H (8) Hanptnenner
Aadj = [IAul] adjungierte Matrix
IA I = Ll Determinante einer Matrix J(u,y,f) Kostenfunktional
J JORDAN-Matrix
Steuermatrix
Korrekturnetzwerk
Steuermatrix des beobachtba
elementare Transformations
ren und stenerbaren System
matrix zur Mnltiplikation der
teils
k-Zeile (Spalte) mit einer Kon
Bss Stenermatrix des nur steuer
stanten
baren Systemteils
elementare Transformations
Stenermatrix des Teilsystems 2
matrix
C Ausgangsmatrix
L(8) Polynommatrix
('" B Ansgangsmatrix des nnr beob L(u(t), y(t), t) LAGRANGE-Fnnktional
achtbaren Systemteils
Caa Ansgangsmatrix des beobacht M(u(f), f) MEYER-Funktional
baren nnd steuerbaren System il'lk MARKOFF-Parameter
teils M(},) Minimalpolynom
C (8) charakteristisches Polynol1l Vielfachheit der i-ten Wurzel
C(8) = 18 - _4 charakteristische Matrix in M()")
mx(t) Mittelwert
D Durchgangsmatrix .11(8) McMILLAN -Normalform
E()') Elementarteiler N Normalform
Elementarteilerexponent
N(s) N ennerpolynolll
E; = [lp ()p: _ , , , : Op] .P, pr-Blockmatrix N(s) SMITHsche Normalform
E [, ] Erwartnngswert
" Beobachtbarkeitsmatrix zeit
FROBENIUs-Matrix invarianter Systeme
skalares Funktional Vbertragnngsmatrix dN'
Vektorfunktion P-Struktur