Mehrdimensionale ENO-Verfahren: Zur Konstruktion nichtoszillatorischer Methoden für hyberbolische Erhaltungsgleichungen PDF
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Advances in Numerical Mathematics Thomas Sonar Mehrdimensionale ENO-Verfahren Mehrdimensionale ENO-Verfahren Zur Konstruktion nichtoszillatorischer Methoden für hyberbolische Erhaltungsgleichungen Von Prof. Dr. rer. nat. Thomas Sonar Universität Hamburg EI3 B.G.Teubner Stuttgart 1997 Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Ing. Thomas Sonar Geboren 1958 in Sehnde. Von 1977 bis 1980 Studium des Ingenieur wesens (Maschinenbau) an der FH Hannover, 1980 Diplom (FH). Von 1980 bis 1981 Laboringenieur im Labor für Regelungstechnik der FH Hannover. Von 1981 bis 1987 Studium der Mathematik und Informatik an der Universität Hannover, 1987 Diplom. Als Jungwissenschaftler zunächst von 1987 bis 1989 am Institut für Entwurfsaerodynymik der DFVLR in Braunschweig, dann von 1989 bis 1991 als wiss. Mitarbeiter am Mathe matischen Institut A der Universität Stuttgart, 1991 Promotion. Von 1991 bis 1996 "Hausmathematiker" am Institut für Strömungsmechanik der DLR in Göttingen, 1995 Habilitation an der Technischen Hochschule Darm stadt. Seit 1996 Professor für Mathematik an der Universität Hamburg. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Sonar, Thomas: Mehrdimensionale ENO-Verfahren : zur Konstruktion nichtoszillatorischer Methoden für hyperbolische Erhaltungsgleichungen / von Thomas Sonar. - Stuttgart : Teubner, 1997 (Advances in numerical mathematics) ISBN 978-3-519-02724-9 ISBN 978-3-322-90842-1 (eBook) 001 10.1007/978-3-322-90842-1 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Verviel fältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © B.G.Teubner Stuttgart 1997 Einband: Peter Pfitz, Stuttgart Meinen Söhnen Konstantin, Alexander und Philipp gewidmet Vorwort All we need is to recover. - K. W. MORToN [103] Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen beschreiben fundamenta le Prinzipien in der uns umgebenden Natur und bilden die Basis ganzer Wissenschaftszweige. Die Euler-Gleichungen der Gasdynamik sind ein pro minentes Beispiel dieser Klasse und nach über 200 Jahren ihres Bekanntwer dens durch Euler ist die Frage nach der Existenz von Lösungen noch offen. Da die numerische Behandlung grundlegend ist für die Numerik der Navier Stokessehen Gleichungen, die die reibungsbehaftete kompressible Strömung von Fluiden (inklusive der Turbulenz) beschreiben, kommt der Entwicklung und Analysis numerischer Methoden seit einigen Jahrzehnten eine besondere Rolle zu. Im vorliegenden Buch wird eine moderne Klasse von Algorithmen - die wesentlich nichtoszillatorischen (ENO) Diskretisierungen - auf unstruktu rierten Gittern untersucht. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem al gorithmisch aufwendigsten Schritt, der über die Qualität einer solchen Me thode entscheidet. Es handelt sich dabei um die lokale Rekonstruktion einer Approximation an die Lösung aus gegebenen Zellmitteln. Wir verfolgen die Theorie der Optimalen Rekonstruktion und entwickeln neue Rekonstrukti onsalgorithmen unter Verwendung radialer Basisfunktionen, die als Splines in Semi-Hilbert-Räumen gewisse Optimalitätseigenschaften aufweisen. Die Frage nach der Genauigkeit dieser neuen Rekonstruktion wird, außer in numerischen Experimenten, nicht behandelt. Radiale Basisfunktionen sind nicht polynomreproduzierend und die Fehleranalysis im Interpolationsfall basiert auf technisch aufwendigen Fourier-Techniken. Behandelt man wie hier den Rekonstruktionsfall, dann ist die Übertragung dieser Technik nicht trivial. Es gelang Tim Gutzmer vom Seminar für Angewandte Mathematik der ETH Zürich in [45] erstmals, eine Fehleranalysis im Fall der Rekonstruk tion aus Zellmitteln mit Plattensplines durchzuführen. Allerdings gelingt 4 Vorwort dies nur auf einem cartesischen Gitter und die Übertragung auf Triangulie rungen steht aus. Hier ist in der Zukunft noch einiges zu tun. Ich habe von vielen Seiten große menschliche und fachliche Unterstützung erfahren, für die ich mich herzlich bedanken möchte. Besonderen Dank verdient mein Freund und Kollege Prof. Dr. Gerald War necke aus Magdeburg für seinen anhaltenden und ansteckenden Enthusias mus und seine Förderung. Professor K.W. Morton, Ph.D., vom Oxford University Computing Labo ratory war der erste, dem die Bedeutung der Theorie der Optimalen Re konstruktion für die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen bewußt war, und die heute als ENO-Verfahren bekannten Methoden basie ren auf seinen Ideen zur Optimalen Rekonstruktion. Sein - halb ernsthaft, halb scherzhaft gemeinter - Satz: 'All we need is to recover', war der erste Anstoß, diese Arbeit zu schreiben. Für zahlreiche Anregungen, konstrukti ve Kritik und wohlwollende Förderung bis heute möchte ich mich herzlich bedanken. Die Herren Profs. Drs. Robert Schaback von der Universität Göttingen und Peter Rentrop von der TH Darmstadt verdienen ebenfalls besonderen Dank, unter anderem für die Übernahme der Korreferate bei meiner Habilitation. Der erstgenannte hat mich mit der Theorie und seinen Arbeiten zu radialen Basisfunktionen bekannt gemacht und stand mit Rat und Tat zur Seite. Prof. Dr. Schaback machte mich darauf aufmerksam, daß die hier mit 'Wu Schaback-Optimalität' bezeichnete endliche Optimalitätseigenschaft keines falls eine Erfindung von Wu und Schaback ist, sondern in anderem Zusam menhang in der Approximationstheorie bestens bekannt ist. Er möge mir verzeihen, daß ich dennoch bei meiner ursprünglichen Bezeichnung geblie ben bin, denn im Fall der radialen Basisfunktionen ist von Schaback und Wu Pionierarbeit geleistet worden. Die vorliegende Arbeit entstand in ihren wesentlichen Teilen während mei ner Tätigkeit am Institut für Strömungsmechanik der DLR in Göttingen. Meinem damaligen Institutsleiter Herrn Dr.-Ing. Willi Kordulla und meinem früheren Abteilungsleiter Herrn Dr.-Ing. Dieter Schwamborn danke ich herz lich für die Freiheiten, die mir in der Entstehungszeit dieser Arbeit gewährt wurden. Frau Monika Jampert hat bei kitzligen Fragen im M\1E;X-Bereich mit ge wohnter Perfektion und Rat und Tat geholfen, wofür ich ihr sehr dankbar bin. Vorwort 5 Für spirituellen Ausgleich in letzter Zeit habe ich Herrn Günter Braatz und dem Chor herzlich zu danken. Ich danke meiner Frau Anke und meinen Söhnen Konstantin, Alexander und Philipp von ganzem Herzen, daß sie die Entstehungszeit dieser Arbeit verständnisvoll überbrückt und liebevoll helfend begleitet haben. Die Hoff nung, daß sich die Menge gemeinsamer Freizeit nach Abschluß dieser Arbeit wieder vergrößern werde, hat sich leider nicht erfüllt. Ein besonders tief empfundener Dank geht an Herrn Professor Dr. W. Törnig. Durch seine freundliche Unterstützung kam meine Habilitation an der TH Darmstadt zustande und sein steter Zuspruch und sein Vertrau en in meine Arbeit haben mich angespornt, ihn nicht zu enttäuschen. Ich kann nur hoffen, daß mir dieses Ziel mit der vorliegenden Arbeit gelungen ist. Thomas Sonar Salzhausen, September 1997 Inhalt Einleitung 11 1 Hyperb olische Er halt ungsgleichu ngen 18 1.1 Schwache Lösungen 18 1.2 Spezielle Systeme . 27 1.3 Die Bewegungsgleichungen kompressibler Fluide 32 2 Finite-Volumen-Verfahren 40 2.1 Triangulierungen 40 2.2 Evolutionsgleichungen und der Zellmittelungsoperator . 43 2.3 Finite-Volumen-Ansätze 45 2.3.1 Der Primärnetzansatz . 45 2.3.2 Der Boxansatz . . . . . 47 2.3.3 Basisdiskretisierungen. 48 2.3.4 Numerische Flußfunktionen 52 2.3.5 Finite-Volumen-Verfahren 60 2.4 Bemerkungen zum Diskretisierungsfehler 67 2.5 Bemerkungen zu Zeitschrittverfahren . . 68 8 Inhalt 3 Polynomiale Rekonstruktionen 73 3.1 Das Rekonstruktionspolynom ... 73 3.1.1 Die Idee polynomialer Rekonstruktion. 73 3.1.2 Bemerkungen zum Zellmittelungsoperator 78 3.1.3 Der Knotenwähler . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.4 Die Berechnung des Rekonstruktionspolynoms 86 3.1.5 Auswahlkriterien ..... 91 3.2 TVD- und ENO-Verfahren 94 3.2.1 Monotonie und Totalvariation 94 3.2.2 Wesentlich nichtoszillierende Interpolation 101 3.3 Rekonstruktion mit linearen und quadratischen Polynomen. 105 3.3.1 Die lineare Rekonstruktion von Durlofsky, Engquist und Osher 105 3.3.2 Eine lineare ENO-Rekonstruktion auf der von Neumann-- Nachbarschaft ........................... 107 3.3.3 Eine lineare ENO-Rekonstruktion auf der Moore-Nachbarschaft110 3.3.4 Eine quadratische Rekonstruktion mit Sektorsuche 113 3.3.5 Ein nichtlineares Modellproblem . . . . . . . . . . . 118 3.4 Finite-Volumen-Verfahren für kompressible Strömungen. 120 3.4.1 Strömungsgrößen der Rekonstruktion 120 3.4.2 Randbedingungen . . . . 122 3.4.3 Vergleichende Resultate. 124 3.5 Der DLR-r-Code .... 129 3.5.1 Beziehungen zwischen Primär- und Sekundärnetz 130 3.5.2 Explizite Steigungslimitierung 133 3.5.3 Eine ENO-Rekonstruktion 137 3.5.4 Numerische Resultate. . . 138 3.6 Polynomiale ENO-Rekonstruktionen für Boxmethoden 141 Inhalt 9 4 Optimale Rekonstruktion 146 4.1 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Michelli und Rivlin 146 4.1.1 Die Theorie der optimalen Rekonstruktion 146 4.1.2 Radius, Durchmesser und Zentrum .... 149 4.1.3 Optimale Rekonstruktion in Hilbert-Räumen 156 4.1.4 Optimalität der stückweise konstanten Funktionen. 160 4.2 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Golomb und Weinberger161 4.3 Die Interpretation der polynomialen Rekonstruktion. 166 4.3.1 Lineare Algorithmen .... 166 4.3.2 Eine triviale Rekonstruktion 167 4.3.3 Algorithmen für lineare Funktionale . 169 4.4 Splines. . . . . . . . . . . . . . . 170 4.4.1 Proximalität und Orthogonalität . 171 4.4.2 Abstrakte Splines .... 172 4.4.3 Splines und Semi-Kerne . 176 5 Globale radiale Funktionen 180 5.1 Optimale Rekonstruktion in Beppo-Levi-Räumen 180 5.1.1 Beppo-Levi-Räume ............. . 180 5.1.2 Die Darstellung des reproduzierenden Kerns 182 5.1.3 Splines in Beppo-Levi-Räumen . 187 5.1.4 Die lineare Advektionsgleichung 190 5.1.5 Die Euler-Gleichungen ..... 197
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