Mechanika kwantowa dla kognitywistów

100 Pages·2015·1.37 MB·Polish

by  Andrzej Łukasik

Andrzej Łukasik
Mechanika kwantowa dla kognitywistów

Spis treści
Kwantowy charakter zjawisk ................................................................................................ 3
Dualizm korpuskularno-falowy ........................................................................................... 8
Cząstki i fale ........................................................................................................................ 8
Eksperyment na dwóch szczelinach ................................................................................ 9
Eksperyment z opóźnionym wyborem ......................................................................... 18
Elementy matematyki mechaniki kwantowej ................................................................... 23
Liczby zespolone .............................................................................................................. 23
Przestrzeń Hilberta .......................................................................................................... 27
Elementy rachunku macierzowego ............................................................................... 31
Operatory .......................................................................................................................... 34
Elementy rachunku różniczkowego .............................................................................. 34
Postulaty mechaniki kwantowej ......................................................................................... 42
Postulat I: reprezentacja stanu układu .......................................................................... 43
Zasada superpozycji stanów ........................................................................................... 44
Postulat II: reprezentacja wielkości fizycznych ............................................................ 47
Postulat III: ewolucja stanu układu kwantowego w czasie ........................................ 49
Postulat IV: postulat pomiaru ........................................................................................ 50
Zasada nieoznaczoności Heisenberga ................................................................................ 53
Klasyczne a kwantowe pojęcie prawdopodobieństwa .................................................... 63
Problem pomiaru w mechanice kwantowej ...................................................................... 66
Kot Schrödingera .............................................................................................................. 67
Przyjaciel Wignera ........................................................................................................... 68
Doświadczenie z bombą .................................................................................................. 68
Kwantowe splątanie ............................................................................................................. 69
Paradoks EPR.................................................................................................................... 70
Nierówność Bella ............................................................................................................. 76
Realizm i lokalność w mechanice kwantowej .............................................................. 78
Interpretacje mechaniki kwantowej .................................................................................... 81
Interpretacja kopenhaska ................................................................................................ 82
Ukryty porządek .............................................................................................................. 86
Wiele światów .................................................................................................................. 89
Sumy po historiach .......................................................................................................... 93
Interpretmacja transakcyjna ............................................................................................ 95
Dekoherencja .................................................................................................................... 97
QBism ................................................................................................................................ 99
Interpretacja statystyczna .............................................................................................. 100

W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki
kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […]
fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się
bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii.
Eyvind H. Wichmann1

Musimy maksymalnie wytężać wyobraźnię, nie po to, żeby odwrotnie
niż w literaturze, wyobrazić sobie rzeczy, których naprawdę nie ma, ale
by zrozumieć to, co naprawdę istnieje.
Richard P. Feynman2

Mechanika kwantowa stanowi obok teorii względności Einsteina jedną
z dwóch fundamentalnych teorii fizyki współczesnej. Została sformuło-
wana w latach dwudziestych XX wieku w odpowiedzi na nieudane próby
zastosowania fizyki klasycznej do wyjaśnienia stabilności atomów oraz
sformułowania teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Jest po-
wszechnie uznawana za najdoskonalszą teorię fizyczną, jaką kiedykol-
wiek skonstruowano, a dokładność jej przewidywań jest wprost imponu-
jąca. Zastosowania praktyczne mechaniki kwantowej spotykamy zaś do-
słownie na każdym kroku – od komputera, przy użyciu którego piszę te
słowa, przez telefony komórkowe i fotokomórki po nanotechnologię. Co
więcej, nawet wydawałoby się tak proste zjawiska jak to, że siedząc na
krześle nie przenikam przez niego i nie spadam w wyniku przyciągania
grawitacyjnego Ziemi, chociaż nasze ciała (jak również krzesła) „zbudo-
_____________
1 E. H. Wichmann, Fizyka kwantowa, s. 17
2 R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 136
2
wane są” w 99,99 % z pustej przestrzeni, uzyskuje wyjaśnienie dopiero na
gruncie mechaniki kwantowej.
Jednak obraz świata ukazywany nam przez mechanikę kwantową ra-
dykalnie różni się od obrazu świata ukształtowanego na podstawie nasze-
go codziennego doświadczenia, przeczy naszym intuicjom a nawet „zwy-
kłej” klasycznej logice. Z jednej strony oczywiście można powiedzieć, że
nasze mózgi zostały tak ukształtowane w procesie ewolucji, abyśmy mo-
gli „zbierać jagody i unikać dzikiego zwierza” i trudno się dziwić, że nie
jesteśmy sobie w stanie wyobrazić tego, że jedna niepodzielna cząstka
znajduje się w kilku miejscach równocześnie, że kot może być jednocze-
śnie żywy i martwy, albo tego, że to, co się dzieje w pewnym miejscu ma
jakiś tajemniczy związek z tym, co się dzieje w bardzo odległym miejscu,
i to bez żadnego oddziaływania. Z drugiej jednak strony, również stano-
wiska samych fizyków w kwestii interpretacji mechaniki kwantowej są
nadal podzielone: nie ma jak dotąd powszechnie akceptowanego poglądu
na „naturę” obiektów mikroświata, a kontrowersyjne jest nawet to, czy
możemy im przypisać istnienie niezależne od procesów obserwacji (łącz-
nie z aktami świadomości podmiotu poznającego, jak twierdzą niektórzy,
o czym będzie jeszcze mowa).
Mechanikę kwantową od teorii klasycznych (przy czym szczególną i
ogólną teorię względności Einsteina zalicza się do teorii klasycznych)
odróżniają przede wszystkim kwantowy charakter zjawisk i dualizm kor-
puskularno-falowy.3 Omówimy ich najważniejsze aspekty.

KWANTOWY CHARAKTER ZJAWISK

Spór o to czy materia ma naturę ciągłą, czy też dyskretną rozpoczął się
jeszcze w starożytnej filozofii przyrody. Znakomita większość filozofów
była przekonana o tym, że materia jest ciągła i nie istnieją ostateczne,
dalej już niepodzielne składniki materii. Pogląd ten implikował oczywi-
ście przekonanie, że nie może istnieć próżnia, rozumiana wówczas jako
całkowicie pusta przestrzeń. Taki pogląd głosił między innymi jeden z
_____________
3 Por. S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 20
3
największych i zarazem najbardziej wpływowych filozofów starożytności
Arystoteles.
Odmiennego zdania byli atomiści Leukippos i Demokryt, którzy
utrzymywali, że istnieją ostateczne, wieczne, niezmienne i niepodzielne
cząstki materii, zwane przez nich atomami, które poruszają się odwiecz-
nie w nieskończonej przestrzeni. Pogląd ten aż do wieku XVII miał nie-
wielu zwolenników, do czego przyczyniły się zarówno względy naukowe
jak i pozanaukowe, w tym religijne. Dyskusje na temat ciągłości lub nie-
ciągłości materii oraz możliwości istnienia próżni miały przez wieki cha-
rakter całkowicie spekulatywny. Atomizm uzyskał status teorii naukowej
dopiero w XIX wieku – najpierw za sprawą prac Johna Daltona, a następ-
nie dzięki kinetyczno-molekularnej teorii materii.4 Dziś nikt nie ma wąt-
pliwości, że cała materia składa się z atomów (chociaż nie wiemy, co sta-
nowi 99 % zawartości Wszechświata – por. rozdz. dotyczący kosmologii).
Pod koniec XIX wieku, gdy odkryto elektrony, cząstki materii drob-
niejsze niż atomy (J. J. Thomsom, 1887 r.) powstała jakościowo nowa
sytuacja w fizyce: obok pytań o to, jak materia jest zbudowana z atomów,
powstał problem o charakterze bardziej fundamentalnym, a mianowicie
jak zbudowane są same atomy. Odkrycie jądra atomowego (E. Ruther-
ford, 1911) doprowadziło do sformułowania planetarnego modelu atomu,
w którym niemal cała masa i cały ładunek dodatni atomu są skoncentro-
wane w bardzo małym obszarze (o wielkości rzędu 10-15 m), zwanym
jądrem atomowym, a po orbitach, podobnie jak planety wokół Słońca,
krążą ujemnie naładowane elektrony. Rozmiary atomów są rzędu 10-10 m,
a więc o pięć rzędów wielkości większe niż rozmiary jądra. Jeżeli wyob-
razimy sobie, że powiększamy rozmiary atomu tak, że jądro atomowe ma
wielkość główki od szpilki, czyli ok. 1 mm (10-3 m), to wówczas pierwsza
orbita elektronu znajdowałaby się w odległości około 100 m od jądra.
Okazuje się, że również same atomy są „zbudowane” w ponad 99,99 % z
pustej przestrzeni.
Model Rutherforda był oparty na koncepcjach fizyki klasycznej, zaś
atomy wydawały się przypominać miniaturowe układy planetarne. Plane-
_____________
4 Por. A. Łukasik, Filozofia atomizmu
4
ty krążą po orbitach, ponieważ są przyciągane siłą grawitacji przez Słoń-
ce. Siła przyciągania elektrycznego między jądrem a elektronem na nie-
mal taką samą postać matematyczną, jak siła grawitacji, co – jak się wy-
daje – w pełni uzasadnia analogię budowy atomu do budowy układu pla-
netarnego. Jednak elektron posiada ładunek elektryczny, a poruszając się
po orbicie, porusza się ruchem przyspieszonym (siła przyciągania elek-
trycznego nadaje mu przyspieszenie dośrodkowe). Z elektrodynamiki
Maxwella wiadomo jednak, że cząstka naładowana poruszająca się ru-
chem przyspieszonym powinna w sposób ciągły promieniować energię, a
w rezultacie w bardzo krótkim czasie (jak pokazują obliczenia w czasie
rzędu 10-6 s, czyli milionowej części sekundy) elektron powinien spaść na
jądro, co przeczy obserwowalnej stabilności atomów. Poza tym ciągłe
promieniowanie atomów było niezgodne ze znanym już wówczas faktem,
że każdy pierwiastek emituje i absorbuje jedynie ściśle określone dys-
kretne linie widmowe.
Niels Bohr w 1913 roku sformułował model atomu wodoru, w którym
wprowadził koncepcję nieciągłych, czyli skwantowanych orbit (wartość
promienia takiej orbity może przybierać jedynie ściśle określoną wiel-
kość). Zgodnie z nią w atomie istnieją pewne wyróżnione orbity, zwane
stanami stacjonarnymi, na których krążący elektron nie promieniuje ener-
gii. Założenie to było oczywiście sprzeczne z całą elektrodynamiką kla-
syczną, ale pozwoliło na wyjaśnienie nieciągłego widma atomów oraz
zrozumienie budowy układu okresowego pierwiastków. Zdaniem Bohra,
elektrony emitują lub absorbują światło gdy „przeskakują” pomiędzy or-
bitami stacjonarnymi. Ponieważ wartości energii na orbitach są skwanto-
wane, również emisja lub absorpcja światła przez elektrony zachodzi w
postaci nieciągłych porcji energii, zwanych kwantami.
Hipotezę kwantów energii wprowadził w 1900 Max Planck. Pracował
on wówczas nad problemem zwanym promieniowania ciała doskonale
czarnego, czyli – mówiąc prosto – chciał otrzymać matematyczny wzór
opisujący, w jaki sposób ciała promieniują energię w zależności od ich
temperatury. Podejmowane wcześniej próby sformułowania teorii pro-
mieniowania ciała doskonale czarnego na podstawie elektrodynamiki
klasycznej, zgodnie z którą światło jest ciągłą falą elektromagnetyczną,
5
nie dawały poprawnych rezultatów. Planckowi udało się sformułować
poprawną teorię przy założeniu, że podczas oddziaływania z materią
promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane i absorbowane w
sposób nieciągły, czyli właśnie kwantami. Energia kwantu świetlnego jest
proporcjonalna do jego częstości:

Eh

gdzie  jest częstością, natomiast h pewną stałą, zwaną współcześnie
stałą Plancka. Jest to jedna z fundamentalnych stałych fizycznych i poja-
wia się w większości równań mechaniki kwantowej. Jest to stała o wy-
miarze działania, dlatego też nazywana bywa również elementarnym
kwantem działania. Działanie jest wielkością fizyczną o wymiarze ener-
gia x czas. W układzie SI wartość stałej Plancka wynosi w przybliżeniu
6,63 10-34 Js. Jest to wielkość niezmiernie mała, co – jak się okazuje –
powoduje, że pewnych efektów kwantowych nie obserwujemy w świecie
bezpośredniego doświadczenia. Ponieważ w wielu równaniach często
pojawia się stałą Plancka podzielona przez 2, oznaczono ją specjalnym
symbolem  i nazwano „kreśloną stałą Plancka” lub po prostu „h kreślo-
ne”.
Albert Einstein w 1905 roku sformułował teorię zjawiska fotoelek-
trycznego (za co zresztą otrzymał w 1921 r. Nagrodę Nobla z fizyki).
Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów z powierzchni metalu pod
wpływem padającego światła (dzięki Einsteinowi mamy więc dzisiaj
wszechobecne fotokomórki). W celu poprawnego opisu zjawiska założył
on, że światło nie jest ciągłą falą elektromagnetyczną, ale jest zbiorem
cząstek poruszających się z prędkością światła, które później nazwano
fotonami. Energia fotonu i jego pęd wyrażają się następującymi wzorami:

E h

h h
p  
 c

6
gdzie p jest pędem fotonu,  jest długością fali światła, c oznacza pręd-
kość światła w próżni.
Louis Victor de Broglie w 1924 roku wpadł natomiast na pomysł, że
skoro fale świetlne mogą zachowywać się jak cząstki, to również cząstki
materii, takie jak elektrony, mogą przejawiać własności falowe. Zgodnie z
hipotezą de Broglie’a, z każdą cząstką o pędzie p (p = mv) związana jest
pewna fala materii o długości:

h

p

Hipoteza ta została już w 1927 roku potwierdzona w doświadczeniach
Davissona i Germenra, w których zaobserwowano interferencję elektro-
nów, czy zjawisko typowe dla fal. De Broglie traktował te fale jako realne
fale w trójwymiarowej przestrzeni, wiadomo jednak obecnie, że fale me-
chaniki kwantowej są tworami nieco bardziej abstrakcyjnymi – falami
prawdopodobieństwa, o czym będzie mowa w dalszej części rozdziału.
Podsumujmy zatem na czym polega kwantowy charakter zjawisk: ma-
teria ma strukturę nieciągłą, składa się ostatecznie z obiektów, które na-
zywamy cząstkami elementarnymi. Również proces oddziaływania pro-
mieniowania elektromagnetycznego z materią polega na emisji lub ab-
sorpcji dyskretnych jednostek, czyli kwantów promieniowania. Samo
promieniowanie zaś w pewnych zjawiskach przejawia aspekt korpusku-
larny – zachowuje się jak strumień fotonów. Z drugiej zaś strony cząstki
materii wykazują w pewnych eksperymentach własności charakterystycz-
ne dla fal. Ten osobliwy rezultat mechaniki kwantowej nazwano duali-
zmem korpuskularno-falowym.
Podstawy mechaniki kwantowej sformułowali niemal równocześnie i
niezależnie od siebie Werner Heisenberg (mechanika macierzowa, 1925) i
Erwin Schrödinger (mechanika falowa, 1926). Wprawdzie obydwaj ucze-
ni przyjmowali zupełnie różne założenia filozoficzne (Heisenberg zakła-
dał realność cząstek Schrödinger natomiast realność fal materii), to jednak
formalizmy te okazały się całkowicie równoważne matematycznie i pro-
wadzą do takich samych konsekwencji empirycznych.
7
DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY

Omówimy teraz pewien eksperyment, który – jak twierdzi Feynman –
zawiera wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej.5 Jeśli nawet nie
wszystkie, to wiele zdumiewających aspektów mikroświata rzeczywiście
można opisać odwołując się do tego eksperymentu lub do różnych jego
modyfikacji. Dlatego szczegółowa analiza eksperymentu na dwóch szcze-
linach jest niezmiernie ważna dla zrozumienia dalszej części materiału
dotyczącego mechaniki kwantowej.

CZĄSTKI I FALE
Zauważmy najpierw, że w schemacie pojęciowym fizyki klasycznej
dysponujemy takimi pojęciami, jak cząstki i fale. Są one, podobnie jak
inne pojęcia fizyczne, takie jak na przykład pojęcie siły, idealizacjami
mającym swe źródło w świecie codziennego doświadczenia. Pojęcie
cząstki, to w istocie pojęcie „kawałka materii”. Cząstką możemy nazwać
elektron, ziarenko piasku, ale równie dobrze na przykład kulę bilardową.
Co mamy na myśli, mówiąc, że coś jest cząstką. Przede wszystkim za-
pewne to, że cząstka istnieje w pewnym dobrze określonym miejscu w
czasie i przestrzeni (lub – używając pojęcia ze szczególnej teorii względ-
ności: w czasoprzestrzeni). Jeżeli w jednym miejscu przestrzeni znajduje
się jakaś cząstka, to w tym samym miejscu w tym samym czasie nie może
się znajdować inna cząstka. Przypisujemy bowiem cząstkom atrybut nie-
przenikliwości, zupełnie podobnie jak traktowano atomy w starożytnej
filozofii przyrody. Sądzimy ponadto, że cząstki posiadają pewne cechy,
takie jak kształt, wielkość czy masę. Traktujemy je również jako obiekty
rozróżnialne, posiadające pewną indywidualność. Jeżeli na przykład na
stole bilardowym zamienię miejscami kulę białą z czarną, to otrzymam
nowy układ kul, czyli nowy stan rzeczy, przynajmniej zasadniczo rozróż-
nialny od poprzedniego. Jeżeli zamienię miejscami na przykład dwie kule
_____________
5 Por. R. P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 138
8
czerwone (powiedzmy przy grze w snookera), to nawet jeśli nie jestem w
stanie rozróżnić, czy kule zostały zamienione miejscami czy też nie, to –
obiektywnie rzecz biorąc – po zamianie miejscami kul otrzymuję inny
układ niż był wcześniej. Cząstki zaliczamy do kategorii ontologicznej
rzeczy: są to przedmioty istniejące w czasie i przestrzeni, jednostkowe i
konkretne.
Poświęćmy teraz nieco uwagi pojęciu fali. Zapewne każdy obserwował
fale na wodzie – mogą się one przenikać i nakładać, czego efektem będzie
zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy drgań. Trudno wyobrazić sobie
fale na wodzie… bez wody. Ruch falowy polega bowiem na drganiu czą-
stek pewnego ośrodka materialnego (por. jednak rozdział o teorii względ-
ności i falach świetlnych). Fala nie jest rzeczą, lecz należy do ontologicz-
nej kategorii procesu: nie jest obiektem samodzielnym bytowo, to znaczy
mówiąc prościej: jeśli nie ma wody, to również nie ma fal na wodzie, po-
nieważ po prostu nie ma co drgać. W odróżnieniu od cząstek fale ponadto
nie są obiektami dobrze zlokalizowanymi w przestrzeni, lecz obiektami
rozciągłymi; w odróżnieniu od cząstek dwie fale w tym samym czasie
mogą znajdować się w tym samym obszarze przestrzeni (zjawisko interfe-
rencji) i wreszcie w odróżnieniu od cząstek fale nie posiadają indywidu-
alności, to znaczy jeśli przenikają się przez siebie (czyli w pewnej chwili
dwie fale znajdują się w tym samym obszarze przestrzeni), to nie da się
wskazać na jedną z tych fal i powiedzieć, że to jest „ta” fala w odróżnie-
niu od „tamtej”.
Z matematycznego punktu widzenia cząstkę zwykle reprezentujemy
jako punkt, falę zaś jako sinusoidę (ponieważ falę o dowolnie skompli-
kowanym kształcie możemy otrzymać w rezultacie nałożenia na siebie
wielu fal sinusoidalnych o różnych amplitudach i długościach). Z punktu
widzenia fizyki klasycznej coś, co jest cząstką nie może być zatem falą i
vice versa. Okazuje się jednak, że mikroobiekty przejawiają własności
właściwe zarówno dla cząstek, jak i dla fal.
EKSPERYMENT NA DWÓCH SZCZELINACH
Opiszemy teraz eksperyment z interferencją na dwóch szczelinach,
który przeprowadzimy najpierw dla klasycznych cząstek, później dla kla-
9
sycznych fal, a w końcu dla cząstek kwantowych, takich jak elektrony czy
fotony. W tym ostatnim wypadku rezultaty są dość zaskakujące. Będzie-
my w dalszej części odwoływać się do bardzo prostego modelu, podkre-
ślić jednak należy, że nie mówimy o eksperymentach wyłącznie myślo-
wych, ale eksperymenty tego typu były wielokrotnie przeprowadzane i
przebiegają dokładnie tak, jak tu zostanie opisane.
Przeprowadźmy najpierw eksperyment z klasycznym cząstkami (por.
rys). Nasz układ składa się ze źródła cząstek Z, przesłony z dwiema wą-
skimi równoległymi szczelinami S i S oraz ekranu E, na którym rejestru-
1 2
jemy liczbę cząstek trafiającą w poszczególne miejsca ekranu. Odległość
między szczelinami jest dużo większa niż rozmiary cząstek i dużo więk-
sza niż długość fali fotonu.

Rys. Eksperyment z dwiema szczelinami dla klasycznych cząstek

Źródło Z emituje cząstki w kierunku przesłony z dwiema wąskimi
szczelinami S i S . O cząstkach zakładamy, że są trwałe – nie rozpadają
1 2
się na części po zderzeniu z przeszkodą czy po trafieniu w ekran. Sytua-
1 0